2020年新高考I卷数学高考试卷(原卷+答案).pdf

绝密启用前绝密启用前20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(新高考新高考 I I 卷卷)(适用地区：山东)数数学学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 A=x|1x3，B=x|2x4，则 AB=Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4Dx|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n22C若 mn0，则 C 是两条直线10下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=mxn5Asin(x+）Bsin(2x)Ccos(2x+）Dcos(2x)336611已知 a0，b0，且 a+b=1，则Aa2+b212B2ab12Clog2a+log2b 2nDa+b 2,n，且12 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念.设 随 机 变 量X 所 有 可 能 的 取 值 为1,2,P(X=i)=pi 0(i=1,2,n),pi=1，定义 X 的信息熵H(X)=pilog2pi.i=1ni=1A若 n=1，则 H(X)=0B若 n=2，则 H(X)随着p1的增大而增大2 2/1919C若pi=1(i=1,2,n,n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1 j(j=1,2,D 若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,则 H(X)H(Y),m)，三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13斜率为3的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB=_14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC=3，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为15cm，则图中阴影部分的面积为_cm216已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60以D1为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ac=3，csin A=3，c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A=3sin B，C=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12 分）已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8（1）求an的通项公式；（2）记bm为an在区间(0,m(mN N*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S1003 3/1919，_?619（12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：SO2PM2.50,350,50(50,150(150,4753263188741210(35,75(75,115（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50,750,150(150,475(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？n(ad bc)2附：K=，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2P(K2 k)k0.0500.0100.0013.8416.63510.82820（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值21（12分）已知函数f(x)=aex1ln x+lna（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围4 4/191922（12分）x2y22已知椭圆C：2+2=1(a b 0)的离心率为，且过点A（2，1）ab2（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值5 5/19192020 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国 I 卷）数数 学学1.【答案】C【分析】根据集合并集概念求解.【详解】AUB=1,3U(2,4)=1,4)故选：C2.【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】2i(2i)(12i)5i=i故选：D1+2i(1+2i)(12i)53.【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C6；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C5；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C6C5=610=60种.故选：C4.【答案】B【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出晷针与点A处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OAl；AB是晷针所在直线.m是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m/CD、根据线面垂直的定义可得AB m.由于AOC=40,m/CD，所以OAG=AOC=40，由于OAG+GAE=BAE+GAE=90，所以BAE=OAG=40，也即晷针与点A处的水平面所成角为BAE=40.故选：B12125.【答案】C【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，然后根据积事件的概率公式P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，6 6/1919所以P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=0.6+0.820.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.6.【答案】B【分析】根据题意可得I(t)=e=ert0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得t1即可得结果.【详解】因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.281=0.38，所以I(t)=ert=e0.38t，6设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=ln20.691.8天.故选：B.0.380.387.【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)，结合向量数量积的定义式，可知AP AB等于AB的模与AP在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB的取值范围是(2,6)，故选：A.8.【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R上的奇函数f(x)在(,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+)上也是单调递减，且f(2)=0，f(0)=0，所以当x(,2)(0,2)时，f(x)0，当x(2,0)所以由xf(x1)0可得：(2,+)时，f(x)0，x 0 x 0或或x=02 x1 0或x1 20 x1 2或x1 27 7/1919解得1 x0或1 x 3，所以满足xf(x1)0的x的取值范围是1,01,3，故选：D.9.【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，m n 0时表示椭圆，m=n 0时表示圆，mn 0时表示双曲线，m=0,n 0时表示两条直线x2y2+=1【详解】对于 A，若m n 0，则mx2+ny2=1可化为1，1mn因为m n 0，所以即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B，若m=n 0，则mx2+ny2=1可化为x+y=2211，mn1，n此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故 B 不正确；nx2y2+=1对于 C，若mn 0，则mx2+ny2=1可化为1，1mn此时曲线C表示双曲线，由mx2+ny2=0可得y=mx，故 C 正确；n2对于 D，若m=0,n 0，则mx2+ny2=1可化为y=1，ny=n，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确；故选：ACD.n10.【答案】BC分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22T2=2，所以不选 A,=，则=2362T253+5时，y=12+=+2k(k Z)，当36x=1222122解得：=2k+(k Z Z)，3即函数的解析式为：2y=sin2x+2k=sin2x+=cos2x+=sin2x.362638 8/19195cos 2x+=cos(2x)故选：BC.而66(1)由 2即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令Tx00(或 x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11.【答案】ABD【分析】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于 A，a+b=a+(1a)22221 11=2a 2a+1=2a+，222221时，等号成立，故 A 正确；21ab 21=，故 B 正确；对于 B，a b=2a 1 1，所以22当且仅当a=b=1 a+b 对于 C，log2a+log2b=log2ab log2=log=2，224当且仅当a=b=对于 D，因为21时，等号成立，故 C 不正确；2(a+b)2=1+2 ab 1+a+b=2，1时，等号成立，故 D正确；故选：ABD2所以a+b 12.【答案】AC2，当且仅当a=b=【分析】对于A选项，求得H(X)，由此判断出A 选项的正确性；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出H(X)，利用对数函数的性质可判断出C 选项的正确性；对于 D选项，计算出H(X),H(Y)，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项的正确性.【详解】对于 A选项，若n=1，则i=1,p1=1，所以H(X)=(1log21)=0，所以 A选项正确.对于 B选项，若n=2，则i=1,2，p2=1 p1，所以H(X)=p1log2p1+(1 p1)log2(1 p1)，当p1=131 1H X=log+log2()时，244443，4当p1=311 3 3时，H(X)=log2+log2，44444两者相等，所以 B 选项错误.9 9/1919对于 C选项，若pi=1(i=1,2,n,n)，则1 1 1H(X)=log2n=log2=log2n，nnn则H(X)随着n的增大而增大，所以C 选项正确.对于 D选项，若n=2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,（j=1,2,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1 j,m）.2m2mH(X)=pilog2pi=pilog2i=1i=11pi1p2m1+p2mlog21.p2m=p1log211+p2log2+p1p2+p2m1log2H(Y)=(p1+p2m)log211+(p2+p2m1)log2+p1+p2mp2+p2m1+p2m1log2+(pm+pm+1)log21pm+pm+1=p1log211+p2log2+p1+p2mp2+p2m111+p2mlog2由于p2+p2m1p1+p2mpi0(i=1,2,所以pilog2,2m)，所以1111 log2，所以log2，pipi+p2m+1ipipi+p2m+1i11 pilog2，pipi+p2m+1i所以H(X)H(Y)，所以 D 选项错误.故选：AC13.【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到关于 x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】抛物线的方程为y2=4x，抛物线的焦点 F坐标为F(1,0)，又直线 AB过焦点 F且斜率为3，直线 AB的方程为：y=3(x1)代入抛物线方程消去 y并化简得3x210 x+3=0，解法一：解得x1=1,x2=332所以|AB|=1+k|x1 x2|=1+3|3解法二：=10036=640设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=116|=3310,31010/1919过A,B分别作准线x=1的垂线，设垂足分别为C,D如图所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163故答案为：16314.【答案】3n22n【分析】首先判断出数列2n1与3n2项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列2n1是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列3n2是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，所以an的前n项和为n1+故答案为：3n22n.15.【答案】4+n(n1)6=3n22n，252【分析】利用tanODC=3求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直5角OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以AGP=45，因为BH/DG，所以AHO=45，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA AG，即OAH为等腰直角三角形；1111/1919在直角OQD中，OQ=522r，DQ=7r，22因为tanODC=OQ3=，所以213 2r=255 2r，DQ522解得r=2 2；等腰直角OAH的面积为S1=12 22 2=4；213 2 2扇形AOB的面积S2=24()2=3，所以阴影部分的面积为S1+S215.=4+22故答案为：4+5.216.【答案】2.2【分析】根据已知条件易得D1E=3，D1E 侧面B1C1CB，可得侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为2，可得侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：1212/1919取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CC1的中点为G，因为BAD=60，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱长均为 2，所以D1B1C1为等边三角形，所以D1E=3，D1E B1C1，又四棱柱ABCD A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1平面A1B1C1D1，所以BB1 B1C1，因为BB1B1C1=B1，所以D1E 侧面B1C1CB，设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，则D1E EP，因为球的半径为5，D1E=3，所以|EP|=|D1P|2|D1E|2=53=2，所以侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为|EF|=|EG|=2，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为B1EF=C1EG=4，所以FEG=2，所以根据弧长公式可得FG=22=2.2故答案为：2.217.【答案】详见解析【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角A,B,C的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：解法一：由sin A=3sin B可得：a=3，b不妨设a=3m,b=m(m 0)，则：c2=a2+b22abcosC=3m2+m22 3mm选择条件的解析：选择条件的解析：据此可得：ac=3mm=3m2=3，m=1，此时c=m=1.选择条件的解析：选择条件的解析：3=m2，即c=m.2b2+c2a2m2+m23m21据此可得：cos A=，=22bc2m21313/1919331则：sin A=1=，此时：csin A=m=3，则：c=m=2 3.222选择条件的解析：选择条件的解析：可得2cm=1，c=b，bm与条件c=3b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：sinA=3sinB,C=sinA=6,B=(A+C),3sin(A+C)=3sinA+,631+3cosA?，22sinA=3sin(A+C)=3sinA?sinA=3cosA,tanA=3,A=2,B=C=,36若选，ac=3,a=3b=3c,3c2=3,c=1;若选，csinA=3,则3c=3,c=2 3;2若选,与条件c=3b矛盾.n18.【答案】（1）an=2；（2）S100=480.【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为a1,q的形式，求解出a1,q，由此求得数列an的通项公式.（2）通过分析数列bm的规律，由此求得数列bm的前100项和S100.a1q+a1q3=20【详解】（1）由于数列an是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，依题意有，2a q=81解得解得a1=2,q=2，或a1=32,q=n1(舍)，2n所以an=2，所以数列an的通项公式为an=2.（2）由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128，所以b1对应的区间为：(0,1，则b1=0；b2,b3对应的区间分别为：(0,2,(0,3，则b2=b3=1，即有2个1；b4,b5,b6,b7对应的区间分别为：(0,4,(0,5,(0,6,(0,7，则b4=b5=b6=b7=2，即有22个2；b8,b9,b15对应的区间分别为：(0,8,(0,9,(0,15，则b8=b9=b15=3，即有23个3；1414/1919b16,b17,b32,b33,b64,b65,b31对应的区间分别为：(0,16,(0,17,b63对应的区间分别为：(0,32,(0,33,b100对应的区间分别为：(0,64,(0,65,2345,(0,31，则b16=b17=,(0,63，则b32=b33=b31=4，即有24个4；=b63=5，即有25个5；=b100=6，即有37个6.,(0,100，则b64=b65=所以S100=12+22+32+42+52+637=480.19.【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22列联表；（3）计算出K2，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市 100天中，空气中的PM2.5浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150的天数有32+6+18+8=64天，所以该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150的概率为（2）由所给数据，可得22列联表为：SO2PM2.50,75(75,115合计的0,15064107464=0.64；100(150,47516合计80102620100（3）根据22列联表中的数据可得n(ad bc)2100(64101610)23600=7.4844 6.635，K=481(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)802074262因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.20.【答案】（1）证明见解析；（2）6.3【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得AD/l，从而得到l 平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,1)，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos n,PB 的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：1515/1919在正方形ABCD中，AD/BC，因AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD/平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBC=l，所以AD/l，因为在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD DC,l DC,且PD 平面ABCD，所以AD PD,l PD,因为CDPD=D所以l 平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz，为因为PD=AD=1，则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，设Q(m,0,1)，则有DC=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,1)，设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，DCn=0y=0则，即，mx+z=0DQn=0令x=1，则z=m，所以平面QCD的一个法向量为n=(1,0,m)，则cos n,PB=nPBn PB=1+0+m3m+12根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面r uu r所成角的正弦值等于|cos n,PB|=31+2m+m2=3m2+13m2+1|1+m|=32m32|m|36，当且仅当m=1时取等号，1+2 1+2 1+1=3m+13m+133所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为6.321.【答案】（1）2（2）1,+)e1【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数f(x)得导函数f(x)的单调递增，当 a=1时由f(1)=0得1616/19191f(x)min=f(1)=1,符合题意；当 a1时，可证f()f(1)0，从而f(x)存在零点x0 0，使得af(x0)=aex011=0，得到f(x)min，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以x0证得(x)1恒成立；当0 a 1时，研究f(1).即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将f(x)1转化为exlna+x1+lna+x1 elnx+lnx,令g(x)=e+x,上述不等式等价于g(lna+x1)g(lnx),注意到g(x)的单调性，进一步等价转化为lna lnx x+1，令h(x)=lnxx+1,利用导数求得h(x)max，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得 a的取值范围.【详解】（1）Q f(x)=exln x+1，f(x)=e x1，k=f(1)=e1.xQ f(1)=e+1，切点坐标为(1,1+e),函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y e1=(e1)(x1),即y=(e1)x+2,切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(2,0),e1所求三角形面积为122;2|=2e1e1（2）解法一：Q f(x)=aex1ln x+lna,f(x)=aex11，且a 0.x1 0,2xg(x)在(0,+)上单调递增，即f(x)在(0,+)上单调递增，x1设g(x)=f(x),则g(x)=ae+当a=1时，f(1)=0,f(x)min=f(1)=1,f(x)1成立.111111当a 1时，1，ea1，f()f(1)=a(ea1)(a1)0,aax01存在唯一x0 0，使得f(x0)=ae1=0，且当x(0,x0)时f(x)0，当x(x0,+)时x0 x 1f(x)0，ae0=1，lna+x01=ln x0，x0 x01因此f(x)min=f(x0)=aelnx0+lna=11+lna+x01+lna 2ln a 1+2 x0=2ln a+11,x0 x01717/1919f(x)1,f(x)1恒成立；当0 a 1时，f(1)=a+lna a 1,f(1)1,f(x)1不是恒成立.综上所述，实数 a的取值范围是1,+).解法二：f(x)=aex1lnx+lna=elna+x1lnx+lna1等价于elna+x1+lna+x1lnx+x=elnx+lnx,令g(x)=e+x,上述不等式等价于g(lna+x1)g(lnx),x显然g(x)为单调增函数，又等价于lna+x1lnx，即lna lnx x+1，令h(x)=lnxx+1,则h(x)=11 x1=xx在(0,1)上 h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上 h(x)0,h(x)单调递减，h(x)max=h(1)=0,lna 0，即a 1，a 的取值范围是1,+).x2y222.【答案】（1）（2）详见解析.+=1；63【分析】(1)由题意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点 M，N的坐标，在斜率存在时设方程为y=kx+m,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到 m,k的关系，进而得直线 MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点 Q的位置.c3=2a 41x2y2222【详解】(1)由题意可得：2+2=1，解得：a=6,b=c=3，故椭圆方程为：+=1.ab63222a=b+c(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2).因为 AMAN，AMAN=0，即(x12)(x22)+(y11)(y21)=0,当直线 MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m,如图 1.代入椭圆方程消去y并整理得：1+2k(2)x2+4kmx+2m26=0,4km2m26,x1+x2=,x1x2=221+2k1+2k根据y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入整理可得：1818/1919(k2+1)x1x2+(kmk 2)(x1+x2)+(m1)2+4=0将代入，(k2+1)2m261+2k2+(kmk 2)4km 1+2k2+(m1)2+4=0，整理化简得(2k+3m+1)(2k+m1)=0,（A 2,1）不在直线MN上，2k+m1 0，2k+3m+1=0，k 1，于是 MN的方程为y=kx2313，所以直线过定点直线过定点E23,13.当直线 MN的斜率不存在时，可得N(x1,y1),如图 2.代入(x2)(x)(y2122)+(y1121)=0得(x12)2+1 y2=0,x22结合16+y13=1,解得x21=2(舍),x1=3,此时直线 MN过点E 213,3,由于 AE 为定值，且ADE为直角三角形，AE 为斜边，22所以 AE 中点 Q 满足QD为定值（AE 长度的一半1214 2223+1+3=3）.由于A(2,1),E 2 4 13,13，故由中点坐标公式可得Q3,3.故存在点Q4 13,3，使得|DQ|为定值.1919/1919