广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末数学试题.docx

广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1. 设，则() A.B.C.D.2. 命题“，”的否定是() A.，B.，C.，D.，3. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则() A.B.C.D.4. 的值等于() A.B.C.D.5. 为了得到函数的图象，只需把的图象上的所有点() A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位6. 函数的零点所在的一个区间是() A.B.C.D.7. 设，则() A.B.C.D.8. 当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前()（参考数据：，) A.年B.年C.年D.年二、多选题 设，在下列函数中，图像经过定点的函数有() A.B.C.D. 已知函数，则() A.的最大值是2B.的最小正周期为C.在上是增函数D.的图像关于点对称三、单选题 下列命题中是真命题的是() A.“”是“”的充分条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充要条件D.“”是“”的充要条件四、多选题 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比，若在距离车站10km处建仓库，则为1万元，为4万元，下列结论正确的是() A.B.C.有最小值4D.无最小值五、填空题 函数的定义域是_. 函数的最大值是_. 已知函数则的值等于_. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：每户每月用水量水价不超过12m的部分3元/m超过12m但不超过18m的部分6元/m超过18m的部分9元/m若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为_.六、解答题 已知1与2是三次函数的两个零点. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：，的最大值为4，_?若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在对任意都成立，函数的图像关于轴对称，函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并证明你的结论； （2）是否存在，使得是奇函数？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图2，某摩天轮最高点距离地面高度为110m，转盘直径为100m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30. （1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10后距离地面的高度； （2）以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到0.1m）.参考公式：.参考数据：， 已知函数（，且）. （1）若，试比较与的大小，并说明理由； （2）若，且，三点在函数的图像上，记的面积为，求的表达式，并求的值域.参考答案与试题解析广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1.【答案】C【考点】运用诱导公式化简求值函数的图象与图象的变换单位向量【解析】先由补集的概念得到UB，再由并集的概念得到结果即可【解答】根据题意得UB=2,3，则AUB=1,23故选：c2.【答案】B【考点】复数的运算命题的否定运用诱导公式化简求值【解析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可【解答】命题“x0,+,lnx=x1“否定是"x0,+,lnxx1故选：B3.【答案】A【考点】三角函数终边相同的角任意角的三角函数【解析】根据任意角的三角函数定义即可求解【解答】解：由题意知：角的终边经过点P3,4故cos=332+42=35故选：A4.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值三角函数值的符号象限角、轴线角【解析】利用诱导公式可求得sin163的值【解答】sin163=sin5+3=sin3=32故选：D5.【答案】D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换函数的图象与图象的变换【解析】利用三角函数图象的平移规律可得结论【解答】因为y=cos(3x1)=cosx13)所以，为了得到函数y=cos3x1的图象，只需把y=cos3x的图象上的所有点向右平移13个单位故选：D6.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换函数零点的判定定理运用诱导公式化简求值【解析】分析函数fx的单调性，利用零点存在定理可得出结论【解答】因为函数y=lnx,y=2x3均为0,+上的增函数，所以，函数fx为0,+上的增函数，f1=1<0f32=ln32>0，即f(1)f32<0因此，函数fx=lnx+2x3的零点所在的一个区间是1,32故选：C7.【答案】A【考点】象限角、轴线角函数的图象与图象的变换指数函数的图像变换【解析】由对数函数的图象和性质知，a<0,b>0，贝3ab<0又因为1a+1b=a+bab，根据已知可算出其取值范围，进而得到答案【解答】解：因为a=log30.6<log31=0,b=log0.30.6>log0.31=0，所以ab<0又a+bab=1a+1b=log0.63+log0.60.3=log0.60.90,1所以0<a+bab<1，所以ab<a+b<0故选：A8.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差求解线性回归方程离散型随机变量及其分布列【解析】根据碳14的半衰期为5730年，即每5730年含量减少一半，设原来的量为1，经过+年后变成了0.552，即可列出等式求出+的值，即可求解【解答】解：根据题意可设原来的量为1，经过！年后变成了155.2%=0.55即10.5130=0.55两边同时取对数，得：log0.50.555=log0.50.55即t5730=0.8573t=57300.8573491249122010+1=2903以此推断此水坝建成的年代大概是公元前2903年故选：B二、多选题【答案】A,B,C【考点】函数的图象函数的概念及其构成要素【解析】利用指数函数、幂函数、对数函数的性质即可得出结果【解答】当x=1时，y=12=1，图象经过定点1,1，故A可选；当x=1时，y=a11=a2=1，图象经过定点1,1，故B可选；当x=1时，y=loga1+1=1，图象经过定点1,1，故C可选；当x=1时，y=a+1，图象不过定点1,1，故D不选故选：ABC【答案】A,C【考点】正弦函数的定义域和值域【解析】对A，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B，D根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C，先求出fx的单调递增区间，即可判断【解答】解：对A，fx=2sin3x6故当sin3x6=1时，fxmax=2sin3x6=2，故A正确；对B，fx的最小正周期T=2|=23，故B错误；对C，令2+2k3x62+2k,kz解得：9+2k3x29+2k3,kz故fx的单调递增区间为：9+2k3,29+2k3,kz当k=0时，fx的一个单调递增区间为：9,29故fx在0,6上单调递增，故C正确；对D令3x6=k,kZ解得：x=18+k3,kz故fx的对称中心为：18+k3,0令x=6即6=18+k3,kZ解得：k=13z故6,0不是fx的对称中心，故D错误故选：AC三、单选题【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件命题的真假判断与应用【解析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可【解答】因为4NB是集合A的子集，故“xA”是rxAB的必要条件，故选项A为假命题；当ac2>bc2时，则a>b，所以a>b是ac2>bc2”的必要条件，故选项B为真命题；因为y=0.2x是R上的减函数，所以当m>n时，0.2m<0.22故选项C为假命题；取=30=300，但tan<tan故选项D为假命题故选：B四、多选题【答案】B,C,D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】对A，B，根据题意设y1=k1x,y2=k2x2x10,k2=0,x>0)，利用待定系数法分别求出y1,y2关于的解析式，即可判断，对C，利用基本不等式即可判断；对D根据y1y2在0,+上的单调性即可判断【解答】解：对A，设y1=k1x,k1=0,x>0由题意知：函数过点10,1即k1=10y1=10x,x>0，故A错误；对B，y2=k2x,k2=0,x>0)由题意得：函数过点10,4即4=10k解得：k2=0.4y2=0.4x,x>0，故B正确；对C，y1+y2=10x+0.4x210x0.4x=4当且仅当10x=0.4x，即x=5时等号成立，故C正确；对D， y1y2=10x0.4x在0,+上单调递减，故y1y2无最小值，故D正确故选：BCD五、填空题【答案】(1.2)【考点】函数的定义域及其求法幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数奇偶性的判断【解析】利用对数函数的定义域列出不等式组即可求解【解答】由题意可得x1>02x>0，解得1<x<2所以函数的定义域为(1.2)故答案为：(1.n/【答案】加加21+8cos2【考点】辅助角公式【解析】把函数化为fx=asinx+bcosx的形式，然后结合辅助角公式可得【解答】由已知fx=2sinxcoscosxsin+4sinxcos=6sinxcos2cosxsin令cos=6cos21+8cos2sin=2sin21+8cos20,2)，则fx=21+8cos2sinx+所以fxmax=6cos2+2sin2=21+8cos2故答案为：21+8cos2【答案】18【考点】函数的求值换底公式的应用方根与根式及根式的化简运算【解析】根据分段函数定义计算【解答】flog32=flog32+2=flog318=31.18=18故答案为：18【答案】17m3【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图函数模型的选择与应用【解析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可【解答】解：当用水量为12m3时，水费为123=36，而本月交纳的水费为66元，显然用水量超过12m3当用水量为18m3时，水费为36+18126=72而本月交纳的水费为66元，所以本月用水量不超过18m3即有66366=5因此本月用水量为12+5=17m3故答案为：17m3六、解答题【答案】（1）a=7,b=6；（2）1,17【考点】一元二次不等式的解法【解析】（1）根据函数零点的定义得f1=0f2=0，解方程即可得答案；（2）由（1）得7x26x+1>0，进而根据二次函数性质解不等式即可【解答】（1）因为1与2是三次函数fx=x3+ax+ba,bR的两个零点所以根据函数的零点的定义得：f(1)=1+a+b=0f)=8+2a+b=0，解得：a=7,b=6（2）由（1）得ax2bx+1=7x26x+1=7x+1x+1>0根据二次函数的性质得不等式的解集为：x|1<x<17所以不等式的ax2bx+10解集为1,17【答案】若选择，fx=x2+2x+3若选择，fx=14x2+x+3若选择，fx=4x24x+3【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】由f0=3可得c=3，由所选的条件可得fx的对称轴，再由fx的最大值为4，可得关于a,b的方程，求解即可【解答】解：由f0=3，可得：f0=c=3fx=ax2+bx+3若选择，f1+x=f1x对任意xR都成立，故fx的对称轴为x=1即b2a=1又fx的最大值为4，a<0且f1=a+b+3=4解得：a=1,b=2故fx=x2+2x+3若选择，：函数y=fx+2的图像关于！轴对称，故fx的对称轴为x=2即b2a=2又fx的最大值为4，a<0且f2=4a+2b+3=4解得：a=14,b=1故fx=14x2+x+3若选择，：函数fx的单调递减区间是12,+)故fx的对称轴为x=12即b2a=12又fx的最大值为4，a<0且f12=14a+12b+3=4解得：a=4,b=4故fx=4x24x+3【答案】（1）14；（2）16【考点】区间与无穷的概念有理数指数幂的化简求值集合的确定性、互异性、无序性【解析】（1）根据正切的差角公式求得tan，再利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）根据同角三角函数的关系和正弦，余弦的二倍角公式，代入可得答案【解答】（1）因为tan4=2，所以tan41+tan4tan=2，即1tan1+tan=2，解得tan=3所以tan2=2tan1tan2=34，所以tan2tan=343=14（2）1cos2+sin21cos2=sin2+2sincos2sin2=tan2+2tan2tan2=16【答案】（1）减函数，证明见解析；（2）a=1，理由见解析【考点】函数奇偶性的性质函数的零点函数单调性的性质【解析】（1）由单调性定义判断；（2）根据奇函数的性质由f0=0求得，然后再由奇函数定义验证【解答】（1）fx是R上的减函数设对<x2，则0<3x<3x0，所以0<3x+1<3x2+113x+1>13x+1，即23x+1>23x2+1,23x+1a>232+1a，所以fx1>fx2所以fx是R上的减函数（2）若fx是奇函数，则f0=230+1a=0a=1a=1时，fx=23x+11=13x3x+1所以fx=13x3x+1=3x1+3n=fx，所以fx为奇函数所以a=1时，函数fx为奇函数【答案】（1）80m；（2）y=50sin15t2+55（3）h=100|sin48sin15t48|0t306.5【考点】在实际问题中建立三角函数模型进行简单的合情推理【解析】（1）设t=0min时，游客甲位于P0,50，得到以OP为始边的角，即初相，再利用周期性和最值得到函数的解析式，令t=10求解即可（2）由（1）的求解过程即可得出答案（3）甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则AOB=248=24，分别求出tmin后甲和乙距离地面的高度，从而求出高度差，再利用已知条件给出的参考公式进行化简变形，利用三角函数的有界性进行分析求解即可【解答】（1）设t=0min时，游客甲位于P0,50，得到以OP为始边的角为2根据摩天轮转一周需要30min，可知座舱转动的速度约为15rad由题意可得，h=50sin15t2+550t30当t=10时，h=50sin15102+55=50sin6+55=80所以游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10min后距离地面的高度为80米（2）由（1）可得，y=50sin15t2+55（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则AOB=248=24P经过tmin后，甲距离地面的高度为h1=50sin15t2+55点B相对于A始终落 此时乙距离地面的高度h=加24rd则甲、乙高度差为h=|h1h2|=50|sin15t2sin15t1324利用sinsin=2cos+2sin可得h=100|sin48sin15t480t30当15t48=2或32，即t7.8或22.8所以的最大值为100.sin486.5米，所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为6.5米【答案】（1）当0<a<1时，fx1+x22<fx1+fx22；当a>1时，fx1+x22>fx1+fx22；（2）gt=log2t+22tt+4(,loga43【考点】复合函数的单调性【解析】（1）根据题意分别代入求出fx1+x22,fx1+fx22，再比较x1+x22,x1x2的大小，利用函数的单调性即可求解（2）先表示出S=gt的表达式，再根据函数的单调性求gt的值域【解答】（1）当0<a<1时，fx=logax在0,+上单调递减；fx1+x22=logax1+x02fx1+fx22=12logax1+12logax2=logax1x2又0<x1<x2x1+x22>x1x2故fx1+x22<fx1+fx22同理可得：当a>1时，fx=logax在0,+上单调递增；fx1+x22=logax1+x02fx1+fx22=12logax1+12logax2=logax1x2又：0<x1<x2x1+x22>x1x2故fx1+x22>fx1+fx22综上所述：当0<a<1时，fx1+x22<fx1+fx22；当a>1时，fx1+x22>ffx1+fx22（2）由题意可知：S=gt=12ft+ft+22+12ft+2+ft+4212ft+44=2ft+2ftft+4=2log2t+2log2tlog2t+4=log2t+22tt+4t2a>1，故fx=logax在2,+)上单调递增；令gt=t+22tt+4=1+4t2+4tt2当t2时，y=t2+4t在2,+)上单调递增；故gt=1+4t2+4t在2,+)上单调递减；故gt=log2t+22tt+4在2,+)上单调递减；故gtmax=g2=loga2+2222+4=loga43故gt的值域为：(,loga43第17页 共20页 第18页 共20页