2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷.docx

2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 函数y=fx的图象与直线x=1的公共点数目是( ) A.1B.0C.0或1D.1或22. 下列各组中的M，P表示同一集合的个数是( )M=3,1，P=(3,1);M=(3,1)，P=(1,3);M=y|y=x21，P=t|t=x1;M=y|y=x21，P=(x,y)|y=x21. A.0B.1C.2D.33. 下列各组函数是同一函数的是( )fx=2x3与gx=x2x；fx=|x|与gx=x2；fx=x0与gx=1；fx=x22x1与gt=t22t1. A.B.C.D.4. 已知非空集合P满足：P1,2,3,4,5；若aP，则6aP，符合上述要求的集合P的个数是( ) A.4B.5C.7D.315. 已知a=243，b=425，c=2513，则( ) A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b6. 已知函数f(x)=x3x2+4，则f(x)的大致图象为( ) A.B.C.D.7. 已知函数fx=x2+3x+4x，对于任意x12时下列说法正确的是( ) A.最大值为7B.最小值为232C.最大值为232D.最小值为78. 已知偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x)，且f(1)=1，则f(5)+f(13)的值为( ) A.2B.1C.0D.29. 若函数fx=ax，x>1，5ax+1，x1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( ) A.3,5B.3,5)C.1,5D.1,+10. 已知函数 fx=12x+1,x0,2x1+2x,x<0, 若f6a>fa，则实数a的取值范围是( ) A.,3B.,3C.3,+D.3,+11. 对于全集U的子集A，定义函数fA(x)=1(xA)，0(xUA)为A的特征函数，设A，B为全集U的子集，下列结论中错误的是( ) A.若AB，fA(x)fB(x)B.fUA(x)=1fA(x)C.fAB(x)=fA(x)fB(x)D.fAB(x)=fA(x)+fB(x)12. 定义区间(a,b)，a,b),(a,b，a,b的长度均为d=ba用x表示不超过x的最大整数，记x=xx，其中xR设f(x)=xx，g(x)=x1，若用d表示不等式f(x)<g(x)解集区间的长度，则当0x3时，有( ) A.d=1B.d=2C.d=3D.d=4二、填空题 已知fx是定义在R上的偶函数，对任意xR都有fx+212=2fxf2x，则f2023=_. 三、解答题 已知函数fx=axa>0,a1，且f24f1=4. (1)求a的值； (2)若f3m2<f2m+5，求实数m的取值范围. 设实数tR，函数fx=x22x1在区间t,t+1上的最小值是gt. (1)求gt解析式； (2)画出y=gt的图象，并求其最大值和最小值 已知全集U=R，集合A=x|x22x15<0，集合B=x|(x2a+1)(xa2)<0 (1)若a=1，求UA和B； (2)若AB=A，求实数a的取值范围 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为k1，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为k2，其关系如图2（注：利润与投资额单位是万元） (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出k1，k2的值，写出它们的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元 函数fx对任意的m、nR，都有f(m+n)=f(m)+f(n)1，并且x>0时，恒有fx>1 (1)求证：fx在R上是增函数； (2)若f3=4，解不等式fa2+a5<2 设函数f(x)=(xa)|xa|(aR) (1)若函数f(x)是奇函数，求a的值； (2)若存在a1,1，使函数f(x)+2x22a|x|+2=0在xx|x|t上有解，求实数t的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】函数的概念【解析】本题考查函数概念【解答】解：由函数概念得：对应定义域内每一个自变量有且仅有一个函数值与之对应，即当1在定义域内时，函数y=fx的图象与直线x=1的交点有且仅有一个，当1不在定义域内时，函数y=fx的图象与直线x=1没有交点，所以函数y=fx的图象与直线x=1的公共点数目是0或1故选C2.【答案】B【考点】集合的相等【解析】本题主要考查两个集合相等的概念【解答】解：对于，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合对于，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合对于，两个集合均表示函数值域，且值域相同，故为同一集合对于，集合M研究对象是函数值，集合P研究对象是点的坐标，故不是同一个集合故选B3.【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】本题通过判断几组函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则【解答】解：fx=2x3与gx=x2x的定义域是x|x0，而fx=2x3=x2x，故这两个函数不是同一函数；fx=|x|与gx=x2的定义域都是R，gx=x2=|x|，这两个函数定义域相同，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；fx=x0的定义域是x|x0，而gx=1的定义域是R，故这两个函数不是同一函数；fx=x22x1与gt=t22t1两个函数定义域相同，对应法则也相同，是同一函数故选D4.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】由条件列出集合的子集【解答】解： 非空集合P满足：P1,2,3,4,5，若aP，则(6a)P 集合P可以有：1,5，2,4，3，1,5,2,4，1,5,3，2,4,3，1,2,3,4,5共有7个集合.故选C5.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用指数函数单调性的应用【解析】利用指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解： a=243=1613，b=425=1615，根据指数函数的单调性，a>b. c=2513，y=x13在(0,+)是增函数， c>a. b<a<c.故选A6.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=x3x2+4=f(x)，所以函数为奇函数，故排除A选项；f(x)=x3x2+4=11x+4x3,显然当x>0时，函数单调递增，故排除C选项；令x=10,则f(10)=1000104>4,故排除D选项.故选B.7.【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义【解析】本题主要考查了函数最值的求解【解答】解：由题意可知，fx=x2+3x+4x=x+4x+3，由对勾函数可知，函数fx在12,2上单调递减，在2,+)上单调递增，所以当x=2时，函数fx取得最小值，最小值为f2=7，没有最大值故选D8.【答案】A【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由f(x+3)=f(x)可得函数的周期为6，然后根据函数的周期性和奇偶性进行求值即可【解答】解：由f(x+3)=f(x)，得f(x+6)=f(x)，即函数的周期是6则f(5)=f(56)=f(1)，f(13)=f(12+1)=f(1)， f(x)是偶函数， f(1)=f(1)=1， f(5)+f(13)=f(1)+f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)=2故选A.9.【答案】B【考点】已知函数的单调性求参数问题分段函数的应用【解析】本题主要考查了利用分段函数的单调性求解参数问题【解答】解：由题意，函数f(x)=ax，x>1，(5a)x+1，x1是R上的单调递增函数，则满足a>1，5a>0，5a+1a，解得3a<5，即实数a的取值范围为3,5)故选B10.【答案】C【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】无【解答】解：原函数可变形为fx=12x+1，x0，12x+1，<0，则fx=12|x|+1，即fx为偶函数，且当x>0时，fx单调递减，故不等式f6a>fa等价于f(|6a|)>f(|a|)，则|6a|<|a|，变形得6a2<a2，解得：a>3故选C11.【答案】D【考点】函数新定义问题集合新定义问题命题的真假判断与应用【解析】根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对A、B、C、D各项中的运算加以验证，进而求解；【解答】解： fA(x)=1(xA)，0(xUA)，对于A， AB，分类讨论：当xA，则xB，此时fAx=fBx=1，当xA且xB，即xUB，此时fAx=fBx=0，当xA且xB，即x(UA)B时，fAx=0，fBx=1，此时fAxfBx，综合所述，有fAxfBx，故A正确；对于B，fUA(x)=1,xUA0,xA=1fA(x)，故B正确；对于C，fAB(x)=1,xAB0,xU(AB)=1,xAB0,x(UA)(UB)=1,xA0,xUA1,xB0,xUB=fA(x)fB(x)，故C正确；对于D，考虑AB的情况，若xAB，则xAB，xA,xB，所以fABx=1，fAx=1，fBx=1，此时fABx=fAx+fBx不成立，故D错误.故选D.12.【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】先化简f(x)=xx=x(xx)=xxx2，再化简f(x)<(x)，再分类讨论：当x0,1)时，当x1,2)时当x2,3时，求出f(x)<g(x)在0x3时的解集的长度【解答】解：f(x)=xx=x(xx)=xxx2，g(x)=x1f(x)<g(x)xxx2<x1即(x1)x<x21当x0,1)时，x=0，上式可化为x>1， x；当x1,2)时，x=1，上式可化为0>0， x；当x2,3时，x1>0，上式可化为x<x+1， x2,3. f(x)<g(x)在0x3时的解集为2,3，故d=1故选A二、填空题【答案】122【考点】函数的求值【解析】本题考查由函数性质求函数值【解答】解：由题可将fx+212=2fxf2x变形为fx+212+fx12=1，令gx=fx12，则gx+2+gx=1，再代x+2入，得gx+4+gx+2=1，则gx+4=gx，则g2023=g1，即f202312=f112，又fx为偶函数，且f1+212+f112=1，则f112+f112=1，得f1=f1=122，则f202312=12，解得f2023=122故答案为：122三、解答题【答案】解：(1) 函数fx=axa>0,a1，且f(2)4f1=4， a24a=4，解得a=2.(2)由(1)知fx=2x，fx=2x为R上的增函数，则f3m2<f2m+5有3m2<2m+5，解得m<7， 实数m的取值范围m|m<7.【考点】指数函数的单调性与特殊点函数单调性的性质函数的求值【解析】（1）小函数fx=axa>0,a1，且f(2)4f1=4. a24a=4，解得a=2.（2）由（1）知fx=2,fx=2为R上的增函数，因为f3m2<f2m+5有3m2<2m+5，解得m<7，所以实数m的取值范围m|m<7.【解答】解：(1) 函数fx=axa>0,a1，且f(2)4f1=4， a24a=4，解得a=2.(2)由(1)知fx=2x，fx=2x为R上的增函数，则f3m2<f2m+5有3m2<2m+5，解得m<7， 实数m的取值范围m|m<7.【答案】解：(1) fx=x22x1=x122，对称轴x=1，顶点坐标1,2，fx在,1上单调递减，在1,+上单调递增，当0t1时，gt=f1=2；当t>1时，在区间t,t+1上是增函数，gt=ft=t22t1；当t<0时，在区间t,t+1上是减函数，gt=ft+1=t+122t+11=t22， gt=2，0t1，t22t1，t>1，t22，t<0.(2)函数图象如下：由图可得，g(t)最小值为2，g(t)无最大值.【考点】二次函数在闭区间上的最值二次函数的性质函数最值的应用函数的最值及其几何意义函数解析式的求解及常用方法函数的图象【解析】此题是关于二次函数的图象与最值问题【解答】解：(1) fx=x22x1=x122，对称轴x=1，顶点坐标1,2，fx在,1上单调递减，在1,+上单调递增，当0t1时，gt=f1=2；当t>1时，在区间t,t+1上是增函数，gt=ft=t22t1；当t<0时，在区间t,t+1上是减函数，gt=ft+1=t+122t+11=t22， gt=2，0t1，t22t1，t>1，t22，t<0.(2)函数图象如下：由图可得，g(t)最小值为2，g(t)无最大值.【答案】解：(1)若a=1，则集合A=x|x22x15<0=x|3<x<5，所以UA=x|x3或x5，若a=1，则集合B=x|(x2a+1)(xa2)<0=x|(x1)2<0=.(2)因为AB=A，所以BA，当B=时，a2=2a1，解的a=1；当B时，即a1时，B=x|2a1<x<a2，又由(1)可知集合A=x|3<x<5，所以2a13，a25,解得1a5，且a1，综上所求，实数a的取值范围为：1a5【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为ABA，所以BA，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a的取值范围【解答】解：(1)若a=1，则集合A=x|x22x15<0=x|3<x<5，所以UA=x|x3或x5，若a=1，则集合B=x|(x2a+1)(xa2)<0=x|(x1)2<0=.(2)因为AB=A，所以BA，当B=时，a2=2a1，解的a=1；当B时，即a1时，B=x|2a1<x<a2，又由(1)可知集合A=x|3<x<5，所以2a13，a25,解得1a5，且a1，综上所求，实数a的取值范围为：1a5【答案】解：(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)=k1x，g(x)=k2x，由图可知f(1)=14，所以k1=14，又g(4)=52，所以k2=54，所以f(x)=14x(x0)，g(x)=54x(x0).(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10x)万元，设企业的利润为y万元，y=f(x)+g(10x)=14x+5410x，(0x10)，令10x=t，则y=10t24+54t=14(t52)2+6516，(0t10)，所以当t=52时，ymax=6516，此时x=10(52)2=154=3.75，所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元，企业获得最大利润为6516万元，即4.0625万元【考点】函数最值的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；（2）设A产品投入x万元，则B产品投入(10x)万元，设企业的利润为y万元，则有yf(x)+g(10x)(0x10)，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解【解答】解：(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)=k1x，g(x)=k2x，由图可知f(1)=14，所以k1=14，又g(4)=52，所以k2=54，所以f(x)=14x(x0)，g(x)=54x(x0).(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10x)万元，设企业的利润为y万元，y=f(x)+g(10x)=14x+5410x，(0x10)，令10x=t，则y=10t24+54t=14(t52)2+6516，(0t10)，所以当t=52时，ymax=6516，此时x=10(52)2=154=3.75，所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元，企业获得最大利润为6516万元，即4.0625万元【答案】(1)证明：设x1<x2， x2x1>0， 当x>0时，fx>1， fx2x1>1 fx2=fx2x1+x1=fx2x1+fx11， fx2fx1=fx2x11>0fx1<fx2， fx在R上为增函数(2)解： m,nR，不妨设m=n=1， f1+1=f1+f11f2=2f11，f3=4f2+1=4f2+f11=43f12=4， f1=2， fa2+a5<2=f1， fx在R上为增函数， a2+a5<13<a<2，即a3,2【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出fx2fx1并与0比较大小将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出fM<fN的形式【解答】(1)证明：设x1<x2， x2x1>0， 当x>0时，fx>1， fx2x1>1 fx2=fx2x1+x1=fx2x1+fx11， fx2fx1=fx2x11>0fx1<fx2， fx在R上为增函数(2)解： m,nR，不妨设m=n=1， f1+1=f1+f11f2=2f11，f3=4f2+1=4f2+f11=43f12=4， f1=2， fa2+a5<2=f1， fx在R上为增函数， a2+a5<13<a<2，即a3,2【答案】解：(1) f(x)在原点有定义，f(x)为奇函数， f(0)=a|a|=0，即a=0，此时f(x)=x|x|是奇函数， a=0.(2) a1,1，设y=f(x)+2x22a|x|+2，xa时，y=f(x)+2x22a|x|+2=(xa)2+2(|x|a2)2+2a22>0，此时原方程无解；x<a，若a>0，则当0x<a时，y=f(x)+2x22a|x|+2=(xa)2+2x22ax+2=x2a2+2>0，原方程也无解； 原方程的根在x<a且x<0时取得，此时函数y=f(x)+2x22a|x|+2=(xa)2+2x2+2ax+2=x2+4ax+2a2由x2+4ax+2a2=0，得|x|24a|x|+2a2=0此时=16a24(2a2)0，a225，即25a21由于|x|0， a>0，得105a1|x|=2a5a22要使原方程在xx|x|t上有解，只需t(2a5a22)max，即t21+52=2+3， t2+3【考点】函数与方程的综合运用奇函数【解析】（1）利用f(0)0求得a值，再验证函数为奇函数即可；（2）分类讨论，xa时，化简可得y无零点；x<a，且x0时也无零点；因此只有x<a且x<0时有零点，此时一元二次方程有实数解，转化为关于|x|的方程则有正实数解，得到a的范围，在此范围内求得方程的解|x|，根据题意，t|x|max，则答案可求【解答】解：(1) f(x)在原点有定义，f(x)为奇函数， f(0)=a|a|=0，即a=0，此时f(x)=x|x|是奇函数， a=0.(2) a1,1，设y=f(x)+2x22a|x|+2，xa时，y=f(x)+2x22a|x|+2=(xa)2+2(|x|a2)2+2a22>0，此时原方程无解；x<a，若a>0，则当0x<a时，y=f(x)+2x22a|x|+2=(xa)2+2x22ax+2=x2a2+2>0，原方程也无解； 原方程的根在x<a且x<0时取得，此时函数y=f(x)+2x22a|x|+2=(xa)2+2x2+2ax+2=x2+4ax+2a2由x2+4ax+2a2=0，得|x|24a|x|+2a2=0此时=16a24(2a2)0，a225，即25a21由于|x|0， a>0，得105a1|x|=2a5a22要使原方程在xx|x|t上有解，只需t(2a5a22)max，即t21+52=2+3， t2+3第17页 共18页 第18页 共18页