上海市某校2020-2021学年高一上学期期末数学试题.docx

上海市某校2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1. 已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为_. 2. 已知集合，则_.（结果用区间表示） 3. 已知函数，则它的反函数_. 4. 已知函数，满足，且当时，则_. 5. 已知是奇函数，满足，且在区间内是严格增函数，则不等式的解集是_.（结果用区间表示） 6. 已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是_. 7. 函数，的最小值是_. 8. 设方程的解为，的解为，则_. 二、解答题 若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是_. 三、填空题 对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、，则的取值范围为_. 四、单选题 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是() A.与B.与C.与D.与 函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A.(2,1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,2) 已知，则“”是“”的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 设函数若，则关于的方程的解的个数为() A.1B.2C.3D.4五、解答题 已知实数，判断函数的奇偶性，并说明理由. 已知命题：幂函数的图象过原点；命题：函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题，求实数的取值范围. 已知函数. （1）判断函数的单调性，并证明； （2）用函数观点解不等式：. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求 （1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点. （1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； （3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.参考答案与试题解析上海市某校2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1.【答案】加加)1,3,4)【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由图象可得函数值，得值域【解答】由图象可知函数值有1，3,4，即值域为1,3,4故答案为：1,3,42.【答案】I加)(1,4)【考点】分式不等式的解法【解析】先求出集合A,B，再根据交集的定义即可求出【解答】 A=x|x1|<3=x|2<x<4B=x|x1x5<0=x|1<x<5AB=x|1<x4=1,4故答案为:1,43.【答案】加加3x+1【考点】反函数函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】由y=x31求得后交换xy的位置可得反函数，同时注意求原函数的值域，即反函数的定义域【解答】由y=x31知yRx3=y+1，所以x=3y+1所以f1x=3x+1xR故答案为：3x+14.【答案】2【考点】函数的概念及其构成要素伪代码判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数的周期性直接求解【解答】由函数y=fx，满足fx=fx+2即fx=fx2得f92=f52=f12=412=2故答案为：2.5.【答案】加加1,00,1【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】由奇函数性质得f1=0，在,0上函数也是递增的，从而可求得不等式的解【解答】由题意f1=0，且fx在,0上函数是递增的，fxx<0fx<0x>0或fx>0x<0，所以0<x<1或1<x<0故答案为：1,00,16.【答案】5【考点】函数的对称性【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可【解答】由已知y=|xn|+2是定义在4m,m25)上的偶函数，故4m+m25=0，即m=1，或m=5，且函数图象关于！轴对称，又4m<m25，故m=5因为y=|xn|+2关于直线x=n对称，故n=0m+n=5故答案为：57.【答案】2【考点】与二次函数相关的复合函数问题【解析】令t=log3x，可得y=t1+t=t+12214，即可求出最小值【解答】 y=log3xlog33x=log3x1+log3x令t=log3xx3,9，t1,2则y=t1+t=t+12214当t=1时，y加加=2故答案为：2.8.【答案】【答2.【考点】进位制三角函数值的符号集合的确定性、互异性、无序性【解析】由反函数对称性质即可求解【解答】由x+log2x=2的解为x1，得log2x1=x1+2同理x+24=2的解为x2，得2x=x2+2又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，图象关于直线y=x对称，且y=x+2与y=x互相垂直，且交点为1,1则函数y=log2x与函数y=x+2的交点Ax1,y1，函数y=2x与函数y=x+2的交点Bx2,y2，关于直线y=x对称，即Ax1,y1与Bx2,y2关于点1,1对称，即x1+x2=2故答案为：2二、解答题【答案】(3,4【考点】根的存在性及根的个数判断区间与无穷的概念函数的零点与方程根的关系【解析】方程x2x24x+m=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是2，即三角形的一边是2，另两边是方程x24x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边则方程x24x+m=0的两个根设是xx和x3，一定是两个正数，且一定有|x1x3|<2<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定”的范围【解答】解：方程x2x24x+m=0有三根，x1=2x24x+m=0有根，方程x24x+m=0的=164m>0，得m4又：原方程有三根，且为三角形的三边和长有x2+x3>x1=2|x2x3|<x1=2，而x2+x3=4>2已成立；当|x2x3|<2时，两边平方得：x2+x324x2x3<4即：164m<4解得m>33m4故答案为：(3,4三、填空题【答案】【3加加534,1【考点】根的存在性及根的个数判断函数的零点与方程根的关系一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】化简得出函数y=fx的解析式，不妨设x1<x2<x3，作出函数y=fx的图象，可知当0<m<14时，直线y=m与函数y=fx的图象有三个交点，由对称性可求得x2+x3的值，由fx1=0,14可解得x1的取值范围，进而可求得x1+x2+x3的取值范围【解答】当2x1x1时，即当x0时，fx=2x122x1x1=2x2x当2x1>x1时，即当x>0时，fx=x122x1x1=xx2fx=2x2x,x0xx2,，作出函数y=fx的图象如下图所示：设x1<x2<x3，可知点x2,m与点x3,m关于直线x=12对称，则x1+x3=1当x>0时，fx=xx2=x122+1414由图象可知，当0m<14时，直线y=m与函数y=fx的图象有三个交点，由fx1=2x12x10,14，可得0<2x12x114x1<0，解得134<x1<0，所以，534<x1+x2+x3<1因此，x1+x2+x3的取值范围为534,1故答案为：534,1四、单选题【答案】D【考点】对数函数的图象与性质判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则，两者均相同的为同一函数【解答】A两函数定义域都是R，但对应法则不相同，一个是y=x，一个是y=|x|，不是同一函数；B前一函数定义域是1,+),后一函数定义域是,11,+，不是同一函数；C前一函数定义域是R，后一函数定义域是0,+，不是同一函数；D两函数定义域相同，后一函数，计算x=1时，y=1x=2时，y=1，对应法则相同，值域也相同，是同一函数故选：D【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】试题分析：因为函数fx=223x在其定义域内是递增的，那么根据f1=123=52<0,f0=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为1,0，选B【解答】此题暂无解答【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件运用诱导公式化简求值【解析】分别对充分性和必要性进行判断，对于不能推出的情况举一个反例就可以【解答】4a>43a>b充分性：取a=0,b=1，但是0414，即不能推出a4>b4，所以充分性不满足；必要性：取a=1,b=0，符合a4>b4，但是41<4，即不能推出4a>4”，必要性不满足综上：“4a>4y”是a4>b4”的既非充分又非必要条件故选：D【答案】C【考点】函数的求值求函数的值运用诱导公式化简求值【解析】由题意求得b、c的值，可得函数fx的解析式再分类讨论解方程，从而得到关于的方程fx=x的解的个数【解答】解：由f4=f0得164b+c=c，由f2=2得42b+c=2，由得b=4c=2所以fx=x2+4x+2x0,2x>0,当x0时，由fx=x得方程x2+4x+2=x，解得x1=1x2=2当x>0时，由fx=x得x=2故方程共有3个解故选：C五、解答题【答案】【答a=1时，fx为奇函数；a1时，fx为非奇非偶函数【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论a=1和a1时利用定义判断【解答】由题可得24a0当a=1时，x0，即fx的定义域为x|x0，关于原点对称，fx=2x+12x1=1+2x12x=fxfx为奇函数，当a1时，fx的定义域不关于原点对称，则fx为非奇非偶函数【答案】加加加)0,14,+)【考点】命题的真假判断与应用奇偶性与单调性的综合复合命题及其真假判断【解析】通过两个命题求出的范围，然后通过当？真4假时，当假真时即可求解【解答】若？为真命题，则a1>0，解得a>1若为真命题，则a>0a<2，解得0<a<4因为命题？和命题4只有一个为真命题，所以a0,14,+【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）2,+）【考点】函数单调性的判断与证明奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质【解析】（1）任取对、x20,+x且x1>x2，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数fx在0,+x上的单调性；（2）由已知条件可得出fx>f2，结合（1）中的结论可解原不等式【解答】（1）任取x1,x20,+且x1>x2，即x1>x2>0fx1fx2=x122x13x222x13=x12x22+2x22x1=x1x2x1+x2+2x1x2x1x2=x1x2x1+x2+2x1x2因为x1>x2>0，则x1x2>0,x1+x2+2x1x2>0fx1fx2>0所以函数fx=x22x3在区间0,+上是严格增函数；（2）由（1）可知函数fx=x22x3在区间0,+上是严格增函数，且f2=0因此由fx>0=f2可得x>2因此，不等式fx>0的解集为2,+【答案】（1）y=164x+1x0xa；（2）当a1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为1641+11=13万元；当a<1时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为164a+1a万元【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型概率的应用【解析】（1）根据产品的利润三销售额一产品的成本建立函数关系；（2）利用导数可求出该函数的最值【解答】（1）由题意知，y=4+20ppx10+2p将p=32x+1代入化简得：y=164x+1x0xa（2）y=14x+12=x+12+4x+12=x2+2x3x+12=x+3x1x+12(i)当a1时，当x0,1时，y>0，所以函数y=164x+1x在0,1上单调递增，当x1,a时，y<0，所以函数y=164x+1x在1,a上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；(ii)当a<1时，因为函数y=164x+1x在0,1上单调递增，所以在0,a上单调递增，故当x=a时，函数有最大值，即促销费用投入万元时，厂家的利润最大综上，当a1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为1641+11=13万元；当a<1时，促销费用投入万元，厂家的利润最大，为164a+1a万元【答案】（1）是，理由见解析；（2）1,+；（3）4,2【考点】奇偶性与单调性的综合函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到fx0=0，求出x0，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在0<x0<1，使m2x1=4x3，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到f1=kt2+1，推出t=34k，结合题中条件，即可得出结果【解答】（1）由“平均值函数”的定义，存在01,1，满足f0=0=f1f111因此fx=x4是区间1,1上的“平均值函数”（2）若函数gx=m2x1是区间0,1上的“平均值函数”，则存在x0,1，满足m2x1=g1g010=m即关于的方程m241=m在区间0,1内有解参变分离，将方程转化为m=12x1,x0,1函数y=12x1,x0,1的值域为1,+因此m1,+（3）若函数hx=kx2+x4k1,kN是区间2,1,tNtN)上的“平均值函数”，且1是函数hx的一个均值点，则h1=hth2t2即k3=k+t2+t44k6t+2=kt2+1得到k=43t，其中k1,kN,t,tN满足条件的解为k=4t=2即所有满足条件的有序数对k,t为4,2第13页 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