新高考数学试题(带答案).pdf

新高考数学试题新高考数学试题(带答案带答案)一、选择题一、选择题a(a b)xab 1定义运算，则函数f(x)12的图象是（）b(a b)ABCD2已知A-1a2i bi，a,bR R，其中i为虚数单位，则a+b=（）iB1C2D33通过随机询问 110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：爱好男女总计402060不爱好203050总计60501102n(ad bc)2110(40302030)2算得,K 7.8由K(ab)(cd)(ac)(bd)605060502附表：P(K2 k)005000100001k3841663510828参照附表，得到的正确结论是（）A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”44 张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A12B13C23D345从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（）A110B310C35D256一个容量为 80 的样本中数据的最大值是140,最小值是 51,组距是 10,则应将样本数据分为()A10 组A0B9 组B1C8 组D7 组7已知集合A x|x 1 0，B 0,1,2，则AC1,2B D0,1,28已知i为虚数单位，复数z满足(1i)z i，则z（）A14B12C22D29由 a2，2a，4 组成一个集合 A，A 中含有 3 个元素，则实数 a 的取值可以是（）A1B2C6D210祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体 Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A158C182B162D324x,x 011已知a,bR R，函数f(x)131，若函数2x(a1)x ax,x 023y f(x)axb恰有三个零点，则（）Aa 1,b 0Ca 1,b 0Ba 1,b 0Da 1,b 012在 ABC中，AB=2，AC=3，ABBC 1则 BC=_A3B7C2D23二、填空题二、填空题13在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin1，则cos()=_.3214函数fx sin x3cosx3（x0,）的最大值是_4215在平行四边形 ABCD中，A 3，边 AB，AD的长分别为 2 和 1，若 M，N分别是边 BC，CD上的点,且满足BMBCCNCD，则AM AN的取值范围是_16函数y lg12sin x的定义域是_17等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C ABD的余弦值为3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于318设复数z 1i(i虚数单位),z的共轭复数为z，则1 zz _.19若函数f(x)x x1aln x在(0,)上单调递增，则实数a的最小值是2_x2y220已知双曲线C1：221(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2，第一象限内的ab点M(x0,y0)在双曲线C1的渐近线上，且MF1 MF2，若以F2为焦点的抛物线C2：y2 2px(p 0)经过点M，则双曲线C1的离心率为_三、解答题三、解答题21为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100 个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：；.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备 的性能等级.（）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.；.从设备 的生产流水线上随机抽取 2 个零件，求其中次品个数 的数学期望从样本中随意抽取 2 个零件，求其中次品个数 的数学期望x2y222已知椭圆C:221a b 0的一个焦点为ab（1）求椭圆C的标准方程；5,0，离心率为5.3（2）若动点Px0,y0为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.23已知fx x1 ax1.（1）当a 1时，求不等式fx1的解集；（2）若x0,1时不等式fx x成立，求a的取值范围.24在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为 4sin,cos（I）求C1与C2交点的极坐标；2 2.4（II）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线.PQ的参数方程为x t3ab3tR为参数,求a,b的值.y t 1225如图,四棱锥P ABCD中，AB/DC，ADC PD PB 6，PD BC2，AB AD 1CD 2，2（1）求证：平面PBD平面PBC；（2）在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为在，求？若存3CM的值；若不存在，说明理由CP【参考答案】【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1A解析：A【解析】【分析】【详解】由已知新运算ab的意义就是取得a,b中的最小值，因此函数fx12 x1,x 0，x2,x 0只有选项A中的图象符合要求，故选A.2B解析：B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai bi，再利用复数相等列方程求出a,b的值，从而可得结果.【详解】a2iai2i2因为 2ai bi，a,bR R，2ii2 bb 2所以，则a+b 1，故选 B.a 1a 1【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3A解析：A【解析】【分析】【详解】由K2 7.8 6.635，而P K 6.635 0.010，故由独立性检验的意义可知选A24B解析：B【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题从这 4 张卡片中随机抽取2 张，总的方法数是C4两种，所以所求概率为考点：古典概型26种，数学之和为偶数的有13,2 41，选B35C解析：C【解析】【分析】设第一张卡片上的数字为x，第二张卡片的数字为y，问题求的是P(x y)，首先考虑分别写有数字 1，2，3，4，5的 5 张卡片中随机抽取 1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y的可能性有多少种，然后求出P(x y).【详解】设第一张卡片上的数字为x，第二张卡片的数字为y，分别写有数字 1，2，3，4，5的 5张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取1 张，共有55 25种情况，当x y时，可能的情况如下表：xy个数123451，2，3，4，52，3，4，53，4，54，5554321P(x y)【点睛】543213，故本题选 C.255本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.6B解析：B【解析】由题意知，(14051)10 8.9，所以分为9组较为恰当，故选 B.7C解析：C【解析】【分析】由题意先解出集合 A,进而得到结果【详解】解：由集合 A 得x 1,所以AB1,2故答案选 C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题8C解析：C【解析】由题得z ii(1i)1i11112.故选 C.i z()2()21i22222229C解析：C【解析】试题分析：通过选项 a 的值回代验证，判断集合中有3 个元素即可解：当 a=1 时，由 a2=1，2a=1，4 组成一个集合 A，A 中含有 2 个元素，当 a=2 时，由 a2=4，2a=4，4 组成一个集合 A，A 中含有 1 个元素，当 a=6 时，由 a2=36，2a=4，4 组成一个集合 A，A 中含有 3 个元素，当 a=2 时，由 a2=4，2a=0，4 组成一个集合 A，A 中含有 2 个元素，故选 C点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查10B解析：B【解析】【分析】先由三视图还原出原几何体，再进行计算【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为46 26336 162.22故选 B.【点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算11C解析：C【解析】【分析】当x 0时，y f(x)ax b xax b (1a)xb最多一个零点；当x 0时，13111x(a1)x2axaxb x3(a1)x2b，利用导数研3232究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得【详解】y f(x)axb 当x 0时，y f(x)ax b xax b (1a)xb 0，得x b；1ay f(x)axb最多一个零点；当x 0时，y f(x)axb 13111x(a1)x2axaxb x3(a1)x2b，3232y x2(a 1)x，当a1 0，即a1时，y 0，y f(x)axb在0，)上递增，y f(x)axb最多一个零点不合题意；当a10，即a 1时，令y 0得xa1，)，函数递增，令y 0得x0，a 1)，函数递减；函数最多有2 个零点；根据题意函数y f(x)axb恰有 3 个零点函数y f(x)axb在(,0)上有一个零点，在0，)上有 2 个零点，如图：b 0b 0且1，132(a1)(a1)(a1)b 01a23解得b 0，1a 0，0 b 故选C1(a1)3,a 16【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a,b两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.12A解析：A【解析】【分析】【详解】14 BC29222ABBC|AB|BC|cos B (AB BC AC)122|BC|=3故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.二、填空题二、填空题13【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边7解析：解析：9【解析】试题分析：因为和关于y轴对称，所以 2k,k Z，那么12 22 2sin sin，cos cos（或cos cos），333所以cos coscossinsin cossin 2sin1 2227.9【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于y轴对称，则 2k,k Z，若与的终边关于x轴对称，则 2k,k Z，若与的终边关于原点对称，则 2k,k Z.141【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1解析：1【解析】【详解】化简三角函数的解析式，可得fx1cos x3cosx231 cos2x3cos x44(cos x32)1，2由x0,，可得cos x0,1，当cos x 23时，函数f(x)取得最大值 1215【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量2,5解析：解析：【解析】【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则B(2,0)，A(0,0)，13|BM|CN|533D,M(2N(2，)，0,1，设，则，)22|BC|CD|2222 所以AM AN (2 2，35353)(2，)542 2 25，222442因为 0,1，二次函数的对称轴为：1，所以 0,1时，252,5 2,5故答案为：【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题16【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为513x|2k x 2k,k Z解析：解析：66【解析】由题意可得，函数y lg(12sin x)满足12sin x 0，即sin x解得1，2513 2k x 2k,k Z，665132k x 2k,k Z.66即函数y lg(12sin x)的定义域为x|17【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO面ABDEOHAB则CHAB CHO为二面角CABD的平面角CH=3OH=CHcos CHO=1结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为1解析：解析：6【解析】【分析】【详解】设 AB=2,作 CO面 ABDEOHAB，则 CHAB，CHO为二面角 CABD 的平面角，CH=3，OH=CHcosCHO=1，结合等边三角形 ABC与正方形 ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，AN EM CH 3,AN11(AC AB),EM AC AE221AN EM 21故 EM,AN所成角的余弦值21，3 3618【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和解析：解析：10【解析】分析：由z 1i，可得z 1i，代入1zz，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为z 1i，所以z 1i，1 zz 11i1i2i1i 3i 91 10，故答案为10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题解题时一定要注意i2 1和abicdiacbdad bci19【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的1解析：解析：8【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到a x2x2在0,上恒成立，利用二次函数的性质求得x2x2的最大值，进而得到结果.【详解】函数fx x x1alnx在0,上单调递增2 f x 2x12a 0在0,上恒成立a x2x2在0,上恒成立x令gx x2x，x 0根据二次函数的性质可知：当x 11时，gxmax84a 11，故实数a的最小值是8818本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.20【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得又可得即为由联立可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即解析：解析：25【解析】【分析】由题意可得y0bx0，又由MF1 MF2，可得y02 x02 c2，联立得x0 a，y0 b，a2又由F为焦点的抛物线C2：y 2px(p 0)经过点M，化简得c24aca2 0，根据离心率e【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为y 可得y0c，可得e24e1 0，即可求解abx，焦点为F1c,0，F2c,0，abx0，a又MF1 MF2，可得y0y0 1，x0c x0c222即为y0 x0 c，由a2b2 c2，联立可得x0 a，y0 b，由F为焦点的抛物线C2：y 2px(p 0)经过点M，可得b 2pa，且由e 22p c，即有b2 4ac c2a2，即c24aca2 02c，可得e24e1 0，解得e 25a【点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c的值，代入公式e c；只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为aa,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)三、解答题三、解答题21（I）丙级；（）【解析】【分析】（I）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备 的性能等级。（）先根据题意将次品件数求出。根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出值的概率，进而求出【详解】（I），由图表知，所以该设备 的级别为丙级.（）从设备 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是，。根据古典概型求概率的公式，可以求出 的每种取；.依题意，故.从 100 件样品中任取 2 件，次品数 的可能取值为 0，1，2，故【点睛】对于（）问题是二项分布（次独立重复试验中，事件A 发生的次数期望为）利用公式得出。，其.，x2y222 y013.22（1）1；（2）x094【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c的值，然后根据离心率求出a的值，最后根据a、b、c三者的关系求出b的值，从而确定椭圆C的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为k1、k2，并由两条切线的垂直关系得到k1k2 1，并设从点Px0,y0所引的直线方程为y kxx0 y0，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用 0得到有关k的一元二次方程，最后利用k1k2 1以及韦达定理得到点P的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标，并验证点P是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P的轨迹方程.（1）由题意知55 a 3，且有a3，即32b25，解得b 2，x2y2因此椭圆C的标准方程为1；94（2）设从点P所引的直线的方程为y y0 kxx0，即y kxy0kx0，当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时，分别设为k1、k2，则k1k2 1，将直线y kxy0kx0的方程代入椭圆C的方程并化简得9k24x218ky0kx0 x9y0kx036 0，2222 18k y kx4 9k 49 y kx36 0，0000化简得y0kx09k224 0，即x2029 k22kx0y0 y04 0，则k1、k2是关于k的一元二次方程x09 k 2kx0y0 y04 0的两根，则2y04k1k22 1，x0922化简得x0 y013；222当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P的坐标为3,2，此时点P也在圆x2 y213上.综上所述，点P的轨迹方程为x y 13.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.23（1）x x 221；（2）0,22【解析】分析：(1)将a 1代入函数解析式，求得fx x1 x1，利用零点分段将解析式化 2,x 1,为fx2x,1 x 1,，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式fx1的解集2,x 1.为x x1；2(2)根据题中所给的x0,1，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式fx x可以化为x0,1时ax1 1，分情况讨论即可求得结果.2,x 1,详解：（1）当a 1时，fx x1 x1，即fx2x,1 x 1,2,x 1.故不等式fx1的解集为x x12（2）当x0,1时x1 ax1 x成立等价于当x0,1时ax1 1成立若a 0，则当x0,1时ax1 1；若a 0，ax1 1的解集为0 x 综上，a的取值范围为0,2点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应22，所以1，故0 a 2aa用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.24（I）(4,【解析】【分析】【详解】22（I）圆C1的直角坐标方程为x(y 2)4，直线C2的直角坐标方程为x y 4 0),(22,)（II）a 1,b 224x1 0 x2 2x2(y2)2 4联立得得所以C1与C2交点的极坐标为y1 4 y2 2x y4 0(4,),(22,)24（II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ的直角坐标方程为x y 2 0babbabx1，所以1,1 2,解得a 1,b 2222225（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】由参数方程可得y（1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BCBD，结合 BCPD 得出 BC平面PBD，于是平面 PBD平面 PBC；（2）建立空间坐标系，设平面 PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于得解【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且AB/DC,AB AD 2,ADC 所以BD 2 2，又因为CD 4,BDC CM，计算平面 ABM和CP1，解方程得出 的值,即可22,4根据余弦定理得BC 2 2,所以CD2 BD2BC2，故BC BD.又因为BCPD,PDBD D,且BD,PD 平面PBD，所以BC平面PBD，又因为BC 平面 PBC，所以平面PBC 平面PBD（2）由（1）得平面ABCD 平面PBD,设E为BD的中点，连结PE，因为PB PD 平面ABCD平面PBD BD，6,所以PE BD,PE 2,又平面ABCD 平面PBD，PE 平面ABCD.如图，以A为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)，假设存在M(a,b,c)满足要求，设所以M(2-,4-3,2),易得平面PBD的一个法向量为BC (2,2,0).设n (x,y,z)为平面ABM的一个法向量，AB (0,2,0)，AM=(2-,4-3,2)CM(0 1)，即CM CP，CPnAB 02y 0由得，不妨取n (2,0,2).(2)x(43)y2z 0nAM 041因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以，32 2 42(2)22解得2,2，（不合题意舍去）.3CM2.CP3故存在M点满足条件，且【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做