2021届广东省深圳市外国语学校高三上学期第一次月考数学试题（教师版含解析）.doc

数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分120分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班别、座位号等相关信息填写在答题卷指定区域内.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的干净平整.一.选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1. 若，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，求得，再根据求解.【详解】因为，所以，则.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2. 已知集合，集合，若，则m的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用指数不等式和对数不等式的解法化简集合A，B，然后根据求解.【详解】已知集合，集合，因为，所以,解得,故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及指数不等式和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3. 设是两条直线， ， 表示两个平面，如果， ，那么“”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可.【详解】如果， ，那么由则可得到 即可得到；反之由， ，不能得到，故，如果， ，那么“”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题.4. 已知向量与的夹角为，且，则等于( )A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】先计算数量积，利用，代入计算得到的二次方程，解方程即得结果.【详解】向量与的夹角为，且，即，.故选：C.【点睛】本题考查了数量积定义的综合应用，属于基础题.5. 某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.【详解】由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，.故选：B.【点睛】本题考查了n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.6. 已知 则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式求值.【详解】.故选：B【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.7. 有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G77从武汉出发(G77只会在长沙、广州、深圳停)，分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有( )A. 24种B. 36种C. 81种D. 256种【答案】B【解析】【分析】先按2+1+1分成三组，再分配到三个站点，即得结果.【详解】依据题意每个停站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有种分法，再分配到三个站点，有种分法，所以一共有种不同的下车方案.故选：B.【点睛】本题考查了分组分配问题，考查了排列组合的综合应用，属于基础题.8. 如图，正方体的棱长为，以下结论错误的是( )A. 面对角线中与直线所成的角为的有8条B. 直线与垂直C. 直线与平行D. 三棱锥的体积为【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出相应的空间向量坐标，利用空间向量求出异面直线与所成的角，再根据正方体的性质，即可判断A选项；根据两个向量的数量积关系证明空间两条直线的位置关系，即可判断BC选项；根据三棱锥的体积计算公式可得出三棱锥的体积，即可判断D选项.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系.对于A，由于两异面直线的夹角范围是，异面直线与所成的角为，同理：正方体的六个面中除了平面与的面对角线外，其他的面对角线都与所成的角为，则共有8条，故A正确；对于B，直线与垂直，故B正确；对于C，直线与垂直，不平行，故C错误；对于D，三棱锥的体积为，故D正确；综上可知，只有C不正确.故选：C.【点睛】本题考查正方体的性质和空间向量的计算，考查利用空间向量法求解异面直线的夹角，以及利用空间向量法证明空间中两直线的位置关系，还涉及三棱锥的体积计算公式，考查推理能力与计算能力.9. 已知函数，若存在定义域内的两实数，使得成立，且的最小值为，则需要经过怎样的平移才能得到的图像( )A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】先利用已知条件求得到和的解析式，再根据左右平移变换法则即得结果.【详解】由题意可知，由知，又可知，故，故向右平移个单位后可以得到的图像.故选：C.【点睛】本题考查了利用图像特征求三角函数解析式和左右平移变换，属于中档题.10. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，若，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，得到是定义在上的奇函数，且在上是增函数，结合单调性，即可求解.【详解】令，由是定义在上的偶函数，可得是定义在上的奇函数，又因为时，所以在上是增函数，所以是定义在上的增函数，又由，所以，即.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是( )注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人A. 互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多【答案】ABC【解析】【分析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数比例，根据饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D.【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，超过20%，所以互联网行业从业人员(包括“90后”“80后”“80前”)从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D不一定正确故选：ABC【点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题.12. 已知实数a，b，c，d满足，其中e是自然对数的底数，则的值可能是( )A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】BCD【解析】【分析】由题中所给的等式，分别构造函数和，则的表示上一点与上一点的距离的平方，利用导数的几何意义可知当时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由，令，由，令则的表示上一点与上一点的距离的平方，设上与平行的切线的切点为由，切点为所以切点为到的距离的平方为的距离为与的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.二、填空题(本大题4小题，每小题5分，共20分)13. 已知等差数列的前n项和，其前三项和为6，后三项和为39，则该数列有_项.【答案】30【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质，求得，得到，在结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】由等差数列的前三项和为6，后三项和为39，可得，根据等差数列的性质，可得，所以又由，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14. 的展开式中，不含x的各项系数之和为_.【答案】256【解析】【分析】对式子进行变形得，利用二项式定理的展开式可得通项公式可得当时不含有x，再利用赋值法，即可得答案；【详解】的展开式的通项为，可知当时不含有x，此时，令可得到各项系数之和为256.故答案为：256.【点睛】本题考查二项式定理的展开式及赋值法，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15. 已知，对任意的实数a，b都有成立，则实数x的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质，化简得到，得到，结合基本不等式，即可求解【详解】由，可得，即又由，当且仅当时，即时等号成立，所以，即，解得，即实数x的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本对数的运算，以及利用基本不等式求最小值，其中解答中熟练应用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16. 在三棱锥中，已知二面角的平面角的余弦值为，且满足，又，则三棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先根据得，再根据得，最后在中，余弦定理可得，进而得，故三棱锥外接球的直径就是，进而可得求得表面积.【详解】由由在中，由余弦定理可得即可求得，即，即，又所以外接球的直径就是，此时表面积为.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积运算，余弦定理，几何体的外接球的表面积，考查转化分析能力与运算能力，是中档题.三.解答题(本大题6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分)17. 设数列的前n项和为，都有，且.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由，根据等差数列的定义，得到数列为等差数列，再结合等差数列的通项公式列出方程求得的值，即可求得数列的通项公式；(2)(1)知，化简，结合“裂项法”，即可求解.【详解】(1)由题意，数列中，都有，根据等差数列的定义，可得数列为等差数列，且公差，又由，即，解得，所以，即数列的通项公式.(2)(1)知，所以，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的求解，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中熟记等差数列的定义，求得得出数列的通项公式，以及熟练应用“裂项法”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18. 已知的内角，满足，的面积为.(1)求；(2)，求的周长.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由已知条件，根据角化边公式化简得，再利用余弦定理求出，即可得的值；(2)根据题意，结合正弦定理可得，再利用三角形面积公式得出，根据余弦定理可得，即可求得的周长.【详解】解：(1)设内角，的对边分别为，可得，化简可得，由余弦定理可得，.(2)因为，则，所以，由，因为，所以的周长为.【点睛】本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查运算求解能力和转化与化归思想.19. 已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数m使得以为直径的圆过原点，若存在求出实数m的值；若不存在需说明理由【答案】(1)；(2)存在，.【解析】【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求椭圆的，得到椭圆的方程；(2)设直线l的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，转化为坐标运算，建立等量关系求值.【详解】(1)根据题意，抛物线的焦点是，则，即，又椭圆的离心率为，即，解可得，则，则故椭圆的方程为.(2)由题意得直线l的方程为由消去y得.由，解得.又，.设，则，.则.又由以为直径的圆过原点，则，即即，又即存在使得以为直径的圆过原点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.20. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，的中点O在为三角形的外接圆的圆心，点N在边上，且.(1)求与平面所成的角；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由条件可知，且，根据题中所给的边长关系可证明，即可证明平面；(2)根据(1)中的垂直关系以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量求二面角的余弦值值，再转化为正弦值.【详解】(1)证明 连接，在中，由中点O在为三角形的外接圆的圆心，可知三角形为等腰直角三角形，所以，O为的中点，则，且.在中，O为的中点，则，且.在中，满足，所以，又，平面，故平面，所以与平面所成的角为.(2) 因为，两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则，由，所以，则，设平面的法向量为，则令，得，因为平面，所以为平面的法向量，所以与所成角的余弦值为.所以二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直，空间直角坐标法解决二面角，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.21. 在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中，456P0.4ab(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为(单位：元)(i)设时的概率为m，求当m取最大值时，利润的分布列和数学期望；(ii)设某数列满足，若对任意恒成立，求整数t的最小值【答案】(1)；(2)(i)分布列见解析，数学期望为4900；(ii)4【解析】分析】(1)由3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”计算概率；(2)(i)的值分别为4000，4500，5000，5500，6000，利用基本不等式求出当时的概率的最大值及此时的a、b的值，列出分布列并求数学期望；(ii)由所给等式通过变形求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，代入不等式组、，即可求得满足条件的t的最小值.详解】(1)由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”.所以.(2)(i)由题可得的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.，所以，取最大值的条件为，所以分布列为：400045005000550060000.160.240.330.180.09.(ii)由题可得，所以，化简得，即是等比数列，首项为，公比为，所以，化简得.由题可知：，解得或；，当为偶数时，上述不等式恒成立；当为奇数时，解得；综上所述，的最小值为4.【点睛】本题考查随机事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，由递推公式求数列的通项公式、数列不等式问题，属于较难题.22. 已知函数.(1)求的极值；(2)设，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)对与的关系分类讨论，从而求解出的极值；(2)将不等式转化为，由此构造新函数和，分析新函数最值关系从而证明不等式.【详解】(1)()，当时，恒成立，则在上单调递减，无极值；当时，令，得；令，得，则在上单调递减，在上单调递增，此时有极小值为，无极大值.综上：当时，无极值；当时，有极小值为，无极大值.(2)因为，故要证，只需证，故只需证，令：，定义域为，令，所以当时，递减；当时，递增，所以；令：，定义域为，令，所以当时，递增；当时，递减所以；所以，即：所以原不等式成立.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值以及利用导数证明不等式，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.利用导数证明不等式的常用方法：(1)将不等式问题转变为单个函数与零的关系；(2)将不等式问题转变为两个函数最值之间的关系.