2020-2021学年山东省青岛市某校高一（上）期中考试数学试卷.docx

2020-2021学年山东省青岛市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 若函数f(x)=x4|x|5的定义域为集合A，则A=( ) A.4,+)B.(5,+)C.4,5)D.4,5)(5,+)2. 下列函数中与函数y=x2是同一函数的是( ) A.u=v2B.y=x|x|C.y=x3xD.y=x43. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a>b>0，则下列结论正确的是( ) A.1a>1bB.a+m<b+mC.a12>b12D.2a<2b4. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数ft之间，满足函数模型： ft=11+e0.22(t50)，当ft=0.1时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t约为( )（参考数据： e1.13) A.38B.40C.45D.475. 若关于x的方程x2ax+1=0aR有两个正根x1，x2，则a的最小值为( ) A.1B.2C.3D.46. 若函数fx=2x,x0,x+a,x<0,是,+上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( ) A.(0,1B.0,1)C.(,1D.,17. 已知a=20.1，b=0.33，c=0.30.1，则a，b，c的大小关系为( ) A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b8. 已知奇函数fx在,+上单调递减，若f1=2，则满足fx12的x的取值区间是( ) A.0,+)B.(,0C.2,+)D.(,2二、多选题 下列说法正确的是( ) A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件C.命题“xR，x2+1=0”的否定是“xR，x2+10”D.若“1<x<3”的必要不充分条件是“m2<x<m+2”，则实数m的取值范围是1,3 “双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠某人购买了部分商品，则下列说法正确的是( ) A.如果购物总额为78元，则应付款为73元B.如果购物总额为228元，则应付款为205.2元C.如果购物总额为368元，则应付款为294.4元D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 下列函数是偶函数且在0,+上具有单调性的函数是( ) A.fx=xB.fx=x2，xRC.fx=1|x|，xRD.fx=1,当x为有理数时0,当x为无理数时 若a，b0,+，则下列选项成立的是( ) A.a6a9B.若ab=a+b+3，则ab9C.a2+4a2+3的最小值为1D.若a+b=2，则1a+2b32+2三、填空题 已知集合A=1,2,3，BA，1B，则集合B的个数为_个 已知不等式ax2+6x8>0的解集为2,4，则a=_. 232223=_. 一位少年能将圆周率准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字记圆周率小数点后第n位上的数字为y，则y是n的函数，设y=fn，nN*则 (1)y=fn的值域为_； (2)函数y=fn与函数y=n3的交点有_个四、解答题 已知全集U=R，集合A=xR|32x31，集合B=xR|142x<2 (1)求AB； (2)求RAB； (3)设集合C=xR|ax2a，若CB，求实数a的取值范围 已知函数fx的定义域为2,00,2，当x0,2时，函数fx=ax1x2. (1)若a=0，利用定义研究fx在区间0,2上的单调性； (2)若fx是偶函数，求fx的解析式 某地区上年度电价为0.8元/(kWh)，年用电量为akWh，本年度计划将电价降到0.55元/(kWh)至0.75元/(kWh)之间，而用户期望的电价为0.4元/(kWh). 经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）该地区的电力成本价为0.3元/(kWh) (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元/(kWh)）的函数解析式；(收益=实际电量(实际电价-成本价) (2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ 已知函数fx=x2axa1，aR. (1)若fx在1,+)上单调递增，求实数a的取值区间； (2)解不等式fx0. 已知函数fx=a2x2x2x+2x是奇函数 (1)求a的值，并解关于x的不等式fx>35； (2)求函数gx=2x+12x+2x图象的对称中心 已知函数h(x)=x+1x. (1)直接写出h(x)在12,2上的单调区间(无需证明)； (2)求h(x)在12,a(a>12)上的最大值； (3)设函数f(x)的定义域为I，若存在区间AI，满足：x1A，x2IA，使得f(x1)=f(x2)，则称区间A为f(x)的“区间”. 已知f(x)=x+1x(x12,2)，若A=12,a)是函数f(x)的“区间”，求a的最大值.参考答案与试题解析2020-2021学年山东省青岛市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据题目中使函数有意义的x的值求得两个x的取值范围，再求它们的交集即可【解答】解：要使函数有意义，需满足x40，|x|50，解得x4且x5，所以函数的定义域为4,5)(5,+).故选D.2.【答案】A【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数【解答】解：函数y=x2的定义域和值域均为R，A，u=v2的定义域和值域均为R，定义域相同，对应法则相同，所以是同函数，故A正确；B，y=x|x|=x2,x0，x2,x<0,与已知函数的解析式不同，所以不是同函数，故B错误；C，y=x3x的定义域为x|x0，与已知函数定义域不相同，所以不是同函数，故C错误；D，y=x4的定义域为x|x0，与已知函数定义域不相同，所以不是同函数，故D错误.故选A.3.【答案】C【考点】不等式的基本性质指数函数的性质幂函数的性质函数的单调性及单调区间【解析】利用不等式的性质，指数函数和幂函数的单调性对选项逐一判断即可得解.【解答】解：A， a>b>0， 1a<1b，故选项A错误；B， a>b>0， a+m>b+m，故选项B错误；C， a>b>0，且函数y=x12在0,+上是增函数， a12>b12，故选项C正确；D， a>b>0，且y=2x是增函数， 2a>2b，故选项D错误.故选C.4.【答案】B【考点】函数的求值【解析】由f(t)=0.1，可知11+e0.2(t50)=0.1，化简得1+e0.2(t50)=10，即e0.2(t50)=9，由e1.13可知0.2(t50)=2.2，解之得t40.【解答】解：由题意，当f(t)=0.1时，即11+e0.22(t50)=0.1，化简，得1+e0.22(t50)=10，即e0.22(t50)=9，又e1.13，则0.22(t50)=2.2，解得t=40.故选B.5.【答案】B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】【解答】解：由题意，方程x2ax+1=0有两个正根x1，x2，设f(x)=x2ax+1，则=a240，x1+x2=a>0，x1x2=1>0,解得a2，故a的最小值为2.故选B.6.【答案】C【考点】函数的单调性及单调区间【解析】由题意，f(x)是(,+)上的单调递增函数，则由y=2x，y=x+a单调递增可知只要0+a20，解之得a1，所以实数a的取值范围为(,1，故选C.【解答】解：由题意，f(x)是(,+)上的单调递增函数，又y=2x，y=x+a是(,+)上的单调递增函数，所以需满足0+a20，解得a1，所以实数a的取值范围是(,1.故选C.7.【答案】C【考点】指数函数的性质指数函数单调性的应用【解析】利用指数函数的性质求解即可.【解答】解：由题意，a=20.1>20=1，b=0.33<0.30=1，c=0.30.1<0.30=1，又b=0.33<0.30.1=c，所以b<c<a.故选C.8.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得，结合函数的单调性分析可将不等式化为x11，解可得答案【解答】解：根据题意，函数fx为奇函数，则f(x)=f(x)，若f1=2，则f1=2,又函数fx在,+上单调递减，因为fx12，所以fx1f1，即x11，解得x0.故选A二、多选题【答案】C,D【考点】命题的真假判断与应用必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】本题主要根据常用逻辑用语的相关概念，进行举例判断，命题的否定的判断以及参数范围求解【解答】解：A，当x=2x2=2，x是无理数，但x2是有理数，故A错误；B，当x<0，y<0xy>0，但x+y<0，不满足充要条件的定义，故B错误；C，存在量词命题的否定是全称量词命题，故C正确；D，由题意可知，1<x<3是m2<x<m+2的子集，故m21，m+231m3，故D正确.故选CD.【答案】A,B,D【考点】根据实际问题选择函数类型函数模型的选择与应用【解析】本题主要是根据题目意思选择不同价位的付款方式进行运算【解答】解：A，购物总额为78元，属于2的范围，可以使用一张5元的优惠卷，则应付款为785=73元，故A正确；B，购物总额为228元，属于3的范围，则按标价给予9折优惠，则应付款为2280.9=205.2元，故B正确；C，购物总额为368元，属于4的范围，300元内按9折给予优惠，超出300元的部分按8折优惠，则应付款为3000.9+680.8=324.4元，故C错误；D，若一次性付款442.8元，设超出300元的部分为x元，根据优惠策略，可列方程为3000.9+0.8x=442.8，解得x=216，则应付款为516元，故D正确.故选ABD.【答案】B,C【考点】函数奇偶性的判断奇偶性与单调性的综合函数单调性的判断与证明【解析】利用奇偶性与单调性，这个分析判断即可.【解答】解：A，由于函数f(x)=x的定义域为0,+)，所以函数不关于原点对称，故函数f(x)=x不是偶函数，故A不符合题意；B，函数f(x)=x2的定义域为R，又fx=x2=x2=fx，故函数f(x)=x2为偶函数，又该函数在0,+为增函数，故B符合题意；C，函数f(x)=1|x|的定义域为R，又fx=1x=1x=fx，故函数f(x)=1|x|为偶函数，又当x>0时，fx=1x，故该函数在0,+为减函数，故C符合题意；D，由于f1=1，f2=0，f2=1，所以函数fx在0,+不具有单调性，故D不符合题意.故选BC.【答案】A,B,D【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用不等式的基本性质【解析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案【解答】解：A， a(6a)9=a2+6a9=(a3)20, a(6a)9，故选项A成立；B， a，b(0,+)，且ab=a+b+3，则ab=a+b+32ab+3，当且仅当a=b时等号成立， ab2ab3=ab3ab+10， ab+1>0, ab30， ab3， ab9，故选项B成立；C， a(0,+)， a2+3>0, a2+4a2+3=a2+3+4a2+332a2+34a2+33=1，当且仅当a2+3=4a2+3，即a2+3=2时等号成立，显然a2+3=2不成立，故选项C不成立；D， a，b(0,+), ba>0，2ab>0，又a+b=2， 1a+2b=121a+2ba+b=123+ba+2ab123+2ba2ab=32+2，当且仅当ba=2ab，即a=222，b=422时等号成立，故选项D成立.故选ABD.三、填空题【答案】4【考点】子集与真子集【解析】分析集合B满足的条件，可得集合B中元素的特征，从而判断B集合的可能情况【解答】解： 集合A=1,2,3，BA，1B， 2，3可在B内，也可不在B内，但1一定在B内， 集合B可能为1，1,2，1,3，1,2,3， 满足条件的集合B的个数是4个.故答案为：4【答案】1【考点】根与系数的关系一元二次不等式与一元二次方程【解析】根据题意，2,4为关于x的方程ax2+6x8=0的两实数根，结合韦达定理求解即可.【解答】解：由题意，2，4为关于x的方程ax2+6x8=0的两实数根，且a<0，由韦达定理，得6a=2+4=6，解得a=1.故答案为：1.【答案】12【考点】同底数幂的乘法有理数指数幂【解析】利用指数幂的运算性质即可得出【解答】解：原式=23221223=2(32+123)=21=12.故答案为：12.【答案】yZ|0y91【考点】函数的值域及其求法函数的对应法则【解析】利用函数的定义，可得解.利用函数的定义域，值域可得解.【解答】解：(1)由题意可知，y是n的函数，当nN*时，就有0到9之间的一个数字与之对应，所以y=f(n)的值域为yZ|0y9.故答案为：yZ|0y9.(2)由(1)可知函数y=f(n)的定义域和值域，又因为=3.1415926535，可得y=f(n)与y=n3只有一个交点1,1.故答案为：1.四、解答题【答案】解：(1)由题意，得A=x|0x2，B=x|2x<1，所以AB=x|0x<1(2)由(1)可知，A=x|0x2，B=x|2x<1，所以(RA)=x|x>2或x<0，所以(RA)B=x|x>2或x<1(3)因为B=x|2x<1，又CB，所以a2且2a<1，解得2a<0所以a的取值范围为2a<0【考点】交集及其运算交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)由题意，得A=x|0x2，B=x|2x<1，所以AB=x|0x<1(2)由(1)可知，A=x|0x2，B=x|2x<1，所以(RA)=x|x>2或x<0，所以(RA)B=x|x>2或x<1(3)因为B=x|2x<1，又CB，所以a2且2a<1，解得2a<0所以a的取值范围为2a<0【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=1x2，设x1，x2(0,2)，且x1<x2，fx1f(x2)=1x121x22=x22+x12x12x22=x1x2x12x22，因为x1，x2(0,2)，所以x12<0，x22<0，所以x12x22>0，又因为x1x2<0，所以fx1f(x2)<0，即fx1<fx2，所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递增.(2)设x(2,0)，则x(0,2)，所以f(x)=ax1x2=1x+2ax，因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(x)=1x+2ax，所以fx=ax1x2，2<x<0，1x+2ax，0<x<2.【考点】函数单调性的判断与证明偶函数【解析】当a=0时，f（x）=1x2，设x1，x20，2，且x1<x2，然后求出fx1f（x2）的正负性即可得.利用偶函数的性质可求出a的值，然后即可的函数的解析式.【解答】解：(1)当a=0时，f(x)=1x2，设x1，x2(0,2)，且x1<x2，fx1f(x2)=1x121x22=x22+x12x12x22=x1x2x12x22，因为x1，x2(0,2)，所以x12<0，x22<0，所以x12x22>0，又因为x1x2<0，所以fx1f(x2)<0，即fx1<fx2，所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递增.(2)设x(2,0)，则x(0,2)，所以f(x)=ax1x2=1x+2ax，因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(x)=1x+2ax，所以fx=ax1x2，2<x<0，1x+2ax，0<x<2.【答案】解：(1)设下调后的实际电价为x元/kWh，由题意得，用电量增至kx0.4+a时，电力部门的收益为y=(kx0.4+a)(x0.3)(0.55x0.75).(2)由题意，得0.2ax0.4+a(x0.3)a(0.80.3)(1+20%),0.55x0.75,解得0.60x0.75.所以当电价最低定为0.6元/kWh时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kwh，依题意知用电量增至kx0.4+a，电力部门的收益即可；（2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%【解答】解：(1)设下调后的实际电价为x元/kWh，由题意得，用电量增至kx0.4+a时，电力部门的收益为y=(kx0.4+a)(x0.3)(0.55x0.75).(2)由题意，得0.2ax0.4+a(x0.3)a(0.80.3)(1+20%),0.55x0.75,解得0.60x0.75.所以当电价最低定为0.6元/kWh时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%【答案】解：(1)由题意可知，函数f(x)=x2axa1的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=a2，由二次函数图象可知，f(x)的单调递增区间为a2,+，因为f(x)在1,+)上单调递增，所以1a2，解得a2.故实数a的取值区间是(,2(2)由f(x)=x2axa10，整理，得(x+1)x(a+1)0，解得x1=1或x2=a+1.当a2<1，即a<2时，a+1<1，不等式的解集是a+1,1；当a2=1，即a=2时，a+1=1，不等式的解集是1；当a2>1，即a>2时，a+1>1，不等式的解集是1,a+1.综上所述，当a<2时，不等式的解集是a+1,1，当a=2时，不等式的解集是1，当a>2时，不等式的解集是1,a+1【考点】二次函数的性质一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：(1)由题意可知，函数f(x)=x2axa1的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=a2，由二次函数图象可知，f(x)的单调递增区间为a2,+，因为f(x)在1,+)上单调递增，所以1a2，解得a2.故实数a的取值区间是(,2(2)由f(x)=x2axa10，整理，得(x+1)x(a+1)0，解得x1=1或x2=a+1.当a2<1，即a<2时，a+1<1，不等式的解集是a+1,1；当a2=1，即a=2时，a+1=1，不等式的解集是1；当a2>1，即a>2时，a+1>1，不等式的解集是1,a+1.综上所述，当a<2时，不等式的解集是a+1,1，当a=2时，不等式的解集是1，当a>2时，不等式的解集是1,a+1【答案】解：(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为R，又函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即a12=0，解得a=1.当a=1时，f(x)=2x2x2x+2x=2x2x2x+2x=f(x)，所以函数f(x)为奇函数，符合题意由f(x)>35得，2x2x2x+2x>35，所以4x14x+1>35，即5(4x1)>3(4x+1)，所以4x>4，解得x>1.所以不等式f(x)>35的解集为(1,+)(2)由题意可知，g(x)=2x+12x+2x=2x2x+2x+2x2x+2x=f(x)+1，所以函数g(x)的图象是由f(x)的图象向上平移一个单位得到的，因为f(x)为奇函数，所以其图象的对称中心为(0,0)，所以g(x)=2x+12x+2x图象的对称中心是(0,1)【考点】函数奇偶性的性质指、对数不等式的解法函数的图象变换【解析】【解答】解：(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为R，又函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即a12=0，解得a=1.当a=1时，f(x)=2x2x2x+2x=2x2x2x+2x=f(x)，所以函数f(x)为奇函数，符合题意由f(x)>35得，2x2x2x+2x>35，所以4x14x+1>35，即5(4x1)>3(4x+1)，所以4x>4，解得x>1.所以不等式f(x)>35的解集为(1,+)(2)由题意可知，g(x)=2x+12x+2x=2x2x+2x+2x2x+2x=f(x)+1，所以函数g(x)的图象是由f(x)的图象向上平移一个单位得到的，因为f(x)为奇函数，所以其图象的对称中心为(0,0)，所以g(x)=2x+12x+2x图象的对称中心是(0,1)【答案】解：(1)hx在区间12,1上单调递减，hx在区间1,2上单调递增.由题意，得h(x)=x+1x=x2+1x.设x1，x212,2，且x1<x2，fx1f(x2)=x12+1x1x22+1x2=x2x12+1x1x22+1x1x2=x1x2x1x21x1x2，又x1，x212,2，x1<x2，所以x1x2<0，x1x2>0，当x1x21>0，即1<x1<x2<2时，fx1f(x2)<0，即fx1<fx2，所以hx在区间1,2上单调递增；当x1x21<0，即12<x1<x2<1时，fx1f(x2)>0，即fx1>fx2，所以hx在区间12,1上单调递减.综上所述，hx在区间12,1上单调递减，hx在区间1,2上单调递增.(2)由(1)可知，hx在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，且h12=h2=52，若12<a1，则hx在12,a上单调递减，所以hx的最大值为h12=52；若1<a2，则hx在12,1上单调递减，在1,a上单调递增，此时hah2=h12=52，所以hx的最大值为h12=52；若a>2，则hx在12,1上单调递减，在1,a上单调递增，此时hah2=h12，所以hx的最大值为ha=a+1a.综上所述，若12<a2，则hx的最大值为52；若a>2，则hx的最大值为a+1a.(3)由(1)(2)可知，当12<a1时，fx在12,a)上的值域为(a+1a,52，fx在a,2上的值域为2,52.因为a+1a2，所以(a+1a,522,52，满足x112,a)，x2a,2，使得fx1=fx2，所以此时12,a)是fx的“区间”；当1<a2时，fx在12,a)上的值域为2,52，fx在a,2上的值域为a+1a,52.因为当x11,a)时，fx1<fa=a+1a，所以x11,a)，使得f(x1)(a+1a,52，即x11,a)，x2a,2，fx1fx2，所以此时12,a)不是fx的“区间”.综上所述，a的最大值为1.【考点】函数的单调性及单调区间函数单调性的性质函数的最值及其几何意义【解析】【解答】解：(1)hx在区间12,1上单调递减，hx在区间1,2上单调递增.由题意，得h(x)=x+1x=x2+1x.设x1，x212,2，且x1<x2，fx1f(x2)=x12+1x1x22+1x2=x2x12+1x1x22+1x1x2=x1x2x1x21x1x2，又x1，x212,2，x1<x2，所以x1x2<0，x1x2>0，当x1x21>0，即1<x1<x2<2时，fx1f(x2)<0，即fx1<fx2，所以hx在区间1,2上单调递增；当x1x21<0，即12<x1<x2<1时，fx1f(x2)>0，即fx1>fx2，所以hx在区间12,1上单调递减.综上所述，hx在区间12,1上单调递减，hx在区间1,2上单调递增.(2)由(1)可知，hx在12,1上单调递减，在1,2上单调递增，且h12=h2=52，若12<a1，则hx在12,a上单调递减，所以hx的最大值为h12=52；若1<a2，则hx在12,1上单调递减，在1,a上单调递增，此时hah2=h12=52，所以hx的最大值为h12=52；若a>2，则hx在12,1上单调递减，在1,a上单调递增，此时hah2=h12，所以hx的最大值为ha=a+1a.综上所述，若12<a2，则hx的最大值为52；若a>2，则hx的最大值为a+1a.(3)由(1)(2)可知，当12<a1时，fx在12,a)上的值域为(a+1a,52，fx在a,2上的值域为2,52.因为a+1a2，所以(a+1a,522,52，满足x112,a)，x2a,2，使得fx1=fx2，所以此时12,a)是fx的“区间”；当1<a2时，fx在12,a)上的值域为2,52，fx在a,2上的值域为a+1a,52.因为当x11,a)时，fx1<fa=a+1a，所以x11,a)，使得f(x1)(a+1a,52，即x11,a)，x2a,2，fx1fx2，所以此时12,a)不是fx的“区间”.综上所述，a的最大值为1.第21页 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