2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）期中考试数学试卷.docx

2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 设集合A=0,1,3，集合B=2,3,4，则AB( ) A.3B.0,1,3,3,4C.0,1,2,4D.0,1,2,3,42. 设aR，则“a>1”是“a2>a”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 函数f(x)=(x+1)0|x|x的定义域为( ) A.(,0)B.(,1)C.(,1)(1,0)D.(,0)(0,+)4. 函数y=4xx2+1的图象大致为( ) A.B.C.D.5. 已知命题p：“x0>0，x0+t1=0”，若p为真命题，则实数t的取值范围是( ) A.1,+B.,1C.1,+)D.(,16. 若不等式4x+1x+2<0和不等式ax2+bx2>0的解集相同，则a，b的值为( ) A.a=8，b=10B.a=4，b=9C.a=1，b=9D.a=1，b=27. 下列命题中，正确的是( ) A.若a>b，c>d，则ac>bdB.若ac>bc，则a>bC.若ac2<bc2，则a<bD.若a>b，c>d，则ac>bd8. 已知函数fx的定义域为R，fx是偶函数，f4=2，fx在,0上是增函数，则不等式f4x1>2的解集为( ) A.34,54B.,3454,+C.,54D.34,+二、多选题 已知函数fx是一次函数，满足ffx=9x+8，则fx的解析式可能为( ) A.fx=3x+2B.fx=3x2C.fx=3x+4D.fx=3x4 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.x=x12B.6y2=y12y<0C.x13=13xx0D.3x234=x12x>0 若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有f(x)+f(x)=0；(2)对于定义域内的任意x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)x1x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”给出下列四个函数是“理想函数”的是( ) A.f(x)=x2B.f(x)=x3C.f(x)=x1xD.f(x)=x2，x0，x2，x<0 若a>0，b>0，则下列结论正确的有( ) A.a2+b2a+b22B.若1a+4b=2，则a+b92C.若ab+b2=2，则a+3b4D.若a>b>0，则a+1b>b+1a三、填空题 集合A=a2,2a2+5a,12，且3A，则a=_ 已知9a=3，lnx=a，则x=_ 已知x1，x2是函数fx=x22k+1x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k的取值范围是_. 已知正实数a，b满足a+b=1，则(1)ab的最大值是_；(2)1a+2+1b+2的最小值是_ 四、解答题 已知A=x|2x4，B=x|m+1x2m1. (1)若m=2，求A(RB)； (2)若AB=，求m的取值范围. 计算： (1)1.513+80.2542+(323)6(23)23； (2)lg12lg58+lg12.5log89log278 已知p：A=x|x25x+60，q：B=x|x2a+a2x+a30,a>1. (1)若a=2，求集合B； (2)如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围 已知函数f(x)=xx2+1 (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2)判断当x(1,1)时函数f(x)的单调性，并用定义证明； (3)若f(x)定义域为(1,1)，解不等式f(2x1)+f(x)<0 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件 (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入16(x2600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价 已知二次函数fx满足fx+1fx=2x+1且f2=15. (1)求函数fx的解析式； (2)令gx=12mxfx.若函数gx在区间0,2上不是单调函数，求实数m的取值范围；求函数gx在区间0,2上的最小值参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】根据并集的定义即可求解.【解答】解：由题意可知，集合A=0,1,3，集合B=2,3,4，则AB=0,1,2,3,4.故选D.2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由不等式解得a的范围，根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出结论.【解答】解：由题意可知，不等式a2>a，解得a>1或a<0，则a>1是a2>a的充分不必要条件.故选A.3.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求得x的取值集合得答案【解答】解：要使原函数有意义，则x+10，|x|x>0，解得x<0且x1， 函数f(x)=(x+1)0|x|x的定义域是(,1)(1,0)故选C.4.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断【解答】解：设f(x)=y=4xx2+1，由题知定义域为实数集R， f(x)=4(x)(x)2+1=4xx2+1=f(x)， 函数f(x)为奇函数，故排除CD；当x>0时，f(x)>0，故排除B.故选A.5.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】根据题目所给信息可得命题p为真命题，进而即可得到t的取值范围.【解答】解：由x0+t1=0，得x0=1t.已知命题p:“x0>0，x0+t1=0”为真命题，即1t>0，解得t<1，则实数t的取值范围为(,1).故选B.6.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法根与系数的关系【解析】先求出分式不等式的解集，进而即可得到另一个不等式的根的情况，利用韦达定理进行求解即可.【解答】解：已知不等式4x+1x+2<0，即(4x+1)(x+2)<0，解得2<x<14.又不等式4x+1x+2<0与不等式ax2+bx2>0的解集相等，则不等式ax2+bx2>0的解集为2<x<14，则方程ax2+bx2=0的两根分别为x1=2，x2=14.由根与系数的关系，得x1x2=2a=12，x1+x2=ba=94，解得a=4，b=9.故选B.7.【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】根据特殊值法判断A，D，根据不等式的性质判断B，C即可【解答】解：令a=1，b=1，c=1，d=5，显然A，D不成立，对于B：若c<0，显然不成立，对于C：由c2>0，得：a<b，故C正确，故选C8.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】根据函数的单调性和奇偶性以及不等式进行求解即可.【解答】解：已知函数f(x)是偶函数，即该函数图象关于y轴对称.又f(x)在(,0)上是增函数，则f(x)在(0,+)是减函数.因为f(4)=2，所以f(4x1)>2，即f(4x1)>f(4)，且xR，则|4x1|<4，解得34<x<54.故选A.二、多选题【答案】A,D【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】利用待定系数法求解，设fx=kx+b，由题意可知ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=9x+8，从而得k2=9kb+b=8，进而求出k和b的值【解答】解：由题意，设fx=kx+b，则ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=9x+8，即k2=9，kb+b=8，解得k=3,b=2 或k=3，b=4,所以fx=3x+2或fx=3x4.故选AD【答案】C,D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】根据题目所给信息利用根式与分式指数幂互化的法则，逐一进行筛选即可.【解答】解：对于选项A，x=x12x12，故选项A错误；对于选项B，6y2=y13(y<0)，故选项B错误；对于选项C，x13=13x(x0)成立，故选项C正确；对于选项D，当x>0时，3(x)234=|x|2334=x12，故选项D正确.故选CD.【答案】B,D【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断函数新定义问题【解析】由“理想函数”的定义可知：若f(x)是“理想函数”，则f(x)为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可【解答】解：对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(x)=0，即f(x)=f(x)，故函数f(x)是奇函数.对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)x1x2<0，即(x1x2)f(x1)f(x2)<0， 当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，即函数f(x)是单调递减函数，故f(x)为定义域上单调递减的奇函数A，f(x)=x2在定义域R上是偶函数，所以不是“理想函数”，故选项A不符合题意；B，f(x)=x3在定义域R上是奇函数，且在R上单调递减，所以是“理想函数”，故选项B符合题意；C，f(x)=x1x在定义域(,0)，(0,+)上分别单调递增，所以不是“理想函数”，故选项C不符合题意；D，f(x)=x2，x0，x2，x<0在定义域R上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”，故选项D符合题意故选BD.【答案】B,C,D【考点】基本不等式在最值问题中的应用不等式性质的应用【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可【解答】解：A，若a>0，b>0，由基本不等式，得a2+b22ab，即2a2+b2a+b2，即2(a2+b2)(a+b)2=a+b，故a2+b2a+b22，当且仅当a=b时取等号，故A选项错误；B，因为a>0，b>0，121a+4b=1，所以a+b=12(a+b)(1a+4b)=12(5+ba+4ab)12(5+2ba4ab)=92，当且仅当1a+4b=2，ba=4ab，即a=32，b=3时取等号，故B选项正确；C，由a>0，b>0，ab+b2=a+bb=2，由基本不等式，得a+3b=a+b+2b22ba+b=4，当且仅当ab+b2=2，a+b=2b，即a=b=1时取等号，故C选项正确；D，若a>b>0，则1b>1a>0，此时a+1b>b+1a成立，故D选项正确.故选BCD三、填空题【答案】32【考点】元素与集合关系的判断【解析】利用3A，求出a的值，推出结果即可【解答】解：集合A=a2,2a2+5a,12，且3A，所以a2=3或2a2+5a=3，解得a=1或a=32.当a=1时，a2=2a2+5a=3，不符合题意，舍去.所以a=32故答案为：32【答案】e【考点】对数的运算性质【解析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值【解答】解：由9a=3，得a=12， lnx=12=lne，解得x=e.故答案为：e.【答案】k|0<k<2【考点】函数的零点【解析】（1）由已知,关于x的方程的两个根一个大于1，一个小于1，可得f(1)<0，由此构造关于k的不等式，解不等式，即可得到k的取值范围【解答】解：x1，x2是函数fx=x22k+1x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，f(1)<0，即1(2k+1)+k2<0，解得0<k<2.故答案为：k|0<k<2.【答案】14,45【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）由基本不等式可求解本题;【解答】解：(1)因为a+b=1，所以由基本不等式，aba+b22=14，当且仅当a=b时等号成立，所以ab的最大值是14；(2)因为a+b=1，所以a+2+b+2=5，所以1a+2+1b+2=15(a+2+b+2)1a+2+1b+2=152+b+2a+2+a+2b+2152+2b+2a+2a+2b+2=45,当且仅当b+2a+2=a+2b+2，即a=b=12时等号成立,所以1a+2+1b+2的最小值为45.故答案为：14；45.四、解答题【答案】解：(1)当m=2时，B=x|1x3，所以RB=x|x<1或x>3.又A=x|2x4，所以A(RB)=x|3<x4.(2)当B=时，2m1<m+1，解得m<23；当B时，则2m1m+1,m+1>4或 2m1m+1,2m1<2,解得23m<32.综上所述，m的取值范围是(,32).【考点】交、并、补集的混合运算集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当m=2时，B=x|1x3，所以RB=x|x<1或x>3.又A=x|2x4，所以A(RB)=x|3<x4.(2)当B=时，2m1<m+1，解得m<23；当B时，则2m1m+1,m+1>4或2m1m+1,2m1<2,解得23m<32.综上所述，m的取值范围是(,32).【答案】解：(1)原式=(23)13+234214+2233(23)13=2+427=2+108=110.(2)原式=lg2lg5+lg8+lg12.523log23log32=(lg2+lg5)+(lg8+lg12.5)23=1+lg(812.5)23=1+lg10023=1+223=13.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算对数的运算性质换底公式的应用【解析】(1)通过根式与分数指数幂的互化及其化简运算求解即可(2)利用导数的运算法则直接求解即可【解答】解：(1)原式=(23)13+234214+2233(23)13=2+427=2+108=110.(2)原式=lg2lg5+lg8+lg12.523log23log32=(lg2+lg5)+(lg8+lg12.5)23=1+lg(812.5)23=1+lg10023=1+223=13.【答案】解：(1)当a=2时，x2a+a2x+a3=x26x+8.由x26x+80，解得2x4，即B=x|2x4，故B=2,4.(2)由题意可知，A=x|x25x+60， A=2,3又B=x|x2a+a2x+a30,a>1， B=a,a2. q是p的必要条件，可得a2，a23，解得3a2.【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】【解答】解：(1)当a=2时，x2a+a2x+a3=x26x+8.由x26x+80，解得2x4，即B=x|2x4，故B=2,4.(2)由题意可知，A=x|x25x+60， A=2,3又B=x|x2a+a2x+a30,a>1， B=a,a2. q是p的必要条件，可得a2，a23，解得3a2.【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数. 证明如下： 函数定义域为R，又f(x)=x(x)2+1=xx2+1=f(x)， f(x)=xx2+1为奇函数.(2)函数f(x)在(1,1)上单调递增. 证明如下：任取x1，x2(1,1)，且x1<x2，则f(x1)f(x2)=x1x12+1x2x22+1=x1(x22+1)x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x2x1)(x1x21)(x12+1)(x22+1). x1，x2(1,1)，且x1<x2， x2x1>0，x1x21<0，x12+1>0，x22+1>0， f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， f(x)在(1,1)上单调递增.(3)由(1)可知，f(x)为奇函数， f(2x1)+f(x)<0等价于f(2x1)<f(x)=f(x)，由(2)可知，f(x)在(1,1)上单调递增， 2x1<x,1<2x1<1,1<x<1,解得0<x<13， 不等式的解集为x|0<x<13.【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明不等式的基本性质函数奇偶性的性质【解析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断；（2）任取x1，x2(1,1)，且x1<x2，通过作差可判断f(x1)与f(x2)的大小，根据单调性的定义即可作出判断；（3）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域；【解答】解：(1)函数f(x)为奇函数. 证明如下： 函数定义域为R，又f(x)=x(x)2+1=xx2+1=f(x)， f(x)=xx2+1为奇函数.(2)函数f(x)在(1,1)上单调递增. 证明如下：任取x1，x2(1,1)，且x1<x2，则f(x1)f(x2)=x1x12+1x2x22+1=x1(x22+1)x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x2x1)(x1x21)(x12+1)(x22+1). x1，x2(1,1)，且x1<x2， x2x1>0，x1x21<0，x12+1>0，x22+1>0， f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， f(x)在(1,1)上单调递增.(3)由(1)可知，f(x)为奇函数， f(2x1)+f(x)<0等价于f(2x1)<f(x)=f(x)，由(2)可知，f(x)在(1,1)上单调递增， 2x1<x,1<2x1<1,1<x<1,解得0<x<13， 不等式的解集为x|0<x<13.【答案】解：(1)设每件定价最多为t元.由题意，得(8t2510.2)t258，整理，得t265t+10000，解得25t40，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)由题意可知，当x>25时，不等式ax258+50+16(x2600)+15x有解，即当x>25时，a150x+16x+15有解由于150x+16x2150xx6=10，当且仅当150x=x6，即x=30时等号成立，所以a10.2，所以，当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元【考点】一元二次不等式的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】(1)设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；(2)由题意，x>25时，不等式ax258+50+16(x2600)+15x有解，等价于x>25时，a150x+16x+15有解，利用基本不等式，我们可以求得结论【解答】解：(1)设每件定价最多为t元.由题意，得(8t2510.2)t258，整理，得t265t+10000，解得25t40，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)由题意可知，当x>25时，不等式ax258+50+16(x2600)+15x有解，即当x>25时，a150x+16x+15有解由于150x+16x2150xx6=10，当且仅当150x=x6，即x=30时等号成立，所以a10.2，所以，当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元【答案】解：(1)由题意，设fx=ax2+bx+ca0.fx+1fx=2x+1，即a(x+1)2+b(x+1)+cax2bxc=2ax+a+b=2x+1，2a=2，a+b=1，解得a=1，b=2.又f2=15，即4a+2b+c=15，解得c=15， fx=x2+2x+15.(2)由(1)可知，fx=x2+2x+15，则g(x)=(12m)xf(x)=x2(2m+1)x15，故对称轴为x=m+12. 函数gx在区间0,2上不是单调函数， 0<m+12<2， m(12,32).由可知，函数gx的对称轴为x=m+12.当m+120时，即m12时，gxmin=g0=15；当0<m+12<2，即12<m<32时，gxmin=gm+12=m2m614；当m+122，即m32时，gxmin=g2=4m13.综上所述，g(x)min=15，m12，m2m614，12<m<32，4m13，m32.【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：(1)由题意，设fx=ax2+bx+ca0.fx+1fx=2x+1，即a(x+1)2+b(x+1)+cax2bxc=2ax+a+b=2x+1，2a=2，a+b=1，解得a=1，b=2.又f2=15，即4a+2b+c=15，解得c=15， fx=x2+2x+15.(2)由(1)可知，fx=x2+2x+15，则g(x)=(12m)xf(x)=x2(2m+1)x15，故对称轴为x=m+12. 函数gx在区间0,2上不是单调函数， 0<m+12<2， m(12,32).由可知，函数gx的对称轴为x=m+12.当m+120时，即m12时，gxmin=g0=15；当0<m+12<2，即12<m<32时，gxmin=gm+12=m2m614；当m+122，即m32时，gxmin=g2=4m13.综上所述，g(x)min=15，m12，m2m614，12<m<32，4m13，m32.第17页 共20页 第18页 共20页