第1章行列式线性代数及其应用精选文档.ppt

第1章行列式线性代数及其应用本讲稿第一页，共七十九页第第1章章 行列式行列式 行列式是线性代数的一个重要组成部分行列式是线性代数的一个重要组成部分.它不仅它不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的重要工是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、工程技具，而且在数学的许多分支及经济、管理、工程技术等领域有着极其广泛的应用术等领域有着极其广泛的应用.本章建立了本章建立了n n阶行列式的概念，讨论了阶行列式的概念，讨论了 n 阶行列阶行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用式的性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用克拉默法则克拉默法则.本讲稿第二页，共七十九页第第1章章 行列式行列式nn n阶行列式阶行列式n行列式的性质行列式的性质n行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开n克拉默法则克拉默法则行列式的一个简单应用行列式的一个简单应用nMathematica软件应用软件应用本讲稿第三页，共七十九页第第1.1节节 n阶行列式阶行列式 本节从二、三阶行列式出发，给出本节从二、三阶行列式出发，给出n阶阶行列式的概念行列式的概念.基本内容：基本内容：n二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式n排列及其逆序数排列及其逆序数nn阶行列式定义阶行列式定义返回本讲稿第四页，共七十九页 1.1.二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式(1)(1)二阶行列式二阶行列式 为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：本讲稿第五页，共七十九页 上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：相减而得。为便于记忆，引进如下记号：称其为称其为二阶行列式二阶行列式.据此，解中的分子可分别记为：据此，解中的分子可分别记为：本讲稿第六页，共七十九页例例1 1 解二元线性方程组解二元线性方程组解解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组有唯一解方程组有唯一解.又又于是方程组的解为于是方程组的解为本讲稿第七页，共七十九页(2)三阶行列式三阶行列式 称为称为三阶行列式三阶行列式.三元素乘积取三元素乘积取“+”号；号；三元素乘积取三元素乘积取“-”号。号。主对角线法主对角线法本讲稿第八页，共七十九页例例2 计算三阶行列式计算三阶行列式解解:由主对角线法，有由主对角线法，有本讲稿第九页，共七十九页例例3 解线性方程组解线性方程组解：解：系数行列式系数行列式方程组有唯一解方程组有唯一解.又又于是方程组的解为于是方程组的解为本讲稿第十页，共七十九页2.排列及其逆序数排列及其逆序数(1)排列排列 由正整数由正整数1,2,n,组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in称为一个称为一个n级排列级排列.如：由如：由1,2,3可组成的三级排列有可组成的三级排列有3！=6个：个：123 132 213 231 312 321（总数为（总数为 n!个）个）注意注意:上述排列中只有第一个为自然顺序上述排列中只有第一个为自然顺序(小小大大),其其它则或多或少地破坏了自然顺序它则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相元素大小与位置相反反)构成构成逆序逆序.本讲稿第十二页，共七十九页(2)排列的逆序数排列的逆序数n定义：定义：在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,则称这两数构成一个则称这两数构成一个逆序逆序.排列排列中逆序的总数中逆序的总数,称为它的逆序数称为它的逆序数,记为记为(i1i2in).n奇偶排列奇偶排列:若排列若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列称它为奇（偶）排列.=3 =2例例4 (2413)(312)例例5 (n(n-1)321)(135(2n-1)(2n)(2n-2)42)=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)本讲稿第十三页，共七十九页n对换：对换：在一个排列在一个排列i1isit in中，若其中某两中，若其中某两数数is和和it互换位置互换位置,其余各数位置不变得到另一排列其余各数位置不变得到另一排列i1itis in,这种变换称为一个对换这种变换称为一个对换,记为记为(isit).例例6结论：结论：对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性.任意一个任意一个n级排列与标准排列级排列与标准排列12n都可以经过一都可以经过一 系列对换互变系列对换互变.本讲稿第十四页，共七十九页3.n阶行列式定义阶行列式定义n分析：分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为乘积构成，除符号外可写为(ii)符号符号为为“+”123 231 312 （偶排列）（偶排列）“-”321 213 132（奇排列）（奇排列）(iii)项数为项数为 3！=6本讲稿第十九页，共七十九页推广之，有如下推广之，有如下n 阶行列式定义阶行列式定义n定义：定义：n阶行列式阶行列式是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积个元素的乘积并冠以符号并冠以符号 的项的和的项的和.(i)是是取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的n个元素的乘积个元素的乘积(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；决定每一项的符号；(iii)表示对所有的表示对所有的 构成的构成的n！个排列求和个排列求和.本讲稿第二十页，共七十九页例例7 计算计算4阶行列式阶行列式解解由行列式定义由行列式定义,和式中仅当和式中仅当本讲稿第二十一页，共七十九页例例8 计算计算n阶行列式阶行列式 解解由行列式定义由行列式定义,和式中仅当和式中仅当本讲稿第二十二页，共七十九页例例9 证明上三角行列式证明上三角行列式证：证：由定义由定义和式中和式中,只有当只有当所以所以上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.本讲稿第二十三页，共七十九页 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个个元素的顺序可以任意交换元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明一般，可以证明n定理定理:n阶行列式阶行列式D=det(aij)的项可以写为的项可以写为其中其中i1i2in和和j1 j2 jn都是都是n级排列级排列.或或另一定义形式另一定义形式另一定义形式另一定义形式n推论推论:n阶行列式阶行列式D=det(aij)的值为的值为本讲稿第二十四页，共七十九页 用定义计算用定义计算思考练习思考练习（n阶行列式定义）阶行列式定义）答答案案本讲稿第二十五页，共七十九页内内 容容 回回 顾顾nn阶行列式定义：阶行列式定义：n上三角行列式的值上三角行列式的值本讲稿第二十六页，共七十九页第第1.2节节 n阶行列式的性质阶行列式的性质 对多对多“0”的或是阶数较低的或是阶数较低(二、三阶二、三阶)的的行行列式利用定义计算较为容易列式利用定义计算较为容易,但对一般的、但对一般的、高阶的（高阶的（n 4）行列式而言）行列式而言,直接利用定义计直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的算很困难或几乎是不可能的.因而需要讨论因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算行列式的性质，用以简化计算.本讲稿第二十七页，共七十九页 如果将行列式如果将行列式D的行换为同序数的列，的行换为同序数的列，得到的新行列式称为得到的新行列式称为D的的转置行列式转置行列式，记为，记为DT.即若即若n转置行列式转置行列式定义：定义：本讲稿第二十八页，共七十九页性质性质1 行列式与它的转置行列式值相等行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT）证：证：事实上事实上,若记若记 DT=det(bij),则则解解例例1 计算行列式计算行列式本讲稿第二十九页，共七十九页性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(rirj)或列或列(cicj)，行列式，行列式的值变号的值变号.n推论推论 若行列式若行列式D的两行（列）完全相同的两行（列）完全相同,则则D=0.性质性质3 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即以提到行列式符号的外面，即n推论推论 (1)D中一行中一行(列列)所有元素为零，则所有元素为零，则D=0；(2)D的两行的两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则D=0.本讲稿第三十页，共七十九页性质性质4 若行列式若行列式 某一行某一行(列列)的所有元素都是两个数的和的所有元素都是两个数的和,则则此行列式等于两个行列式的和此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行这两个行列式的这一行(列列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列列)的元素与的元素与原行列式相同原行列式相同.即即证证本讲稿第三十一页，共七十九页性质性质5 行列式行列式D的某一行的某一行(列列)的所有元素都乘以数的所有元素都乘以数 k加到加到另一行另一行(列列)的相应元素上的相应元素上,行列式的值不变行列式的值不变,即即本讲稿第三十二页，共七十九页例例2 计算行列式计算行列式解解 本讲稿第三十三页，共七十九页解解本讲稿第三十四页，共七十九页解解本讲稿第三十五页，共七十九页例例3 3 计算计算n阶行列式阶行列式解(2)解(3)解(1)本讲稿第三十六页，共七十九页解解(1)注意到行列式各行注意到行列式各行(列列)元素之和等于元素之和等于x+(n-1)a,有有返回本讲稿第三十七页，共七十九页解解(2)(2)注意到行列式各行元素之和等于注意到行列式各行元素之和等于有有返回本讲稿第三十八页，共七十九页解解 (3)(3)返回箭形行列式箭形行列式本讲稿第三十九页，共七十九页例例4 证明证明证证 本讲稿第四十页，共七十九页证证本讲稿第四十一页，共七十九页2.证明证明1.计算行列式计算行列式思考练习思考练习（行列式的性质）行列式的性质）本讲稿第四十二页，共七十九页思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案）本讲稿第四十三页，共七十九页=右边右边思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案）本讲稿第四十四页，共七十九页第第1.3 节节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列，余下的元素按原来列，余下的元素按原来的顺序构成的的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素aij的的余子式，记作余子式，记作Mij；而而Aij=(-1)i+jMij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式.本讲稿第四十五页，共七十九页例例1 求出行列式求出行列式解解本讲稿第四十六页，共七十九页考察三阶行列式考察三阶行列式A11A13A12 三阶行列式可以表示为某一行三阶行列式可以表示为某一行(列列)元素与其对应代数元素与其对应代数余子式的乘积之和余子式的乘积之和.本讲稿第四十七页，共七十九页行列式按一行（列）展开定理行列式按一行（列）展开定理n阶行列式阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即的乘积之和，即本讲稿第四十八页，共七十九页证证(i)D的第的第1行只有元素行只有元素a11 0，其余元素均为零其余元素均为零,即即而而 A11=(-1)1+1M11=M11,故故D=a11A11 ;本讲稿第四十九页，共七十九页(ii)当当D的第的第i行只有元素行只有元素aij 0时，即时，即 将将D中第中第i行依次与前行依次与前i-1行对调行对调,调换调换i-1次后位于第次后位于第1行行 D中第中第j列依次与前列依次与前j-1列对调列对调,调换调换j-1次后位于第次后位于第1列列经经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后次对调后,aij 位于第位于第1行、第行、第1列列,即即(iii)一般地一般地由由(i)本讲稿第五十页，共七十九页由由(ii)本讲稿第五十一页，共七十九页推论推论 n阶行列式阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即余子式的乘积之和为零，即本讲稿第五十二页，共七十九页证证考虑辅助行列式考虑辅助行列式0=t列列j列列本讲稿第五十三页，共七十九页例例2 2 计算行列式计算行列式解解法法1法法2选取选取“0”多多的行或列的行或列本讲稿第五十四页，共七十九页例例3 计算行列式计算行列式解解计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.本讲稿第五十五页，共七十九页例例4 计算计算n阶行列式阶行列式解解本讲稿第五十六页，共七十九页解解本讲稿第五十七页，共七十九页例例5 证明范得蒙行列式（证明范得蒙行列式（Vandermonde)证证 用数学归纳法用数学归纳法本讲稿第五十八页，共七十九页 假设对假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形阶情形.本讲稿第五十九页，共七十九页本讲稿第六十页，共七十九页例例6 已知已知4阶行列式阶行列式解解法法1法2利用行列式的按列展开定理，简化计算利用行列式的按列展开定理，简化计算.本讲稿第六十一页，共七十九页本讲稿第六十二页，共七十九页思考练习思考练习（按行展开定理）按行展开定理）计算行列式计算行列式本讲稿第六十三页，共七十九页思考练习思考练习（按行展开定理详解（按行展开定理详解1）本讲稿第六十四页，共七十九页思考练习思考练习（按行展开定理详解（按行展开定理详解2）本讲稿第六十五页，共七十九页*2.2.拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理nk阶阶子子式式 在在n阶阶行行列列式式中中，任任意意选选定定k行行、k列列（1kn）位位于于这这些些行行列列交交叉叉处处的的k2个个元元素素按按原原来来顺顺序序构成的一个构成的一个k阶行列式阶行列式N，称为行列式，称为行列式D的一个的一个k阶子式阶子式.nk阶子式阶子式N的余子式及代数余子式的余子式及代数余子式 在在D中划去中划去k行、行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列阶行列式式M，称为，称为k阶子式阶子式N的余子式的余子式;而而 为其代数余子式为其代数余子式.这里这里i1,i2,ik,j1,j2,jk分别为分别为 k阶子阶子式式N的行标和列标的行标和列标.本讲稿第六十六页，共七十九页在在n阶行列式阶行列式 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理任意取定任意取定k行行(1 k n),由这由这k行元素组成的行元素组成的k阶子式阶子式N1,N2,N t 与它们的代数余子式与它们的代数余子式 的乘积的乘积之和等于之和等于D，即，即本讲稿第六十七页，共七十九页解解例例7 7 计算行列式计算行列式本讲稿第六十八页，共七十九页一般地一般地本讲稿第六十九页，共七十九页第第1.4节节 克拉默法则克拉默法则 下面以行列式为工具下面以行列式为工具,研究含有研究含有n个未知量、个未知量、n个个方程的方程的n元线性方程组的问题元线性方程组的问题.定理定理（克拉默法则）（克拉默法则）如果如果n元线性方程组元线性方程组则方程组有唯一解则方程组有唯一解的系数行列式的系数行列式本讲稿第七十页，共七十九页其中其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式D中第中第j列的元素列的元素换成方程组的常数项换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的所构成的n级行列式级行列式,即即定理的结论有两层含义：定理的结论有两层含义：方程组（方程组（1）有解；）有解；解惟一且可由式解惟一且可由式(2)给出给出.本讲稿第七十一页，共七十九页证证 首先证明方程组首先证明方程组(1)有解有解.事实上事实上,将将 代入第代入第i个方程的左端，再将个方程的左端，再将Dj按第按第j列展开列展开得得 即式即式(2)给出的是方程组给出的是方程组(1)的解的解.本讲稿第七十二页，共七十九页 下面证明解惟一下面证明解惟一.设设xj=cj(j=1,2,n)为方程组为方程组(1)的任意一个解，则的任意一个解，则以以D的第的第j列元素的代数余子式列元素的代数余子式 A1j,A2j,Anj依次乘依次乘以上式各等式，相加得以上式各等式，相加得从而从而 Dcj=Dj 由于由于D 0,因此因此即方程组的解是惟一的即方程组的解是惟一的.本讲稿第七十三页，共七十九页推论推论1 1 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同解，无解或有两个不同解，则则D=0=0；的系数行列式的系数行列式D 0，则方程组只有零解，则方程组只有零解;而若方程组而若方程组有非零解，则有非零解，则D=0.可以证明可以证明,系数行列式系数行列式D=0，是上述方程组有非，是上述方程组有非零解的充分必要条件零解的充分必要条件.推论推论2 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组本讲稿第七十四页，共七十九页例例1 1 解线性方程组解线性方程组 解解 系数行列式系数行列式 本讲稿第七十五页，共七十九页例例2 若齐次线性方程组若齐次线性方程组解解 系数行列式系数行列式 方程组有非零解，则方程组有非零解，则D=0.于是于是=3或或 =0.有非零解，求有非零解，求 值值.本讲稿第七十六页，共七十九页例例3 3解解本讲稿第七十七页，共七十九页第第1.5节节 Mathematica软件应用软件应用 利用命令利用命令Det可以计算行列式可以计算行列式.例例1 1 计算行列式计算行列式 本讲稿第七十八页，共七十九页本讲稿第七十九页，共七十九页