2020-2021学年重庆市某校高一（上）期中数学试卷.docx

2020-2021学年重庆市某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若命题p:x0R，x02+2x0+30，则命题p的否定p是（ ） A. xR，x2+2x+3>0 B.xR，x2+2x+30 C.xR，x2+2x+3<0 D.xR，x2+2x+30 2. 不等式x2+x2>0的解集为（ ） A.x|2<x<1B.x|1<x<2C.x|x<2或x>1D.x|x<1或x>23. 化简x3x26x(x>0)的结果是（ ） A.xB.x2C.1D.x4. “x2”是“x24x+40”的（ ） A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A.yx3B.y=1xC.y3xD.y|x|6. 若函数f(x)ax(a>0,a1)在1,2上的最大值为9，最小值为n，且函数g(x)=(4n1)x+1在1,+)上是单调减函数，则a（ ） A.3B.19C.9D.137. 设xR，对于使x22xM恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值1称为x22x的下确界，若a>0，b>0，且a+b1，则(1a2)(1b2)a2b2的下确界为（ ） A.9B.8C.7D.68. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与各自的资金投入a1，a2（单位：万元）满足P=80+42a1，Q=14a2+120设甲大棚的资金投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收入为f(x)（单位：万元）则总收入f(x)的最大值为（ ） A.229B.228C.283D.282二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 已知1a<1b<0，则下列结论正确的是（ ） A.a<bB.ab>a+bC.|a|<|b|D.ab>b2 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A.y=(x+5)(x5)x5与yx+5B.y|x|与y=x,x0x,x<0C.yx2与y=(x)4D.yx2或y=x4 若正实数a，b满足a+b1，则下列说法错误的是（ ） A.ab有最小值14B.a+b有最小值2C.1a+1b有最小值4D.a2+b2有最小值22 已知函数f(x)x1，x2,2，g(x)x22x，x1,2，下列结论正确的是（ ） A.x2,2，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<3B.x2,2，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<1C.x1,2，g(x)a，则实数a的取值范围是1a3D.x2,2，t1,2，f(x)g(t)三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 已知集合A2,1,0，集合Bx|2<x1，则AB_ 已知x>1，求x+4x1的最小值是_ 已知函数f(x)x+2x(0)，且f(4)10，则_12 ，若f(m)>f(m+1)，则实数m的取值范围是_12，1 已知函数f(x)=9x9x+3，则f(12020)+f(22020)+f(32020)+f(20192020)的值为_ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 已知全集UR，集合A=x|y=4x2,B=x|x1x+20求： （1）集合A，B； （2）A(UB) 已知命题“关于x的方程x2+mx+2m+50有两个不相等的实数根”是假命题 （1）求实数m的取值集合A； （2）设集合Bx|12axa1，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围 已知函数f(x)4x2mx+1，mR （1）若关于x的不等式f(x)<0解集为空集，求m的取值范围； （2）若函数f(x)在区间2,+)上是单调增函数，求f(1)的最小值 如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB20米，AD30米记三角形花园AMN的面积为S （1）问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值； （2）若S不超过1350平方米，求DN长的取值范围 已知函数f(x)ax(a>0,a1)在定义域内是单调递减函数，且f(2)=52a1 （1）求实数a的值 （2）若关于x的方程f(|x|)m2+4m3有实数解，求实数m的取值范围 已知定理：“若a，b为常数，g(x)满足g(a+x)+g(ax)2b，则函数yg(x)的图象关于点(a,b)中心对称”，设函数f(x)=2x+12aax，定义域为A （1）试证明yf(x)的图象关于点(a,2)成中心对称； （2）当xa2,a1时，求证：f(x)1 （3）对于给定的x1A，设计构造过程：x2f(x1)，x3f(x2)，xn+1f(xn)如果xiA(i2,3,4)，构造过程将继续下去；如果xiA，构造过程将停止若对任意x1A，构造过程可以无限进行下去，求a的值参考答案与试题解析2020-2021学年重庆市某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】A【考点】命题的否定【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以若命题p:x0R，x02+2x0+30，则命题p的否定p是：xR，x2+2x+3>0故选A2.【答案】C【考点】一元二次不等式的应用【解析】不等式可化为(x+2)(x1)>0，求出解集即可【解答】不等式x2+x2>0可化为(x+2)(x1)>0，解得x<2或x>1，所以不等式的解集是x|x<2或x>13.【答案】A【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】根据指数幂的运算性质即可求出【解答】原式=x12+2316=x，4.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】若x24x+40，则(x2)20，即x2，则x2是x24x+40的充要条件，5.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义结合函数的性质进行判断即可【解答】Ayx3是奇函数，且在定义域内是增函数，满足条件；By=1x是奇函数，但在定义域内不单调，不满足条件；Cy3x是非奇非偶函数，不满足条件；Dy|x|是偶函数，不满足条件6.【答案】B【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先对a讨论，分别求出a的值，然后代入函数g(x)的解析式，根据函数g(x)的单调性即可求解【解答】当a>1时，当x2时，f(x)maxf(2)a29，则a3，此时f(x)minf(1)31=13，所以n=13，所以函数g(x)(4131)x+1x+1=x+13，由x+1是单调递增函数可得：函数g(x)在1,+)上单调递增，不符题意，所以a3不成立，当0<a<1时，当x1时f(x)maxa19，则a=19，此时f(x)minf(2)a2=181，所以函数g(x)(41811)x+1=7981x+1，由x+1是单调递增函数，而相反函数是单调递减可得：函数g(x)是单调递减函数，满足题意，7.【答案】A【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先利用基本不等式求出ab的最大值，再对等式a+b1两边同时平方，然后化简所求的关系式，进而可以求解【解答】因为a>0，b>0，且a+b1，所以a+b12ab，即ab14，当且仅当ab时取等号，并且(a+b)21，即a2+b2+2ab1，所以(1a2)(1b2)a2b2=1(a2+b2)+a2b2a2b2=1+2aba2b21+2ab1+214=1+89，当且仅当ab时取等号，此时(1a2)(1b2)a2b2的下确界为9，8.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由已知求出函数的解析式，列出不等式组求得函数定义域，通过换元利用二次函数的单调性求最值【解答】由题意，P80+42x，Q=14(200x)+120，则f(x)P+Q=80+42x+14(200x)+120=250+42x14x，依题意得x40200x40，解得40x160，故f(x)=14x+42x+250(40x160)令t=x210,410，则函数化为g(t)=14t2+42t+250=14(t82)2+282，当t82，即x128时，f(x)max282所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分【答案】B,C【考点】不等式的基本性质【解析】直接利用不等式的性质和作差法的应用判定A、B、C、D的结论【解答】由于1a<1b<0，所以a<0，b<0，所以1a1b=baab<0，整理得b<a<0，故A错误；由于b<a<0，所以ab>a+b，故B正确；由于b<a<0，所以|b|>|a|，故C正确；由于b<a<0，所以abb2b(ab)<0，故D错误【答案】B,D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否则不是同一个函数【解答】A.y=(x+5)(x5)x5的定义域为x|x5，yx+5的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；B.y=|x|=x,x0xx<0的定义域为R，y=x,x0x,x<0的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数；Cyx2的定义域为R，y=(x)4的定义域为x|x0，定义域不同，不是同一个函数；Dyx2的定义域为R，y=x4=x2的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数【答案】A,D【考点】基本不等式及其应用【解析】根据a，b都是正数，以及a+b1即可得出ab14，从而判断选项A错误，根据基本不等式即可判断选项B，D错误，C正确【解答】 a>0，b>0，且a+b1； 1a+b2ab； ab14； ab有最大值14， 选项A错误；a+b2ab，当且仅当a=b时取等号，即ab=12时，2ab=2， a+b的最小值是2， B正确；1a+1b=a+bab=1ab4， 1a+1b有最小值4， C正确；a2+b22ab，2ab12， a2+b2的最小值不是22， D错误【答案】A,B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用函数的恒成立问题的应用判定A的结论，利用存在性问题的应用判定B的结论，利用函数和参数的关系判定C的结论，利用函数的值域间的关系判定D的结论【解答】函数f(x)x1，x2,2，g(x)x22x，x1,2，对于A:x2,2，f(x)>a恒成立，即a<f(x)min213，故A正确；对于B:x2,2，f(x)>a，即a<f(x)max211，故B正确；对于C:g(x)x22x(x1)21，x1,2，所以1g(x)3，由于g(x)a，所以1a3，故C正确；对于D：由于x2,2，t1,2，f(x)g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域为3,1，g(t)的值域为1,3，故D错误三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】1,0【考点】交集及其运算【解析】进行交集的运算即可【解答】 A2,1,0，Bx|2<x1， AB1,0【答案】5【考点】基本不等式及其应用【解析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值【解答】由于x>1，所以x1>0，所以x+4x1=(x1)+4x1+12(x1)4x1+1=5，当且仅当x3时，等号成立【答案】,（【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的零点【解析】根据题意，将x4代入函数解析式可得f(4)4+2410，解可得a的值，即可得函数的解析式，分析函数的定义域以及单调性，则不等式f(m)>f(m+1)等价于m>m+10，解可得m的值，即可得答案【解答】根据题意，函数f(x)x+2x(0)，则f(4)4+2410，即42，解可得=12，故f(x)=x12+2x=x+2x，其定义域为0,+)，在其定义域0,+)上为增函数，若f(m)>f(m+1)，必有m>m+10，解可得12<m1，即实数m的取值范围为(12,1；【答案】20192【考点】求函数的值函数的求值【解析】推导出f(x)+f(1x)1，由此能求出f(12020)+f(22020)+f(32020)+f(20192020)的值【解答】 函数f(x)=9x9x+3， f(x)+f(1x)=9x9x+3+91x91x+3=9x9x+3+99+39x=1， f(12020)+f(22020)+f(32020)+f(20192020)10091+f(12)1009+912912+3=20192四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【答案】根据题意，Ax|y=4x2，为函数y=4x2的定义域，则A2,2，Bx|x1x+20，为不等式x1x+20的解集，而x1x+20(x1)(x+2)0且x1，解可得：x<2或x1，则B(,2)1,+)，B(,2)1,+)，则UB2,1)，则A(UB)2,2【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）根据题意，分析可得集合A为函数y=4x2的定义域，B为不等式x1x+20的解集，据此分析可得答案，（2）根据题意，由（1）的结论求出UB，进而由并集的定义计算可得答案【解答】根据题意，Ax|y=4x2，为函数y=4x2的定义域，则A2,2，Bx|x1x+20，为不等式x1x+20的解集，而x1x+20(x1)(x+2)0且x1，解可得：x<2或x1，则B(,2)1,+)，B(,2)1,+)，则UB2,1)，则A(UB)2,2【答案】若命题“关于x的方程x2+mx+2m+50有两个不相等的实数根”是真命题，所以m24(2m+5)>0，解得m>10或m<2，故Am|2m10因为Am|2m10，xA是xB的充分不必要条件，所以AB即12a2a110，解得a11，所以实数a的取值范围为11,+)【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）先假设命题为真，再根据命题的否定与原命题真假性相反，对应的集合互为补集，即可求出；（2）根据充分条件，必要条件与集合包含关系等价法即可解出【解答】若命题“关于x的方程x2+mx+2m+50有两个不相等的实数根”是真命题，所以m24(2m+5)>0，解得m>10或m<2，故Am|2m10因为Am|2m10，xA是xB的充分不必要条件，所以AB即12a2a110，解得a11，所以实数a的取值范围为11,+)【答案】 f(x)<0解集为空集， 判别式m216m0，解得0m16f(x)4x2mx+1，图象开口向上，对称轴x=m8，因为函数f(x)在区间2,+)上是单调增函数，所以m82，解得m16，f(1)4m是关于m的减函数，所以当m16时，f(1)取最小值为20【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）若关于x的不等式f(x)<0解集为空集，转化为别式m24m0进行求解决即可；（2）由题意可得m82，解得m16，从而可得f(1)4m的最小值【解答】 f(x)<0解集为空集， 判别式m216m0，解得0m16f(x)4x2mx+1，图象开口向上，对称轴x=m8，因为函数f(x)在区间2,+)上是单调增函数，所以m82，解得m16，f(1)4m是关于m的减函数，所以当m16时，f(1)取最小值为20【答案】设DNx米(x>0)，则ANx+30 DC/AB， NDCNAM则DNDC=ANAM，即x20=x+30AM，得AM=20(x+30)x S=12AMAN=10(x+30)2x=10(x+900x+60)10(2x900x+60)1200，当且仅当x30时取等号 S的最小值等于1200平方米；由S=10(x+30)2x1350，得x275x+9000解得15x60DN长的取值范围是15,60【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）设DNx米(x>0)，则ANx+30，由三角形相似求出AM，利用三角形的面积公式表示出面积，再利用基本不等式求最值（2）由S不超过1350平方米建立不等式，从而可求DN长的取值范围【解答】设DNx米(x>0)，则ANx+30 DC/AB， NDCNAM则DNDC=ANAM，即x20=x+30AM，得AM=20(x+30)x S=12AMAN=10(x+30)2x=10(x+900x+60)10(2x900x+60)1200，当且仅当x30时取等号 S的最小值等于1200平方米；由S=10(x+30)2x1350，得x275x+9000解得15x60DN长的取值范围是15,60【答案】由题意，0<a<1，又f(2)=52a1， a2=52a1，即2a25a+20，解得a2（舍）或a=12；关于x的方程f(|x|)m2+4m3有实数解，即(12)|x|=m2+4m3有实数解， (12)|x|(0,1， m2+4m3>0m2+4m31，解得1<m<3 实数m的取值范围是(1,3)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】（1）由已知可得关于a的方程，求解a值，再由函数的单调性得答案；（2）求出(12)|x|的范围，转化为关于m的不等式组求解【解答】由题意，0<a<1，又f(2)=52a1， a2=52a1，即2a25a+20，解得a2（舍）或a=12；关于x的方程f(|x|)m2+4m3有实数解，即(12)|x|=m2+4m3有实数解， (12)|x|(0,1， m2+4m3>0m2+4m31，解得1<m<3 实数m的取值范围是(1,3)【答案】 f(x)=2x+12aax=2(ax)+1ax=2+1ax， f(a+x)+f(ax)2+1x2+1x=4，由已知定理得yf(x)的图象关于点(a,2)成中心对称证明函数f(x)在a2,a1上是增函数，只要证明函数f(x)在(,a)上是增函数，设x1<x2<a，则f(x1)f(x2)=1ax11ax2=x1x2(ax1)(ax2)， x1<x2<a， x1x2<0，ax1>0，ax2>0， f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(,a)上是增函数， 函数f(x)在a2,a1上单调递增， f(a2)f(x)f(a1)，即32f(x)1， f(x)1由题意可知Ax|xa， 构造过程可以无限进行下去， f(x)=2x+12aaxa对任意xA恒成立， 方程2x+12aax=a无解，即方程(a+2)xa2+2a1无解，或有唯一解xa， a+2=0a2+2a10或a+20a2+2a1a+2=a，解得a2， a的值为2【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据题意，即证明f(a+x)+f(ax)2+1x2+1x=4即可（2）先利用定义法证明函数在给定区间上的单调性，再求其值域即可（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以f(x)=2x+12aaxa对任意xA恒成立，将问题转化为方程无解再进行求解【解答】 f(x)=2x+12aax=2(ax)+1ax=2+1ax， f(a+x)+f(ax)2+1x2+1x=4，由已知定理得yf(x)的图象关于点(a,2)成中心对称证明函数f(x)在a2,a1上是增函数，只要证明函数f(x)在(,a)上是增函数，设x1<x2<a，则f(x1)f(x2)=1ax11ax2=x1x2(ax1)(ax2)， x1<x2<a， x1x2<0，ax1>0，ax2>0， f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(,a)上是增函数， 函数f(x)在a2,a1上单调递增， f(a2)f(x)f(a1)，即32f(x)1， f(x)1由题意可知Ax|xa， 构造过程可以无限进行下去， f(x)=2x+12aaxa对任意xA恒成立， 方程2x+12aax=a无解，即方程(a+2)xa2+2a1无解，或有唯一解xa， a+2=0a2+2a10或a+20a2+2a1a+2=a，解得a2， a的值为2第13页 共16页 第14页 共16页