2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷.docx

2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A=x|2x0，B=x|0x1，则AB=( ) A.0,1B.1,2C.0,2D.(,22. 已知关于x的不等式mx1>0的解集为(2,0)，则m的值为（ ） A.m=1B.m=2C.m=2D.m=43. 函数f(x)ax1a(a>0,a1)的图象可能是（ ） A.B.C.D.4. 已知a，bR，则ab0是a2+b20的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 记函数f(x)x22x+5x1在区间2,9上的最大值和最小值分别为M、m，则m+M=( ) A.272B.13C.252D.126. 已知幂函数g(x)(2a1)xa+1的图象过函数f(x)mxb12(m>0，且m1)的图象所经过的定点，则b的值等于（ ） A.12B.22C.2D.27. f(x)=(3a1)x+4a,(x<1)，ax,(x1)，是定义在(,+)上是减函数，则a的取值范围是( ) A.18,13)B.0,13C.(0,13)D.(,138. 设函数f(x)=axax+1(a>0，且a1)，记m表示不超过m的最大整数，例如1.3=2，0.8=0，2.4=2那么函数f(x)12+f(x)+12的值域是（ ） A.0,1,2B.1,0,1C.1,0D.0,1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 下列各式中一定成立的有（ ） A.(nm)7n7m17B.12(3)433C.4x3+y3(x+y)34D.3933 若a，b，cR，则下列命题一定成立的是（ ） A.若a2>b2，则a>bB.若ac2>bc2，则a>bC.若2a>2b，则a>bD.若ab>ba，则a>b 定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足：f(x)+g(x)=4x，下列结论正确的有（ ） A.f(x)4x4x2，且0<f(1)<g(2)B.xR，总有g(x)2f(x)2=1C.xR，总有f(x)g(x)+f(x)g(x)=0D.x0R，使得f(2x0)>2f(x0)g(x0) 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x23x2，则以下说法错误的有（ ） A.当x>0时，f(x)=x23x2B.函数f(x)的单调递减区间是32，32C.f(x1)>0的解集为(1,0)(1,2)(3,+)D.f(x)=0有4个解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 幂函数f(x)的图象经过点(3，3)，则f(4)=_ 函数f(x)=(12)x23x10的递增区间是_ 已知二次不等式ax2+2x+b>0的解集x|x1a，且a>b，则a2+b2ab的最小值为_ 已知函数f(x)的值域0,4(x2,2)，函数g(x)=ax1，x2,2，x12,2，总x02,2，使得g(x0)=f(x1)成立，则实数a的取值范围是_ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （1）计算：0.00113(3)0+1634(33)6； （2）若a，b(0,+)，化简：a32bab2(3a)2 已知aR，命题p:x0,1，使得(a1)x1>0；命题q:xR，使得x2+ax+4>0 （1）写出命题p的否定p，并求p为真时，实数a的取值范围； （2）若命题p，q有且只有一个为真，求实数a的取值范围 已知集合M=x|x2+5x0，集合N=x|x24xa(a+4)<0 （1）当a=1时，求集合MRN； （2）若NM，求实数a的取值范围 已知x，yR+且x+y=1 （1）求实数x2+3y2+2x的最小值； （2）求1x+4y的取值范围； （3）若对于任意的x，yR+，存在实数a12，4，使得m2+(1x+4y)m+|a2|12成立，求实数m的取值范围 已知函数f(x)2x+12x1 （1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明； （2）用单调性的定义证明：函数f(x)在区间(0,+)上单调递减； （3）求关于x的不等式f(x2)+f(2x)>0的解集 已知函数y=f(x)的定义域为D，如果存在区间a,bD，使得y|y=f(x),xa,b=a,b，则称区间a,b为函数y=f(x)的一个和谐区间 （1）直接写出函数f(x)=x3的所有和谐区间； （2）若区间0,m是函数f(x)=|32x2|的一个和谐区间，求实数m的值； （3）若函数f(x)=x22x+m(mR)存在和谐区间，求实数m的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】求出集合A，再由B=x|0x1，能求出AB【解答】 集合A=x|2x0=x|x2，B=x|0x1， AB=x|x2=(,22.【答案】B【考点】其他不等式的解法【解析】由式mx1>0，可得x(xm)<0，然后根据不等式mx1>0的解集为(2,0)，求出m的值【解答】 mx1>0， xmx<0， x(xm)<0， 关于x的不等式mx1>0的解集为(2,0)， 2和0为方程x(xm)=0的两个实根， m=23.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点(1,0)，问题得以解决【解答】当0<a<1时，函数f(x)ax1a，为减函数，当a>1时，函数f(x)ax1a，为增函数，且当x1时f(1)0，即函数恒经过点(1,0)，4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由“ab0”“a2+b20”，反之不成立，取a0，b0即可判断出【解答】“ab0”“a2+b20”，反之不成立，取a0，b0 “ab0”是“a2+b20”的充分非必要条件5.【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义【解析】把函数解析式化为f(x)=x22x+5x1=(x1)2+4x1=(x1)+4x1；令x1=t，则y=f(x)=t+4t，t1,8；转化为在闭区间1,8内求y=t+4t的最值问题，利用导数求解即可【解答】f(x)=x22x+5x1=(x1)2+4x1=(x1)+4x1； x2,9， x11,8，令x1=t，则t1,8；y=f(x)=t+4t，t1,8；y=14t2=(t2)(t+2)t2；当1t<2时，y<0，函数单调递减；当2<t8时，y>0，函数单调递增； t=2时，函数有最小值，ymin=2+2=4；t=1时，y=1+4=5；t=8时，y=8+12=172； ymax172；M=172，m=4；则m+M=172+4=252；6.【答案】B【考点】幂函数的图象【解析】根据函数g(x)是幂函数求出a的值，再写出指数函数f(x)图象所过的定点，代入g(x)中求得b的值【解答】函数g(x)(2a1)xa+1是幂函数， 2a11，解得a1， g(x)x2；令xb0，解得xb， 函数f(x)mxb12的图象经过定点(b,12)， b2=12，解得b227.【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题【解析】由题意可得3a1<0、a<0、且a3a1+4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的范围【解答】解：由题意可得3a1<0，a<0，a3a1+4a，求得18a<13.故选A8.【答案】D【考点】函数的值域及其求法【解析】先利用分离系数法，然后结合指数函数的性质及已知新定义即可分类求解【解答】 f(x)=axax+1=111+ax，f(x)=111+ax=1ax1+ax=11+ax， f(x)12+f(x)+12=1211+ax+11+ax+12，又 1+ax>1， 0<11+ax<1，当0<11+ax<12时，0<1211+ax<12，12<12+11+ax<1， 1211+ax=0，12+11+ax=0， f(x)12+f(x)+12=1211+ax+11+ax+12=0，当11+ax=12时，f(x)12+f(x)+12=1211+ax+11+ax+12=0+1=1，当12<11+ax<1时，12<1211+ax<0，1<12+11+ax<32，1211+ax=1，12+11+ax=1， f(x)12+f(x)+12=1211+ax+11+ax+12=0故函数的值域0,1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.【答案】B,D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】根据指数幂的原式性质对各个选项分别判断即可【解答】对于A：原式=n7m7，故A错误；对于B：原式=3412=33，故B正确；对于C：原式=(x3+y3)14，故C错误；对于D：原式=913=916=313=33，故D正确；【答案】B,C【考点】不等式的基本性质命题的真假判断与应用【解析】由特值法可判断选项A；由不等式的基本性质可判断选项B；由指数函数的性质可判断选项C；由特值法可判断选项D【解答】若a2>b2，取a=3，b=2，则a<b，故A错误；若ac2>bc2，则a>b，故B正确；若2a>2b，则a>b，故C正确；若ab>ba，取a=3，b=1，可得a<b，故D错误；【答案】A,B,C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】求出f(x)和g(x)的解析式，利用解析式代入计算判断【解答】定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足：f(x)+g(x)=4x，又f(x)+g(x)=4x，得f(x)+g(x)=4x，所以f(x)=4x4x2，g(x)=4x+4x2，f(0)=0<f(1)=158<g(2)=4+132，故A成立，g(x)2f(x)2=(4x+4x)24(4x4x)24=1，故B成立，根据奇偶性，f(x)g(x)+f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=0，故C成立，f(2x0)2f(x0)g(x0)=42xo42xo22(4xo4xo)(4xo+4xo)4=0，故D不成立，故选：ABC【答案】A,B,D【考点】函数奇偶性的性质与判断命题的真假判断与应用【解析】求出函数的解析式判断A；函数的单调性判断B；不等式的解集判断C；利用数形结合判断D【解答】对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x23x2，对于B，当x>0时，x<0，f(x)=f(x)=(x)23(x)2=x23x+2当x>0时，f(x)=x23x+2，所以A不正确当x<0时，函数f(x)=x23x2，的对称轴为：x=32，开口向下，f(x)是定义在R上的奇函数，函数f(x)=x23x2的单调递减区间是(32,0)，x>0时，函数的单调减区间为(0,32)，所以B不正确；对于C，f(x1)>0即：x1<0，f(x1)=(x1)23(x1)2>0，即：x2x>0，解得x(1,0)，当x1>0，即x>1时，(x1)23(x1)+2>0，即x25x+6>0，解得x(1,2)(3,+)，所以C正确；函数f(x)的图形如图：所以f(x)=0有5个解，所以D不正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】16【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再计算f(4)的值【解答】设幂函数y=f(x)=x，R；函数图象经过点(3，3)，所以(3)=3，解得=2，所以f(x)=x2，所以f(4)=42=16【答案】(,2【考点】复合函数的单调性【解析】由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，在求出二次函数t=x23x10在定义域内的减区间，由复合函数的单调性得答案【解答】由x23x100，解得x2或x5， 原函数的定义域为(,25,+)，令t=x23x10，该函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=32，则该函数在(,2上为减函数，开方不改变单调性，而外层函数y=(12)t是定义域内的减函数，由复合函数的单调性可得，函数f(x)=(12)x23x10的递增区间是(,2【答案】22【考点】一元二次不等式的解法【解析】由二次不等式和二次方程的根的关系可得ab=1，而要求的式子可化为：(ab)+2ab，由基本不等式求最值可得结果【解答】解： 二次不等式ax2+2x+b>0的解集x|x1a， a>0，且对应方程有两个相等的实根为1a由根与系数的故关系可得1a(1a)=ba，即ab=1故a2+b2ab=(ab)2+2ab=(ab)+2ab， a>b， ab>0，由基本不等式可得(ab)+2ab2(ab)2ab=22，当且仅当ab=2时取等号故a2+b2ab的最小值为：22故答案为：22【答案】(,5252，+【考点】函数恒成立问题【解析】由题意知，g(x)的值域包含f(x)的值域，g(x)的值域与a的正负有关，分a>0，a<0两类求解，两类中分别得出端点值的大小关系，求两个不等式组，得到关于a的两个范围，求并集可得a的取值范围【解答】解：根据题意，分情况讨论可得：a>0时，2a102a14，得a52；a<0时，2a142a10，得a52，a=0时，g(x)=ax1=1， a则实数a的取值范围是(,5252,+)故答案为：(,5252,+)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【答案】原式=103(13)1+24343136=101+89=8；原式=a32ba12ba23=a1b2a23=13ab2【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】（1）（2）根据指数幂的原式性质分别计算即可【解答】原式=103(13)1+24343136=101+89=8；原式=a32ba12ba23=a1b2a23=13ab2【答案】p:x(0,1)使得(a1)x10，即a11x，得a11，解得a2命题p：存在x0,1使得(a1)x1>0为真，则a>2；命题q：对于xR使得x2+ax+4>0为真，则<0，得4<a<4若p真q假则有a4；p假q真则有4<a2；综上，p、q有且只有一个为真时，a的取值范围是4<a2或a4【考点】命题的否定复合命题及其真假判断命题的真假判断与应用【解析】（1）利用特称命题的否定是全称命题写出否定；利用p为真时，得到a11x，然后求解即可（2）命题p为真，则a>2；命题q为真，则4<a<4利用p、q有且只有一个为真时，求解a的取值范围【解答】p:x(0,1)使得(a1)x10，即a11x，得a11，解得a2命题p：存在x0,1使得(a1)x1>0为真，则a>2；命题q：对于xR使得x2+ax+4>0为真，则<0，得4<a<4若p真q假则有a4；p假q真则有4<a2；综上，p、q有且只有一个为真时，a的取值范围是4<a2或a4【答案】当a=1时，N=x|1<x<5， RN=x|x1或x5，MRN=x|x1或x0；N=x|(x+a)(xa4)<0且NM， a5a+45或a0a+40，解得4a0， 实数a的取值范围为4,0【考点】交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）可求出集合M=x|x5或x0，a=1时得出集合N，然后进行补集和并集的运算即可；（2）可得出N=x|(x+a)(xa4)<0，根据NM即可得出a5a+45或a0a+40，然后解出a的范围即可【解答】当a=1时，N=x|1<x<5， RN=x|x1或x5，MRN=x|x1或x0；N=x|(x+a)(xa4)<0且NM， a5a+45或a0a+40，解得4a0， 实数a的取值范围为4,0【答案】x+y=1，所以y=1x，x(0,1)，x2+3y2+2x=4(x12)2+2，当xy12时，x2+3y2+2x取得最小值2，无最大值1x+4y(1x+4y)(x+y)=1+4+yx+4xy5+2yx4xy=9当且仅当x=13，y=23时，取得最小值1x+4y的取值范围9,+)对于任意的x，yR+都有1x+4y9，且当x+0时，1x+4y+，当m0时，有m2+(1x+4y)m+|a2|m2+9m+|a2|12，对于存在实数a12，4不等式成立，有m2+9m+2m2+9m+|a2|12，即m2+9m+212，解得m9或m1，所以m1当m<0时，(1x+4y)m，所以m2+(1x+4y)m+|a2|，对于任意的x，yR+，原不等式不可能恒成立，综上，所求所以实数m的范围是1,+)【考点】基本不等式及其应用不等式恒成立的问题【解析】（1）x+y=1，推出y=1x，x(0,1)，代入x2+3y2+2x，利用二次函数的性质求解最值（2）利用基本不等式求解最小值（3）推出当x+0时，1x+4y+，通过当m0时，推出m2+9m+212，求解范围当m<0时，说明对于任意的x，yR+，原不等式不可能恒成立，得到以实数m的范围【解答】x+y=1，所以y=1x，x(0,1)，x2+3y2+2x=4(x12)2+2，当xy12时，x2+3y2+2x取得最小值2，无最大值1x+4y(1x+4y)(x+y)=1+4+yx+4xy5+2yx4xy=9当且仅当x=13，y=23时，取得最小值1x+4y的取值范围9,+)对于任意的x，yR+都有1x+4y9，且当x+0时，1x+4y+，当m0时，有m2+(1x+4y)m+|a2|m2+9m+|a2|12，对于存在实数a12，4不等式成立，有m2+9m+2m2+9m+|a2|12，即m2+9m+212，解得m9或m1，所以m1当m<0时，(1x+4y)m，所以m2+(1x+4y)m+|a2|，对于任意的x，yR+，原不等式不可能恒成立，综上，所求所以实数m的范围是1,+)【答案】函数f(x)为奇函数，证明如下：f(x)的定义域是R，关于原点对称，又f(x)=2x+12x1=12x+112x1=1+2x12x=f(x)，故f(x)在R上是奇函数；设任意x1，x2(0,+)，且x1<x2，则f(x1)f(x2)=2x1+12x112x2+12x21=2(2x22x1)(2x11)(2x21)， 0<x1<x2， 2x22x1>0，(2x11)(2x21)>0，故f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(0,+)递减；f(x)2x+12x11+22x1由函数f(x)为奇函数，且f(x2)+f(2x)>0，得f(x2)>f(2x)=f(2x)，又由（2）知，当x>0时，f(x)>1；当x<0时，f(x)<1，所以当x>0时，x2>0，2x<0，有f(x2)>1，f(2x)<1，故原不等式成立；当x<0时，x2，2x(0,+)，f(x)在(0,+)内单调递减，由f(x2)+f(2x)>0，得f(x2)>f(2x)=f(2x)，有x2<2x，解得2<x<0，综上，原不等式的解集为x|2<x<0或x>0【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据函数的奇偶性的定义证明即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性得到关于x的不等式，解出即可【解答】函数f(x)为奇函数，证明如下：f(x)的定义域是R，关于原点对称，又f(x)=2x+12x1=12x+112x1=1+2x12x=f(x)，故f(x)在R上是奇函数；设任意x1，x2(0,+)，且x1<x2，则f(x1)f(x2)=2x1+12x112x2+12x21=2(2x22x1)(2x11)(2x21)， 0<x1<x2， 2x22x1>0，(2x11)(2x21)>0，故f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)在(0,+)递减；f(x)2x+12x11+22x1由函数f(x)为奇函数，且f(x2)+f(2x)>0，得f(x2)>f(2x)=f(2x)，又由（2）知，当x>0时，f(x)>1；当x<0时，f(x)<1，所以当x>0时，x2>0，2x<0，有f(x2)>1，f(2x)<1，故原不等式成立；当x<0时，x2，2x(0,+)，f(x)在(0,+)内单调递减，由f(x2)+f(2x)>0，得f(x2)>f(2x)=f(2x)，有x2<2x，解得2<x<0，综上，原不等式的解集为x|2<x<0或x>0【答案】函数y=f(x)=x3的定义域为R，由题意令x3=x，x=0，x=1， 函数f(x)=x3的所有“和谐区间”为1,0，0,1，1,1；若0,m(m>0)为函数f(x)=|32x2|的一个“和谐区间”，令|32x2|=x，解得x=45，x=4，当m=4即x0,4时，f(x)=|32x2|0,4，满足题意；当m=45即x0,45时，f(x)=|32x2|45,2，不满足题意；由题意知x=4时满足题意， m的值为4；令函数f(x)=x22x+m=x，则x23x+m=0有解，故=94m0，解得：m94，故m的取值范围是(,94【考点】函数的值域及其求法【解析】（1）由题意令x3=x求得x的值，从而写出函数f(x)的所有“和谐区间”；（2）令|32x2|=x求得x的值，再验证求得m的值，确定m的值即可；（3）令x22+m=x，结合二次函数的性质求出m的范围即可【解答】函数y=f(x)=x3的定义域为R，由题意令x3=x，x=0，x=1， 函数f(x)=x3的所有“和谐区间”为1,0，0,1，1,1；若0,m(m>0)为函数f(x)=|32x2|的一个“和谐区间”，令|32x2|=x，解得x=45，x=4，当m=4即x0,4时，f(x)=|32x2|0,4，满足题意；当m=45即x0,45时，f(x)=|32x2|45,2，不满足题意；由题意知x=4时满足题意， m的值为4；令函数f(x)=x22x+m=x，则x23x+m=0有解，故=94m0，解得：m94，故m的取值范围是(,94第17页 共18页 第18页 共18页