【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第11篇 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法课时训练 理.doc

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第11篇 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号综合法2、5、8、10、14、16分析法3、7、11反证法1、9数学归纳法4、6、12、13、15基础过关一、选择题1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.2.设x,y,z>0,则三个数+,+,+(C)(A)都大于2(B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2(D)至少有一个不大于2解析:由于+=（+）+（+）+（+）2+2+2=6,+,+,+中至少有一个不小于2.故选C.3.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”索的因应是(C)(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)<0解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证<a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2-c2>0,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.故求证“<a”索的因应是(a-c)(a-b)>0.4.用数学归纳法证明不等式1+>成立,起始值至少应取为(B)(A)7(B)8(C)9(D)10解析:左边的和为=2-21-n,当n=8时,和为2-2-7>.5.(2014合肥一模)对于函数f(x),若a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(D)(A)f(x)=1(xR)不是“可构造三角形函数”(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数(C)f(x)=(xR)是“可构造三角形函数”(D)若定义在R上的函数f(x)的值域是,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项,由题设所给的定义知,a,b,cR,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故A选项错误;对于B选项,由A选项判断过程知,B选项错误;对于C选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1>f(b)+f(c)=,不构成三角形,故C错误;对于D选项,由于+>e,可知,定义在R上的函数f(x)的值域是,e(e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.6.(2014青岛市高三月考)用数学归纳法证明+>时,由k到k+1,不等式左边的变化是(C)(A)增加项(B)增加和两项(C)增加和两项同时减少项(D)以上结论都不对解析:n=k时,左边=+n=k+1时,左边=+,由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是+-.二、填空题7.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是. 解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二-<+>a<b+2·+a-b2·>0,显然成立,故m<n.答案:m<n8.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为. 解析:由条件得cn=an-bn=-n=,cn随n的增大而减小.cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是. 解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”.答案:假设a,b,c都不是偶数10.(2014福建模拟)对于30个互异的实数,可以排成m行n列的矩形数阵,如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一.x1x2···x6y1y2···y6············z1z2···z6将30个互异的实数排成m行n列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为a1,a2,am,并设其中最小的数为a;把每列中最小的数选出,记为b1,b2,bn,并设其中最大的数为b.两位同学通过各自的探究,分别得出两个结论如下:a和b必相等;a和b可能相等;a可能大于b;b可能大于a.以上四个结论中,正确结论的序号是(请写出所有正确结论的序号). 解析:不妨假设m行n列的矩形数阵,为如题图所示的5行6列的矩形数阵,则由题意可得a的最小值为6,最大值为30;而b的最小值为6,最大值为26,且在同一个5行6列的矩形数阵中,一定有ab,故正确,而不正确.答案:三、解答题11.已知a>0,求证:-a+-2.证明:要证-a+-2.只要证+2a+.a>0,故只要证,即a2+4+4a2+2+2+2,从而只要证2,只要证42,即a2+2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.12.(2013湖南常德模拟)设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解:a1=1,a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想an=(nN*).(2)证明:易知,n=1时,猜想正确.假设n=k时猜想正确,即ak=,则ak+1=f(ak)=.这说明,n=k+1时猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=.能力提升13.(2014安庆高三月考)用数学归纳法证明2n>n2(n5,nN+),第一步应验证(B)(A)n=4(B)n=5(C)n=6(D)n=7解析:根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立;又n5,所以第一步验证n=5.14.已知三个不等式ab>0;>bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成个正确命题. 解析:此题共可组成三个命题即;.若ab>0,>,则-=>0,得bc-ad>0,即可得命题正确;若ab>0,bc>ad,则=->0,得>,即命题正确;若bc>ad,>,则-=>0,得ab>0,即命题正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三15.数列an满足Sn=2n-an(nN+)(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想通项公式an,并用数学归纳法证明.解:(1)由a1=2-a1,得a1=1,由a1+a2=2×2-a2,得a2=,由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=,由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.(2)猜想an=(nN+).证明如下:当n=1,由上面计算可知猜想成立;假设n=k时猜想成立,即ak=,此时Sk=2k-ak=2k-,当n=k+1时,Sk+1=2(k+1)-ak+1,得Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1.因此ak+1=2(k+1)-Sk=k+1-（2k-）=.当n=k+1时也成立,an=(nN+).探究创新16.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列an的集合:an+1;anM,其中nN*,M是与n无关的常数.(1)若an是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,试探究Sn与集合W之间的关系;(2)设数列bn的通项公式为bn=5n-2n,且bnW,M的最小值为m,求m的值;(3)在(2)的条件下,设Cn=bn+(m-5)n+,求证:数列Cn中任意不同的三项都不能成为等比数列.(1)解:a3=4,S3=18,a1=8,d=-2.Sn=-n2+9n.<Sn+1满足条件,Sn=-（n-）2+,当n=4或5时,Sn取最大值20.Sn20满足条件,SnW.(2)解:bn=5n-2n可知bn中最大项是b3=7,M7,M的最小值为7.即m=7.(3)证明:由(2)知Cn=n+,假设Cn中存在三项cp,cq,cr(p,q,r互不相等)成等比数列,则=cp·cr,(q+)2=(p+)(r+),(q2-pr)+(2q-p-r)=0,p,q,rN*,消去q得(p-r)2=0,p=r,与pr矛盾.Cn中任意不同的三项都不能成为等比数列.8