2020-2021学年江苏省扬州市某校高一上期中考试数学试卷.docx

2020-2021学年江苏省扬州市某校高一上期中考试数学试卷一、选择题1. 函数fx=lnx+2x的定义域为( ) A.0,2B.(0,2C.0,+D.2,+2. 若一个扇形中圆心角=23，其所对的弧长为2，则该扇形的面积为( ) A.B.23C.2D.33. 已知点P(tan,cos)在第四象限，则角的终边所在的象限为( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 若幂函数fx=m22m2xm在0,+上单调递减，则f(2)=( ) A.8B.3C.1D.125. 已知a=log30.3，b=30.1，c=0.13，则a，b，c的大小关系为( ) A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a6. 函数fx=e|x|3x2+1+1的图象大致为( ) A.B.C.D.7. 已知 fx是定义在R的偶函数且在区间(,0单调递减，若flog3a+flog13a2f1，则实数a的取值范围是( ) A.13,1B.13,3C.12,2D.13,28. 若函数fx=logax2ax+6在区间(0,2上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A.4,+)B.4,5C.4,+D.4,5）二、多选题 下列函数中，是偶函数且在区间,0上单调递增的是( ) A.y=log12|x|B.y=x2C.y=2|x|D.y=2x2x 有以下判断，其中正确的有( ) A.幂函数图像一定不在第四象限B.函数f(x)=loga(aax)(a>0且a1)的定义域和值域相同C.若函数fx=k2x1+k2x（k为常数）在定义域上为奇函数，则k=1D.当a0,12时，方程2a=|ax1|有两个不同的实数解 已知a>0，b>0，且a+b=1，则( ) A.a2+b212B.2ab>12C.log2a+log2b2D.a+b2 若0<a<b<c，且abc=1，则( ) A.2a+2b>4B.lga+lgb<0C.a+c2>2D.a2+c>2三、填空题 设alog34=2，则4a=_. 函数f(x)=loga(x1)+2(a>0且a1)的图像过定点_. 已知函数fx=log4x,x>0,2x,x0,则ff1=_. 已知x>0，y>0且满足x3+y3=xy，则1x2y2的最小值是_. 四、解答题 已知角的终边与直线y=2x重合，求sin，cos，tan的值 已知命题p:x>0，都有xa13x成立；命题q：函数y=lnax2+ax+1定义域为实数集R (1)写出命题p的否定p； (2)若p为假命题q为真命题，求实数a的取值范围 已知x满足不等式2log2x2+7log12x+30. (1)设t=log2x，求t的取值范围； (2)求函数fx=log12x4log22x的值域. 声强级L1(单位dB)由公式L1=10lgI1012给出，其中I为声强(单位W/m2). (1)若火箭发射时的最大声强是10000W/m2，求声强级； (2)一般正常人的听觉声强级的范围是0,120(单位dB)，求其声强的取值范围 已知函数fx为偶函数， gx为奇函数，且fxgx=1ex. (1)求函数fx和gx的解析式； (2)若f2x>agx在x1,+上恒成立，求实数a的取值范围； (3)记Hx=gx+1fx+1+1，若a，bR，且a+b=1，求H4+a+Hb+1的值 已知函数gx=lgx2+ax，若gx是定义在R的奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明； (3)若gbx2+2>g2x+1在2,3上有解，求实数b的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高一上期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可【解答】解：由题意得：x>0,2x0,解得：0<x2，故函数的定义域是(0,2.故选B2.【答案】D【考点】扇形面积公式弧长公式【解析】由弧长公式求得半径r，再计算扇形的面积【解答】解：由弧长公式l=r，求得半径r=l=223=3，所以扇形的面积为S=12r2=122332=3.故选D.3.【答案】C【考点】象限角、轴线角三角函数值的符号【解析】由点P(tan,cos)在第四象限，可得tan>0cos<0，即可得出【解答】解： 点P(tan,cos)在第四象限， tan>0，cos<0， 在第三象限故选C4.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的单调性、奇偶性及其应用函数的求值【解析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证m是否满足题意【解答】解：函数fx=m22m2xm为幂函数，则m22m2=1，解得m=1或m=3.当m=1时，fx=x1，在0,+上单调递减，满足题意；当m=3时，fx=x3，在0,+上单调递增，不满足题意，所以m=1，所以fx=1x，所以f(2)=12故选D5.【答案】C【考点】对数值大小的比较指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数函数，对数函数的性质可求a， b，c的范围，即可得解【解答】解：因为a=log30.3<log31=0，b=30.1>30=1，c=0.130,1，则a<c<b.故选C6.【答案】D【考点】函数的图象函数奇偶性的性质与判断【解析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值进行判断【解答】解：因为fx=e|x|3(x)2+1+1=e|x|3x2+1+1=fx，所以函数fx为偶函数，故排除A；又f1=e4+1>32，故排除B，C故选D7.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】根据对数的运算性质结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化即可得到结论【解答】解： fx是定义在R上的偶函数， f(log3a)+flog13a2f(1)，等价于flog3a+flog3a2f(1)，即2flog3a2f(1)，则f|log3a|f(1)， f(x)在(,0上单调递减， f(x)在0,+)上单调递增， |log3a|1，即1log3a1， 13a3故选B8.【答案】D【考点】复合函数的单调性函数的单调性及单调区间【解析】把函数y=logax2ax+6在区间0,2上为减函数，转化为外函数y=logat为增函数，内函数t=x2ax+6在区间0,2上为减函数且大于0恒成立，由此列关于a的不等式组求解【解答】解：令t=x2ax+6，其对称轴为x=a2， 该二次函数的减区间为,a2.要使复合函数f(x)=logax2ax+6在区间0,2上为减函数，则外函数y=logat为增函数，内函数t=x2ax+6在区间0,2上为减函数且函数值大于0恒成立， a>1，a22，222a+6>0，解得4a<5， 实数a的取值范围是4,5.故选D二、多选题【答案】A,B,C【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】由题意，利用奇偶性判断的条件和单调性的定义对每个选项进行逐一判断即可求解.【解答】解：对于选项A，函数f(x)=y=log12|x|，f(x)=log12|x|=log12|x|=f(x)为偶函数，且在区间(,0)上单调递增，选项A正确；对于选项B，函数f(x)=y=x2=1x2，f(x)=1(x)2=1x2=f(x)为偶函数，且其在区间(,0)上单调递增，选项B正确；对于选项C，函数f(x)=y=2|x|，f(x)=2|x|=2|x|=f(x)为偶函数，且其在区间(,0)上单调递增，选项C正确；对于选项D，函数f(x)=y=2x2x，f(x)=2(x)2x=2x2x=(2x2x)=f(x)为奇函数，选项D错误.故选ABC.【答案】A,B,D【考点】幂函数的图像对数函数的定义域对数函数的值域与最值函数奇偶性的性质根的存在性及根的个数判断【解析】由题意，结合幂函数的图象，对数函数的图象与性质，奇函数的判断和方程的实数解逐一对选项进行判断即可求解.【解答】解：对于选项A，幂函数图像一定不在第四象限，选项A正确；对于选项B，已知函数f(x)=loga(aax)（a>0且a1），当a>1时，函数的定义域与值域均为(,1)；当0<a<1时，函数的定义域与值域均为(1,+)，所以该函数的定义域与值域相同，选项B正确；对于选项C，已知函数f(x)=k2x1+k2x（k为常数）在定义域上为奇函数，可得f(x)=f(x)，即k2x1+k2x=k2x1+k2x，得到(k21)(2x)2=1k2，整理可得k21=0，解得k=1，选项C错误；对于选项D，要使方程2a=|ax1|有两个不同的实数解，即函数y=|ax1|与直线y=2a有两个交点，当a>1时，由图象得0<2a<1，解得0<a<12，舍去；当0<a<1时，由图象得0<2a<1，解得0<a<12，符合题意.即a的取值范围为0,12，选项D正确.故选ABD.【答案】B,D【考点】基本不等式不等式的基本性质对数及其运算【解析】由基本不等式可得1=a+b2ab，则ab12，代入选项判断即可.【解答】解：因为a>0，b>0，a+b=1，由基本不等式可得1=a+b2ab，则ab12，所以ab14，所以a2+b2=12ab12，故A错误；因为b=1a，则1a>0，所以0<a<1，所以1<2a1<1，所以2ab=2a(1a)=22a112,2，故B正确；因为log2a+log2b=log2ablog214=2，故C错误；因为a+b+2ab=a+b21+1=2，即a+b2，则a+b2，故D正确.故选BD.【答案】B,C【考点】指数式、对数式的综合比较基本不等式在最值问题中的应用对数的运算性质【解析】利用不等式性质以及基本不等式，列举特殊值，对选项逐一验证即可得到答案.【解答】解：因为a<b<c，abc=1，所以c>1，0<a<1，当0<b<1时，2a+2b>4不成立，所以A错误；因为lga+lgb=lgab=lg1c<0，所以B正确；因为0<b<c，所以bc<c2，所以a=1bc>1c2，即a+c2>1c2+c2>2，所以C正确；D选项中取a=22，b=1，c=2，所以a2+c=12+2<2，所以D错误.故选BC.三、填空题【答案】19【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算法则以及指数式与对数式互化求解即可【解答】解：由alog34=2可得log34a=2，所以4a=9，故有4a=19.故答案为：19【答案】(2,2)【考点】对数函数的图象与性质【解析】由loga1=0得x1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标【解答】解： loga1=0， 当x1=1，即x=2时，y=2，则函数y=logax1+2的图像恒过定点2,2.故答案为：(2,2)【答案】12【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】推导出f(1)=21=12，f(12)=log412=12，即可求出ff1的值【解答】解： 函数fx=log4x,x>0,2x,x0,则f(1)=21=12， f(12)=log412=12， ff1=f(12)=12故答案为：12【答案】2+22【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用函数的最值及其几何意义【解析】利用导数求函数的单调性和最值即可.【解答】解：由x3+y3=xy，得x3+y3xy=1，又x>0，y>0，可知x>y.设f(x,y)=1x2y2=x3+y3xyx2y2=x2+y2xyy2=1+(xy)2xy1，令t=xy>1，则f(t)=1+t2t1=t1+2t1+222+2，当且仅当t1=2t1，即t=2+1时，等号成立.故答案为：2+22四、解答题【答案】解：设P(x0,2x0)(x00)在的终边上.若为第二象限角，则x0<0，r=5x0， sin=255，cos=55，tan=2；若为第四象限角，则x0>0，r=5x0， sin=255，cos=55,tan=2【考点】任意角的三角函数象限角、轴线角【解析】此题暂无解析【解答】解：设P(x0,2x0)(x00)在的终边上.若为第二象限角，则x0<0，r=5x0， sin=255，cos=55，tan=2；若为第四象限角，则x0>0，r=5x0， sin=255，cos=55,tan=2【答案】解：(1)p：x0>0，使得x0a<13x0成立(2)p为真命题x>0，ax13x成立，x>0，ax13xmin.设f(x)=x13x，则f(x)为(0,+)上的增函数，f(x)min1(x0)， p为真命题a1， p为假命题，即pa>1q为真命题a=0或a>0，a(a4)<0，即0a<4因此，a0,4)【考点】命题的否定全称命题与特称命题复合命题及其真假判断不等式恒成立问题对数函数的定义域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)p：x0>0，使得x0a<13x0成立(2)p为真命题x>0，ax13x成立，x>0，ax13xmin.设f(x)=x13x，则f(x)为(0,+)上的增函数，f(x)min1(x0)， p为真命题a1， p为假命题，即pa>1q为真命题a=0或a>0，a(a4)<0，即0a<4因此，a0,4)【答案】解：(1)因为设log2x=t，则log12x=t，则2t27t+30，解得12t3，故t的取值范围为12,3(2)化简可得fx=log12x4log22x=2log2x1log2x=log2x23log2x+2.12log2x3， 当log2x=32时，函数取最小值14；当log2x=3时，函数取最大值2； 函数fx=log12x4log22x的值域为14,2【考点】一元二次不等式的解法函数的对称性函数的值域及其求法二次函数在闭区间上的最值对数的运算性质【解析】(1)令log2x=t，log12x=t则解关于t的不等式2t27t+30即可得答案；(2)化简可得fx=log2x23log2x+2，由12log2x3结合二次函数区间的最值可得【解答】解：(1)因为设log2x=t，则log12x=t，则2t27t+30，解得12t3，故t的取值范围为12,3(2)化简可得fx=log12x4log22x=2log2x1log2x=log2x23log2x+2.12log2x3， 当log2x=32时，函数取最小值14；当log2x=3时，函数取最大值2； 函数fx=log12x4log22x的值域为14,2【答案】解：(1)由L1=10lgI1012，I=10000，得L1=10lg100001012=10lg1016=160(dB)因此，声强级是160dB.(2)由题意可得，0L1120，即010lgI1012120， 0lgI101212，得1I10121012， 1012I1， 一般正常人的听觉声强的取值范围为1012,1【考点】函数的求值函数的定义域及其求法【解析】(1)取l=10000求解L1的值可得答案；(2)由题意可得01120，即010lg11012120，求解对数不等式得结论【解答】解：(1)由L1=10lgI1012，I=10000，得L1=10lg100001012=10lg1016=160(dB)因此，声强级是160dB.(2)由题意可得，0L1120，即010lgI1012120， 0lgI101212，得1I10121012， 1012I1， 一般正常人的听觉声强的取值范围为1012,1【答案】解：(1)由题知：函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且fxgx=ex，则f(x)g(x)=e(x)=ex，又由fx=fx，gx=gx，故fx+gx=ex，则由式，解得fx=ex+ex2，gx=exex2(2)由f2x>agx在1,+上恒成立，即e2x+e2x2>aexex2在1,+上恒成立，即e2x2exex+e2x+2>aexex在1,+上恒成立，则exex2aexex+2>0在1,+上恒成立.令t=exex，易知t=exex在x1,+上单调递增，故te1e,+，即t2at+2>0在e1e,+上恒成立由at<t2+2，即a<t+2t，且y=t+2t在2,+）上单调递增，e1e>2，得y=t+2t在e1e,+上的最小值为e21e+2ee21=e4+1ee21，故ae4+1ee21(3)由Hx=gx+1fx+1+1=ex+1e(x+1)ex+1+e(x+1)+1=2ex+1ex+1+e(x+1).令Gx=2exex+ex，则Gx=2exex+ex，故Gx+Gx=2ex+exex+ex=2，又由Gx+1=Hx，a+b=1，故H4+a+Hb+1=G3+a+Gb+2=G(3+a)+G(1a)+2=G3+a+G3a=2【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值函数的求值函数的对称性【解析】由题知：函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且fxgx=ex，则f(x)g(x)=e(x)=ex，又由fx=fx，gx=gx，故fx+gx=ex，则由式，解得fx=ex+ex2，gx=exex2(2)由f2x>agx在1,+上恒成立，即e2x+e2x2>aexex2在1,+上恒成立，即e2x2exex+e2x+2>aexex在1,+上恒成立，则exex2aexex+2>0在1,+上恒成立，令t=exex，易知t=exex在x1,+上单调递增；解关于t的二次函数求出a的范围()由Hx=gx+1fx+1+1=ex+1e(x+1)ex+1+e(x+1)=2en+1ex+1+e(x+1)，令Gx=2exex+ex，又由Gx=2exex+ex，且Gx+Gx=2ex+exex+ex=2，故Gx+1=Hx，a+b=1，故H4+a+Hb+1=G3+a+Gb+2=2【解答】解：(1)由题知：函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且fxgx=ex，则f(x)g(x)=e(x)=ex，又由fx=fx，gx=gx，故fx+gx=ex，则由式，解得fx=ex+ex2，gx=exex2(2)由f2x>agx在1,+上恒成立，即e2x+e2x2>aexex2在1,+上恒成立，即e2x2exex+e2x+2>aexex在1,+上恒成立，则exex2aexex+2>0在1,+上恒成立.令t=exex，易知t=exex在x1,+上单调递增，故te1e,+，即t2at+2>0在e1e,+上恒成立由at<t2+2，即a<t+2t，且y=t+2t在2,+）上单调递增，e1e>2，得y=t+2t在e1e,+上的最小值为e21e+2ee21=e4+1ee21，故ae4+1ee21(3)由Hx=gx+1fx+1+1=ex+1e(x+1)ex+1+e(x+1)+1=2ex+1ex+1+e(x+1).令Gx=2exex+ex，则Gx=2exex+ex，故Gx+Gx=2ex+exex+ex=2，又由Gx+1=Hx，a+b=1，故H4+a+Hb+1=G3+a+Gb+2=G(3+a)+G(1a)+2=G3+a+G3a=2【答案】解：(1)已知函数gx=lgx2+ax是定义在R上的奇函数，则g0=0，即lg0+a0=lga=0，解得a=1.(2)gx在定义域R上单调递减.证明如下：由(1)知，a=1，则gx=lgx2+1x.设0<x1<x2，则0<x12+1<x22+1， x12+1+x1<x22+1+x2. x12+1x1x22+1x2=x22+1+x2x12+1+x1>1， lgx12+1x1x22+1x2>0, g(x1)g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)， gx在定义域R上单调递减.(3)由(2)可得函数fx在定义域R上单调递减，而gbx2+2>g2x+1在2,3上有解，即bx2+2<2x+1在x2,3上有解，即b<2x1x2在x2,3上有解.令1x=t，t13,12，则ht=t2+2t的对称轴为t=1，故ht在区间13,12上单调递增，可得htmax=h12=34，所以b<34，故实数b的取值范围为,34.【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明复合函数的单调性函数最值的应用函数单调性的性质不等式恒成立问题【解析】（1）利用函数为奇函数，由奇函数在原点的值为零求解即可.（2）由（1）所得信息以及函数为奇函数用赋值法求出f(1)，进而即可判断函数的单调性.（3）由（2）中所得信息将问题进行转化，利用换元法进行求解即可.【解答】解：(1)已知函数gx=lgx2+ax是定义在R上的奇函数，则g0=0，即lg0+a0=lga=0，解得a=1.(2)gx在定义域R上单调递减.证明如下：由(1)知，a=1，则gx=lgx2+1x.设0<x1<x2，则0<x12+1<x22+1， x12+1+x1<x22+1+x2. x12+1x1x22+1x2=x22+1+x2x12+1+x1>1， lgx12+1x1x22+1x2>0, g(x1)g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)， gx在定义域R上单调递减.(3)由(2)可得函数fx在定义域R上单调递减，而gbx2+2>g2x+1在2,3上有解，即bx2+2<2x+1在x2,3上有解，即b<2x1x2在x2,3上有解.令1x=t ，t13,12，则ht=t2+2t的对称轴为t=1，故ht在区间13,12上单调递增，可得htmax=h12=34，所以b<34，故实数b的取值范围为,34.第21页 共22页 第22页 共22页