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统计过程控制（SPC）与休哈特控制图(二) 第五章 休哈特控制图一、             特控制图的种类及其用途 国标GB4091常规控制图是针对休哈特控制图的。根据该国标,常规休哈特控制图如表常规的休哈特控制图。表中计件值控制图与计点值控制图又统称计数值控制图。这些控制图各有各的用途, 应根据所控制质量指标的情况和数据性质分别加以选择。常规的休哈特控制图表中的二项分布和泊松分布是离散数据场合的两种典型分布,它们超出3界限的第类错误的概率当然未必恰巧等于正态分布3界限的第I类错误的概率=0.0027,但无论如何总是个相当小的概率。因此,可以应用与正态分布情况类似的论证,从而建立p、pn、c、u等控制图。 常规的休哈特控制图数据分布控制图简记计量值正态分布均值-极差 控制图一R 控制图均值-标准差 控制图一R 控制图中位数-极差 控制图Xmed一R 控制图单值-移动极差 控制图x一Rs 控制图计件值二项分布不合格品率 控制图P 控制图不合格品数 控制图Pn 控制图计点值泊松分布单位缺陷数 控制图U 控制图缺陷数 控制图C 控制图现在简单说明各个控制图的用途:1.       一R控制图。对于计量值数据而言,这是最常用最基本的控制图。它用于控制对象为长度、重量、强度、纯度、时间和生产量等计量值的场合。控制图主要用于观察分布的均值的变化,R控制图用于观察分布的分散情况或变异度的变化,而一R图则将二者联合运用,用于观察分布的变化。 2.       一s控制图与一R图相似,只是用标准差图(s图)代替极差图(R图)而已。极差计算简便,故R图得到广泛应用,但当样本大小n>10或口,这时应用极差估计总体标准差。的效率减低,需要应用s图来代替R图。 3.       XMED一R控制图与一R图也很相似,只是用中位数图(XMED图)代替均值图(图)。所谓中位数即指在一组按大小顺序排列的数列中居中的数。例如,在以下数列中2、3、7、13、18,中位数为7。又如,在以下数列中2、3、7、9、13、18,共有偶数个数据。这时中位数规定为中间两个数的均值。在本例即=8。由于中位数的计算比均值简单,所以多用于现场需要把测定数据直接记入控制图进行控制的场合,这时为了简便,当然规定为奇数个数据。 4.       x一Rs控制图。多用于下列场合:对每一个产品都进行检验,采用自动化检查和测量的场合;取样费时、昂贵的场合;以及如化工等过程,样品均匀,多抽样也无太大意义的场合。由于它不像前三种控制图那样能取得较多的信息,所以它判断过程变化的灵敏度?要差一些。 5.       P控制图。用于控制对象为不合格品率或合格品率等计数值质量指标的场合。这里需要注意的是,在根据多种检查项目总合起来确定不合格品率的情况,当控制图显示异常后难以找出异常的原因。因此,使用p图时应选择重要的检查项目作为判断不合格品的依据。常见的不良率有不合格品率、废品率、交货延迟率、缺勤率,邮电、铁道部门的各种差错率等等。 6.       Pn控制图。用于控制对象为不合格品数的场合。设n为样本大小-户为不合格品率,则 t为不合格品个数。所以取pn作为不合格品数控制图的简记记号。由于计算不合格品率需进行除法,比较麻烦,所以在样本大小相同的情况下,用此图比校方便。 7.       c控制图。用于控制一部机器,一个部件,一定的长度,一定的面积或任何一定的单位中所出现的缺陷数目。如布匹上的疵点数,铸件上的砂眼数,机器设备的缺陷数或故障次数,传票的误记数,每页印刷错误数,办公室的差错次数等等。 8.       u控制图。当上述一定的单位,也即样品的大小保持不变时可以应用c控制图,而当样品的大小变化时则应换算为平均每单位的缺陷数后再使用u控制图。例如,在制造厚度为2mm 的钢板的生产过程中,一批样品是2平方米的,下一批样品是3平方米的。这时就都应换算为平均每平方米的缺陷数,然后再对它进行控制。 二、应用控制图需要考虑的一些问题 应用控制图需要考虑以下一些问题: 1.  控制图用于何处?原则上讲,对于任何过程,凡需要对质量进行控制管理的场合都可以应用控制图。但这里还要求:对于所确定的控制对象一质量指标应能够定量,这样才能应用计量值控制图。如果只有定性的描述而不能够定量,那就只能应用计数值控制图。所控制的过程必须具有重复性,即具有统计规律。对于只有一次性或少数几次的过程显然难于应用控制图进行控制。2.  如何选择控制对象?在使用控制图时应选择能代表过程的主要质量指标作为控制对象。 一个过程往往具有各种各样的特性,需要选择能够真正代表过程情况的指标。例如,假定某产品在强度方面有问题,就应该选择强度作为控制对象。在电动机装配车间,如果对于电动机轴的尺寸要求很高,这就需要把机轴直径作为我们的控制对象。在电路板沉铜缸就要选择甲醛、 Na0H、的浓度以及沉铜速率作为多指标统一进行控制。 3.  怎样选择控制图?选择控制图主要考虑下列几点:首先根据所控制质量指标的数据性质 来进行品,如数据为连续值的应选择一R、一s、XMED一Rs或x一Rs图;数据为计件值的应选择p或pn图,数据为计点值的应选择c或u图。其次,要确定过程中的异常因素是全部加以控制 (全控)还是部分加以控制(选控),若为全控应采用休哈特图等;若为选控,应采用选控图,参见第七章(一);若为单指标可选择一元控制图,若为多指标则须选择多指标控制图,参见第七章(二)。最后, 还需要考虑其他要求,如检出力大小,抽取样品、取得数据的难易和是否经济等等。例如要求检 出力大可采用成组数据的控制图,如一R图。4.  如何分析控制图?如果在控制图中点子未出界,同时点子的排列也是随机的,则认为生 产过程处于稳定状态或控制状态。,如果控制图点子出界或界内点排列非随机,就认为生产过程失控。对于应用控制图的方法还不够熟悉的工作人员来说,即使在控制图点子出界的场合,也首先应该从下列几方面进行检查:样品的取法是否随机,数字的读取是否正确,计算有无错误,描点有无差错,然后再来调查生产过程方面的原因,经验证明这点十分重要。5.  对于点子出界或违反其他准则的处理。若点子出界或界内点排列非随机,应执行第二章（五）的20个字,立即追查原因并采取措施防止它再次出现。应该强调指出,正是执行了第二章（五）的20个字,才能取得贯彻预防原则的作用。因此,若不执行这20个字,就不如不搞控制图。 6.  对于过程而言,控制图起着告警铃的作用,控制图点子出界就好比告警铃响,告诉现在是应该进行查找原因、采取措施、防止再犯的时刻了。虽然有些控制图,如一R控制图等,积累长期经验后,根据图与R图的点子出界情况,有时可以大致判断出是属于哪方面的异常因素造成的,但一般来说,控制图只起告警铃的作用,而不能告诉这种告警究竟是由什么异常因素造成的。要找出造成异常的原因,除去根据生产和管理方面的技术与经验来解决外,应该强调指出,应用两种质量诊断理论和两种质量多元诊断理论来诊断的方法是十分重要的。有关内容参见第七章。7.  控制图的重新制定。控制图是根据稳定状态下的条件(人员、设备、原材料、工艺方法、环境,即4M1E)来制定的。如果上述条件变化,如操作人员更换或通过学习操作水平显著提高,设备更新,采用新型原材料或其他原材料,改变工艺参数或采用新工艺,环境改变等,这时,控制图也必须重新加以制定。由于控制图是科学管理生产过程的重要依据，所以经过相当时间的使用后应重新抽取数据,进行计算,加以检验。 8.控制图的保管问题。控制图的计算以及日常的记录都应作为技术资料加以妥善保管。对于点子出界或界内点排列非随机以及当时处理的情况都应予以记录,因为这些都是以后出现 异常时查找原因的重要参考资料。有了长期保存的记录,便能对该过程的质量水平有清楚的了解,这对于今后在产品设计和制定规格方面是十分有用的。 三、-R(均值-极差)控制图 对于计量值数据, 一R(均值一极差)控制图是最常用、最重要的控制图,因为它具有下列优点: 1.         适用范围广。对于图而言,计量值数据x服从正态分布是经常出现的。若x非正态分布,则当样本大小n4或5时,根据中心极限定理,知道近似正态分布。对于R图而言, 通过在电子计算机上的统计模拟实验证实,只要总体分布不是太不对称的,R的分布没有大的变化。这就从理论上说明了一R图适用的范围广泛。2.         灵敏度高。图的统计量为均值,反映在x上的偶然波动是随机的,通过均值的平均作用,这种偶然波动得到一定程度的抵消;而反映在x上的异常波动往往是在同一个方向的,它不会通过均值的平均作用抵消。因此,正图检出异常的能力高。至于R图的灵敏度则不如图高。 现在说明一下一R图的统计基础,假定质量特性服从正态分布N(,),且,均已 知。若x1,x2,.,xn是大小为n的样本,则样本均值为 =由于服从正态分布N(, /n),并且样本均值落入下列两个界限 - =- (5.3-1a)+ =+ (5.3-1b)间的概率为1-。因此若与已知,则式(5.3-1a)与式(5.3-1b)可分别作为样本均值的控制图的上下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3控制界限。当然,即使x的分布是非正态的,但由于中心极限定理,上述结果也近似成立。 在实际工作中,与通常未知,这时就必须应用从稳态过程所取的预备样本的数据对它们进行估计。预备样本通常至少取25个(根据判稳准则(2),最好至少取35个预备样本)。设取 m个样本,每个样本包含n个观测值。样本大小n主要取决于合理分组的结构,抽样与检查的费用,参数估计的效率等因素,n通常取为4,5或6。令所取的m个样本的均值分别为1, 2,., m,则过程的的最佳估计量为总均值,即 =（1+2+m）/m (5.3-2)于是可作为图的中心线。 为了建立控制界限,需要估计过程的标准差可以根据m个样本的极差或标准差来进行估计。应用极差进行估计的优点是极差计算简单,所以至今R图的应用较s图为广。 现在讨论极差法。设x1,x2,.,xn为一大小为n的样本,则此样本的极差R为最大观测值xmax与最小观测值xmin之差,即 R= xmax-xmin (5.3-3)若样本取自正态总体,可以证明样本极差R与总体标准差有下列关系:令W=R/,可以证明 E(W)=d2,为一与样本大小n有关的常数,于是,的估计量为=E(R)/d2。 令m个样本的极差为R1,R2,.,Rm,则样本平均极差为 = (5.3-4)故的估计量为 =E(R)/d2 (5.3-5) 若样本大小n较小,则用极差法估计总体方差与用样本方差去估计总体方差的效果是一样的。但当n较大,如n>10或12,则由于极差没有考虑样本在xmax与xmin之间的观测值的信息, 故极差法的效率迅速降低。但在实际工作中, 一R图一般取n=4，5或6,所以极差法是令人满意的。 若取的估计量为，的估计量为E(R)/d2,则图的控制线为 UCL=+ 3+ 3=+ CL= (5.3-6) LCL=-3- 3=-式中 =3 (5.3-7)为一与样本大小n有关的常数,参见附录计量值控制图系数表。 由上述,已知样本极差R与过程标准差有关,因此可以通过R来控制过程的变异度,这就是R图。R图的中心线即=。为了确定R图的控制界限,需要对R进行估计。若质量特性服从正态分布,令W=R/,可以证明w=d3(d3为一与样本大小n有关的常数),于是从R =W知知R =w=d3。由于未知,故从式=E(R)/d2得R的估计量为 =d3/d2 (5.3-8)根据上述,得到R图的控制线如下 UCL=+ 3+ 3=+ 3d3/d2 CL= (5.3-9) LCL=-3-3=-3d3/d2令D3=1-3d3/d2，D4=1+3d3/d2，则代入上式后，得R图的控制线为 UCL= CL= (5.3-10) LCL=式中,系数D3、D4参见计量值控制图系数表。 现在我们通过例子说明建立一R图的步骤,其他控制图的建立步骤也与此类似。 例5.3-1 厂方要求对汽车引擎活塞环的制造过程建立一R控制图进行控制。现取得25个样本，每个样本包含5个活塞环的直径的观测值，如活塞环直径的数据表所示。 解 我们按下列步骤进行。 步骤1:取预备数据。已取得预备数据如活塞环直径的数据表所示。 步骤2:计算样本均值。例如,对于第一个样本,我们有 1=74.010其余类推。 步骤3:计算样本极差R。例如,对于第一个样本, xmax =74.030, xmin =73.992,于是有 R1=74.030-73.992=0.058 其余类推。    活塞环直径的数据样本序号观 测 值1Ri174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022573.99274.00774.01573.98974.01574.0030.026674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012873.98574.00373.99374.01573.98873.9970.030974.00873.99574.00974.00574.00474.0040.0141073.99874.00073.99074.00773.99573.9980.0171173.99473.99873.99473.99573.99073.9940.0081274.00474.00074.00774.00073.99674.0010.0111373.98374.00273.99873.99974.00774.0060.0291474.00673.96773.99474.00073.98473.9900.0391574.01274.01474.99873.99974.00774.0060.0161674.00073.98474.00573.99873.99673.9970.0211773.99474.01273.98674.00574.00774.0010.0261874.00674.01074.01874.00374.00074.0070.0181973.98474.00274.00374.00573.99773.9980.0212074.00074.01074.01374.02074.00374.0070.0182173.99874.01074.01374.02074.00374.0090.0202274.00473.99973.99074.00674.00974.0020.0192374.01073.98973.99074.00974.01474.0020.0252474.01574.00873.99374.00074.01074.0050.0222573.98273.98473.99574.01774.01373.9980.035小 计平 均1850.0240.58174.0010.023 步骤4:计算样本总均值与平均样本极差。由于=1850.024, =0.581, 故 =74.001 =0.023  步骤5:计算R图与图的控制线。计算一R图应该从R图开始,因为图的控制界限中包含,所以若过程的变异度失控,则计算出来的这些控制界限就没有多大意义。对于样本大小n=5,从附录V查得D3=0,D4=2.115,又从步骤4知R=0.023,于是代入式 (5.3-10)后,得到R图的控制线为 UCL=2.115(0.023)=0.049 CL=0.023 LCL=0(0.023)=0如一R控制图所示。事实上,LCL=D3=(1一3d2/d3) ,当n=5,1-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114为负值,但R不可能为负,故此时LCL不存在。这里,LCL=0不过作为R的自然下界而已。当把25个预备样本的极差描点在R图中后,根据判断稳态的准则(1) 知过程的变异度处于控制状态。 于是可以建立图。        对于样本大小n=5,从附录V查得A2=0.577,又从步骤4知=74.001,R=0.023,于是 代入式 UCL=+ 3+ 3=+ CL= LCL=-3- 3=-后,得到图的控制线为 UCL=+=74.001+0.577(0.023)=74.014 CL=74.001 LCL=-=74.001一0.577(0.023)=73.988 如图（-R控制图）所示。当把预备样本的均值描点在图中后,根据判断稳态的准则(1)知过程的均值处于稳态。由于图和R图都处于统计稳态,且从该厂知过程也处于技术稳态,于是上述-R图可加以延长,作为控制用控制图供日常管理之用。 步骤6:延长上述一R图的控制界限作控制用控制图。为了进行日常管理,该厂又取了15 个样本,参见一R图的日常管理数据表。在计算出各个样本的与R后在一R图描点,如一R图用于日常管理图所示。从图中可见,图在第11个样本后的几个点子均出界,说明存在异常因素。事实上,从x 图上第9、第10个点子后的点子逐渐上升的趋势已可看出这是由于过程均值逐渐增大的结果。 现在对一R图进行一些讨论: 1.         如何联合应用一R图查找异常。如表（一R图的判断）所示,表中情况一、二、四的判断是成立的,至于情况三,现在说明如下:对于正态分布总体N(, ),只有变化而不变,则在图将由于描点出界的概率增大而告警;但若只有变化,而不变,这时不仅R图将由于描点出界的概率增大而告警,且图中描点出界的概率也增大,从而也会告警。所以在情况三,R图告警可以判断变化,而图同时告警则不能判断一定发生变化,因为有可能是由于变化引起的,是否发生变化应视具体情况而定。 一R图的判断情况图R图判断一告警未告警变化二未告警告警变化三告警告警变化,至于变化是否发生应视具体情况而定四未告警未告警正常 2.容差图。在图上的描点是样本的平均值而非样本的各个测量值x,有时将样本中的逐个x反映在规格界限的容差图中是有用的,如图（容插图）所示。图中的竖线表示该样本中各个x值的范围,规格界限为74.000±0.03。从图（容插图）可见,图（一R图用于日常管理图）连续4个点子出界并非是由于样本的个别异常观测值造成的,而是由于过程均值的偏移而造成的。我们求得从第9组到第15组样本的总均值为74.015,若过程均值从原来的稳定值74.001偏移到此值, 则将产生6.43%的不合格品。 3.   控制界限、规格界限与自然容差界限间的关系。一R图的控制界限与规格界限毫无关系完全是两码事。规格界限是由技术经济要求所决定的,而控制界限则是由过程的以标准差度量的自然变异度,亦即过程的自然容差界限所决定的.两者不可混为一谈，如图（控制界限、规格界限于自然容差界限）所示。         4.         应用一R的一些注意事项： (1)合理分组原则。在收集数据进行分组时要遵循休哈特的合理分组原则:1)组内差异仅由偶然波动(偶然因素)造成;2)组间差异主要由异常波动(异常因素)造成。下面作些说明。 首先,若过程稳定,则在过程中只存在偶然波动(偶然因素),它由3方式中的所反映。如果确定值不仅有偶然波动而且还有异常波动,则值增大,也即上下控制界限的间隔加大。在极端情况下,若异常波动全部进入值的计算,则上下控制界限的间隔将大到使任何点都不会出界。从而控制图就失去了控制的作用。因此,一个样本组内各个样品特性值的差异要求尽可能由偶然波动造成。这就要求同一个样本组的各个样品的取样应在短时间内完成。 其次,各个样本组的统计量平均值也是有差异的。由于偶然波动始终存在,它必然会对此差异有影响,但这种影响是微小的。若过程异常,要求统计量平均值之间的差异主要由异常波动(异常因素)造成,这样便于由控制图检出异常。这就要求在容易产生异常的场合增加抽样频率, 反之,亦然。 (2)经济性。抽样的费用不得高于所获得的效益。 (3)样本大小n和抽样频率。若用控制图去检出过程的较大偏移,例如2或更大的偏 移,则可用较小的样本(如n=4,5或6)即可将其检出,若检出较小的过程偏移,则需用较大的样本,甚至需要n=15至25。当然,较小的样本在抽样时正好碰到过程偏移的可能性也小。因此, 可以采用添加警戒限和其他判定界内点非随机排列的原则,来提高控制图检出过程小偏移的能力,而不采用大样本的作法。对于R图,若采用小样本则对于检出过程标准差的偏移是不很灵敏的,但大样本(n>10),用极差法估计标准差的效率将迅速降低。因此,对于n>10的样本,应该采用s图而不用R图。 在确定正图和R图的样本大小时, 图和R图的操作特性曲线是有用的。至于抽样频率, 实践表明多倾向于采用小样本、短间隔而不是大样本、长间隔。 （4）图和R图检出过程质量偏移的能力可由其操作特性曲线(简称OC曲线)来描述。 1) 图的检定能力和OC曲线。假定过程标准差为常数,若过程均值由稳定状态值0 偏移到另一值1,其中1=0+,则在偏移后第一个抽取的样本未检出此偏移的概率(即第类错误的概率)或风险为 =PLCLUCL|=1=0+ （5。3-11）由于N(, /n),而图的上下控制界限分别为 UCL=0+ 3, UCL=0- 3,于是,可将式(5.3一11)写成 =- =- =(3-K)-(-3-K) （5.3-12）式中,为标准正态累积分布函数,参见附录I表A一1。根据式=(3-K)-(-3-K)可作出图的OC曲线如变化而一定时图的OC曲线图所示。从图中可见,当n一定时,值随K的增加而减少;而当K一定时,值随n的增加也减少。当样本大小n<4,5或6时, 图由偏移后第一个样本就检出过程的小偏移并不有效。例如,若偏移为1.0,n=5,则由此图可查得近似等于0.75,于是此偏移由第一个样本检出的概率仅仅为1一=1一0.75=0.25;此偏移由第二个样本检出的概率为(1一 )=0.75(1一0.75)=0.19;.;此偏移由第K个样本检出的概率为(1一)。一般,为检出此偏移的期望样本个数为, (1一)= （5.3-13）由此,在本例有1/（1一）=1/0.25=4,即若n=5,在图检出1.0的偏移的期望样本个数为4 个。 以上讨论是当总体标准差一定而均值变化时图的OC曲线。若值一定而变化, 不妨设标准差由偏移到=K1,则与式(5.3-12)类似地可得出风险为 =- =(3/)-(-3/) （5.3-14）表5.3一4是根据式(5.3一14)计算得到的值。由此表可知, 图不仅对的变化具有检定能力,而且对的变化也具有检定能力,也就是说,即使当保持不变而变化时也会在图上反映出来,这与一R图的判断表一致。此外,当不变而变化时,值与样本大小n无关(见式 (5.3-14)。 表5.3一4 一定变化时图的值11.522.5345 0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514另外，还可以讨论均值及标准差同时变化时图的第类错误概率值，这里只给出的计算公式及当n=4时的值(见表及同时变化时图的值(n=4) =- (5.3-15)根据上表中数据可画出如及同时变化时图的OC曲线所示的一系列OC曲线。由图中可见,当增大,即K1值变大时,曲线的倾斜率变得平缓;而K1值较小时图的值随K值增大而激减, 亦即图检出过程均值偏移的概率激增,即图的灵敏度增加。         上述讨论说明图采用小样本是合理的。虽然小样本的风险较大，但由于我们周期地抽取样本并检验和在图上描点,所以非常可能在抽取合理的样本个数后就可检出过程的偏移。此外,还可采取增添警戒限和界内点非随机排列的判定准则来提高图检出过程偏移的能力。 2) R图的检定能力和OC曲线。为了构造R图的仅OC曲线需要用到W=R/的分布。设 过程标准差从处于稳定状态的偏移到=(>),则R图的OC曲线(见图3.5.3-7)给出了此偏移未被第一个样本检出的概率,即值。 从图3.5.3-7图中曲线可见,当样本大小n增加时,值减小,R图的检定能力提高,这点同图的情况相同。但有一点是不同的,即图对的变化有一定的检定能力,但R图对的变化却没有检定能力,也即若不变而变化,不能在R图上反映出来。另外,当采用小样本时, 例如n=4,5或6时,R图对检出过程的偏移不是很有效。这时可采用前述增加控制图灵敏度的措施。若样本大小n>10或12时,一般应采用s图来代替R图。3) 一R图的检定能力。分析了图和R图的检定能力,现在来分析图和R图同时使用时的总检定能力。在样本大小n较小时, 一R图未能检出过程偏移的概率等于它们个别未能检出过程偏移的概率的乘积。设为图未能检出偏移的概率, R为R图未能检出偏移的概率R为一R图未能检出偏移的概率,则有 T=·R 例如,当n=4时,可以算得一R图的命值如表所示。对于不同的n可能算出不同的T值。由表一R图的值（n=4）中数据可见,同时应用图和R图的检定能力比单独使用图或R图 的检定能力大。 四、-s(均值-标准差)控制图 若样本大小n较大,例如n>10或12,这时用极差法估计过程标准差的效率较低。最好在R中用s图代替R图。 若为一概率分布的未知方差,则样本方差 =为的无偏估计量,但样本标准差s并非是的无偏估计量。若样本取自正态总体,可以证明=,这里为一与样本大小n有关的常数。 现在,我们考虑。已知的情况,由于E(s)= ,故s图中的中心线为,于是s图的控制线为 UCL=+3 CL= （5.4-1） LCL=-3定义 =-3 （5.4-2） =+3 （5.4-3）则代如上式后，得到已知的图的控制线为 UCL= CL= （5.4-4） LCL=式中,系数B5、B6可自附录V表A一5查得。 若未知,则必须根据以往的数据进行估计。从E(s)= ,有=/C4,这里 = （5.4-5）于是得到。未知情况的s图的控制线为 UCL=+3 CL= （5.4-6） UCL=-3定义 =1-3 （5.4-7） =1+3 （5.4-8）由此得到未知情况的s图的控制线为 UCL= CL= LCL=式中,系数B3、B4可从附录V查得。 在应用-s图时,相应的正图的控制界限也需要应用/C4来估计，于是这时图的控制线为 UCL=+ CL= LCL=-令 =则图的控制线可写成 UCL=+ CL= LCL=-式中，系数A3可从附录查得。  五、Xmed-R(中位数-极差)控制图 Xmed-R图与-R图相似,只不过用Xmed (中位数)图代替图而已。若样本取自正态总体, 为样本中位数,m个样本的样本平均中位数为 =可以证明E()=。=/。这里,m3为一与样本大小n有关的常数。于是=,由 此得已知情况的图的控制线为 UCL=+3/ CL= LCL=-3/式中,系数可从附录V查得。若未知,则需应用估计量R/d2。代人上式后,得未知情况的Xmed图的控制线为 UCL=+3/d2=+ CL= LCL=-3/d2=-当n=5,从附录V可查得=1.198,所以Xmed图的控制界限间隔要比图的约宽20%,从而Xmed图检出过程偏移的能力也要比图减低不少。 六、x-Rs(单值-移动极差)控制图 现在样本大小为1,所以对过程标准差的估计要通过相邻两个样本间的移动极差Rs来进行。设从过程抽取的样本为,i=1,2,.,n,则移动极差定义为 Rsi=|一|, i=1,2,.,n-1 而平均移动极差为 = 若样本取自正在总体,可以证明E(Rs)= , =,于是=。对于已知的情况,x图的控制线为 UCL=+3