2020-2021学年福建省南平市某校高一（上）期末考试数学试卷.docx

2020-2021学年福建省南平市某校高一（上）期末考试数学试卷一、选择题1. 不等式x25x6<0的解集是( ) A.x|x>6或x<1B.x|1<x<6C.x|x>1或x<6D.x|6<x<12. 已知是第二象限角，sin=35，则tan的值为( ) A.34B.43C.34D.433. 已知向量a，b满足 |a|=1,ab=1，则a(2ab)=( ) A.4B.3C.2D.04. 已知cos=13，则cos+2的值为( ) A.89B.79C.89D.795. 在等差数列an 中， a2+a8=10，a3=7，则数列an的公差为( ) A.1B.2C.1D.26. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=3，A=30，b=33，则c值为( ) A.3B.3或6C.3D.3或67. 已知函数fx=2sin2x+，|2，若函数y=fx的图象关于x=6对称，则值为( ) A.6B.3C.6D.38. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记四边形OA1A2A3，OA2A3A4，OAnAn+1An+2，面积的倒数构成数列an，且此数列的前n项和为Sn，则S15值为( ) A.3B.6C.2151D.2171二、多选题 下列命题为真命题的是( ) A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a<b<0，则a2>ab>b2C.若a>b>0且c<0，则ca2>cb2D.若a>b且1a>1b，则ab<0 设a，b是两个非零向量，则下列描述正确的有( ) A.若|a+b|=|a|b|，则abB.若|a+b|=|a|b|，则存在实数，使得b=aC.若|a+b|=|ab|，则abD.若存在实数，使得b=a，则|a+b|=|a|b| 关于函数fx=2cos2x2+2|sinx2cosx2|2，则( ) A.函数fx的最小值为2B.函数fx的最小正周期为C.函数fx在,上有三个零点D.函数fx在,2单调递增 在ABC中，已知bcosC+ccosB=2b，且1tanA+1tanB=1sinC，则( ) A.a，b，c成等比数列B.sinA:sinB:sinC=2:1:2C.若a=4，则SABC=7D.A ，B，C成等差数列三、填空题 已知向量a=2,1，b=1,m，c=1,2，若a+bc，则m=_. 已知Sn为等比数列an的前n项和，a5=16，a3a4=32，则S8=_. 某港口的水深y（米）随着时间t（小时）呈现周期性变化，经研究可用y=asin6t+bcos6t+c来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则a+b的取值范围为_. 某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为3的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O为圆心，AOB=2，用表示“H”型图形周长C，则C=_，当变化时，“H”型图形面积S最大值为_. 四、解答题 设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|3a2b|=7. (1)求a与b的夹角； (2)求|2a+3b|的大小 已知函数fx=2sinxcosx23cos2x. (1)求函数y=fx的最小正周期； (2)将函数y=fx的图象右移6个单位得到y=gx的图象，求函数y=gx的单调递增区间 已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，S4+S6=31且a1，a3，a9成等比数列 (1)求数列an的通项公式； (2)设数列bn3an是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和Tn. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sin2A+sin2Bsin2C+sinAsinB=0，且中线CD长为2. (1)求C； (2)求ABC面积的最大值 某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶 (1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ (2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价xx16元，并投入334x16万元作为营销策略改革费用据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.45x152万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润 设各项均为正数的等比数列an中，a1+a3=10，a3+a5=40，数列bn的前n项和Sn=n2+7n2. (1)求数列an，bn的通项公式； (2)若c1=1，cn+1=cn+bn3an，求证：cn<3； (3)是否存在整数k，使得1a1b1+1a2b2+.+1anbn>k10对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由参考答案与试题解析2020-2021学年福建省南平市某校高一（上）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】把不等式化为x+1x6<0，求出解集即可【解答】解：不等式x25x6<0可因式分解为x+1x6<0，解得1<x<6，所以不等式的解集是x|1<x<6.故选B.2.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】由为第二象限角，根据sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，即可确定出tan的值【解答】解： 是第二象限角，且sin=35， cos=1sin2=45，则tan=sincos=34故选C.3.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：a(2ab)=2a2ab=212(1)=3，故选B.4.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式以及二倍角公式即可化简求值.【解答】解： cos=13， cos+2=cos2=2cos21=12cos2=12132=79.故选D.5.【答案】A【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】利用等差数列性质即可求出a5，再利用公差的公式求法即可求出结果.【解答】解：由题意，得a2+a8=2a5=10，解得：a5=5.因为a3=7，所以等差数列an的公差为a5a32=572=1.故选A.6.【答案】B【考点】余弦定理【解析】利用余弦定理直接求解.【解答】解：由余弦定理得，cosA=b2+c2a22bc=27+c2963c=32，化简得 c29c+18=0，解得c=3或c=6.故选B.7.【答案】C【考点】正弦函数的对称性【解析】利用三角函数的对称性，列出方程，结合已知条件求解即可【解答】解：函数fx=2sin2x+，|2，若函数y=fx的图象关于x=6对称，可得26+=k+2 ，kZ，|2，所以k=0，所以=6.故选C8.【答案】B【考点】数列的求和【解析】由直角三角形的面积公式和分母有理化，结合数列的裂项相消求和，计算可得结果【解答】解：由题意得：a1=11211+1212=21+2=2(21)，a2=11212+1213=22+3=2(32)，a3=11213+1214=23+4=2(23)，an=1121n+121n+1=2n+n+1=2(n+1n)，则Sn=221+32+n+1n=2(n+11)，所以S15=215+11=6.故选B.二、多选题【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用不等式的基本性质【解析】根据各个选项的条件，结合不等式的基本性质分别判断即可.【解答】解：A，当c=0时，不等式ac2>bc2不成立，故A是假命题；B，若a<b<0，则ab>b2，a2>ab，所以a2>ab>b2，故B是真命题；C，若a>b>0，则a2>b2>0，则|ca2|<|cb2|，又因为c<0，则ca2>cb2，故C是真命题；D，由a>b且1a>1b，可知a>0，b<0，此时ab<0成立，故D为真命题故选BCD.【答案】B,C【考点】向量的模向量的线性运算性质及几何意义平行向量的性质【解析】利用向量的数量积、向量垂直、向量平行的性质，对选项逐个化简判断即可【解答】解：当|a+b|=|a|b|时，a2+2ab+b2=|a|22|a|b|+|b|2，得ab=|a|b|，因为a，b是两个非零向量，所以a，b共线且反向，所以A错误，B正确；当|a+b|=|ab|时，a2+2ab+b2=a22ab+b2，得ab=0，所以ab，所以C正确；由A的判断可知，当<0时成立，而>0时，不成立，所以D错误.故选BC.【答案】A,C【考点】三角函数的周期性及其求法三角函数的最值二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的单调性【解析】利用二倍角公式化简，再分别讨论各选项是否正确即可.【解答】解：f(x)=2cos2x2+2sinx2cosx22=21+cosx2+|sinx|2=|sinx|+cosx1，A， f(x+2)=|sin(x+2)|+cos(x+2)1=|sinx|+cosx1=f(x)，2是函数y=fx的周期，当2kx2k+kZ时，fx=sinx+cosx1=2sinx+41，此时2k+4x+42k+54kZ，22sinx+41，则fx2，当2k+x2k+2(kZ)时，fx=cosxsinx1=2sinx41，此时2k+34x42k+74kZ，1sinx422，则fx2，综上所述，函数y=fx的最小值为2，故A正确；B，由A中分析可知2是该函数周期，且f0=cos01=0，f=cos1=2，f0f，函数y=fx的最小正周期不是，故B错误；C，令fx=|sinx|+cosx1=0，可得|sinx|=1cosx，等式两边平方得sin2x=1cosx2，即1cos2x=1cosx2，即cosx(1cosx)=0，可得cosx=0或cosx=1，当x,时，方程fx=0的解为x1=2，x2=2，x3=0，函数y=fx在,上有三个零点，故C正确；D，当x,2时，fx=cosxsinx1=2sinx41，34x474，函数y=fx在区间x,2上不单调，故D错误故选AC.【答案】B,C【考点】三角形的面积公式等比数列等差数列余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由bcosC+ccosB=2b，利用余弦定理可得整理得a=2b，而由1tanA+1tanB=1sinC整理得sinCsinAsinB=1sinC，由正弦定理可得c2=ab，故可以判断A、D；直接由正弦定理可以判断B；若a=4，则可求得b=2，c=22，cosC=34，所以由同角三角函数关系可求得sinC=74，利用面积公式即可计算判断C；【解答】解：由题意，bcosC+ccosB=2b，则由余弦定理可得b2+a2c22+c2+a2b22=2ab，整理得a=2b，而由1tanA+1tanB=1sinC可得,cosAsinA+cosBsinB=1sinC，整理得sinCsinAsinB=1sinC，即sin2C=sinAsinB，于是由正弦定理可得c2=ab，则由a=2b可求得c=2b，从而a,b,c不成等比数列，故A错误；A，B，C不成等差数列，故D错误；而sinA:sinB:sinC=a:b:c=2:1:2，故B正确；若a=4，则可求得b=2，c=22，cosC=34，所以由同角三角函数关系可求得sinC=74，计算可知SABC=124274=7，故C正确；综上，正确的选项是BC.故选BC.三、填空题【答案】32【考点】平面向量的坐标运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知向量的坐标求出a+b=1,m1的坐标，然后利用垂直的坐标表示，列式求得m的值【解答】解： a=2,1，b=1,m， a+b=1,m1.又c=1,2，由a+bc，得1+2m1=0，解得：m=32.故答案为：32.【答案】85【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n项和【解析】由等比数列的性质求得lg1q4=16,e12q5=32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，a5=16，a3a4=32，即a1q4=16，a12q5=32，q=2，a1=1，则S8=11281(2)=85.故答案为：85.【答案】322,322【考点】两角和与差的正弦公式基本不等式在最值问题中的应用【解析】由已知结合辅助角公式可求a2+b2=94，然后结合基本不等式a+b22a2+b22即可求解【解答】解：由题意可知：y=asin6t+bcos6t+c=a2+b2sin6t+c（为辅助角），由题意可得2a2+b2=3，故a2+b2=94.由a+b22a2+b22=98，解得322a+b322.故答案为：322,322.【答案】28sin+6cos,81316【考点】已知三角函数模型的应用问题三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用【解析】首先过O作OMAB，垂足为M，OM交CD于N，设 EFGH 为横向矩形，根据已知条件得到，AB=6sin，AD=3cos2sin，从而得到周长因为S=2SABCD+SEFGH=2SABCD+23SABCD，从而得到S=83sin+16，再利用三角函数的性质求最大值即可【解答】解：过O作OMAB，垂足为M，OM交CD于N，则M，N分别为AB，CD中点，设EFGH为横向矩形，如图所示：因为AB=2AM=6sin，AB=32EF，所以EF=23AB=4sin，所以AD=MN=OMON=OM12EF=3cos2sin，“H”型图形周长为：C=46sin+23cos2sin+24sin=28sin+6cos；“H”型图形面积为：S=2SABCD+SEFGH=2SABCD+23SABCD=83SABCD=836sin3cos2sin=48sincos32sin2=24sin2321cos22=24sin2+16cos216=813sin(2+)16，其中tan=23，当sin2+=1时，S取得最大值为81316.故答案为：28sin+6cos；81316.四、解答题【答案】解：(1)|a|=|b|=1，|3a2b|=7，(3a2b)2=9a2+4b212|a|b|cos<a,b>=9+412cos<a,b>=7，cos<a,b>=12.又<a,b>0,，a与b的夹角为3.(2)cos<a,b>=12，|a|2=|b|2=1，(2a+3b)2=4a2+9b2+12ab=4+9+6=19，|2a+3b|=19.【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)|a|=|b|=1，|3a2b|=7，(3a2b)2=9a2+4b212|a|b|cos<a,b>=9+412cos<a,b>=7，cos<a,b>=12.又<a,b>0,，a与b的夹角为3.(2)cos<a,b>=12，|a|2=|b|2=1，(2a+3b)2=4a2+9b2+12ab=4+9+6=19，|2a+3b|=19.【答案】解：(1) fx=2sinxcosx23cos2x=sin2x3cos2x+1=sin2x3cos2x3=2sin2x33， 函数y=fx的最小正周期为T=22=.(2)将函数y=fx的图象右移6个单位，得到函数gx=2sin2x633=2sin2x233的图象，由2+2k2x232+2kkZ，解得：12+kx712+kkZ.因此，函数y=gx的单调递增区间为12+k,712+kkZ.【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式函数y=Asin（x+）的图象变换正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1) fx=2sinxcosx23cos2x=sin2x3cos2x+1=sin2x3cos2x3=2sin2x33， 函数y=fx的最小正周期为T=22=.(2)将函数y=fx的图象右移6个单位，得到函数gx=2sin2x633=2sin2x233的图象，由2+2k2x232+2kkZ，解得：12+kx712+kkZ.因此，函数y=gx的单调递增区间为12+k,712+kkZ.【答案】解：(1)根据题意得：S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d=31，由a1，a3，a9成等比数列可得a1a9=a32， a1(a1+8d)=(a1+2d)2， 4a1d=4d2. d0， a1=d=1， an=1+(n1)=n，nN*.(2)由题意可得bn3an=3n1，即bn=3n1+3an， bn=3n1+3n， Tn=b1+b2+.+bn=(30+31+.+3n1)+3(1+2+.n)=13n13+3n(n+1)2=3n+3n2+3n12【考点】等差数列的通项公式数列的求和【解析】()由等差数列的通项公式、求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；()由等比数列的通项公式可得bn3an，进而得到bn，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：(1)根据题意得：S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d=31，由a1，a3，a9成等比数列可得a1a9=a32， a1(a1+8d)=(a1+2d)2， 4a1d=4d2. d0， a1=d=1， an=1+(n1)=n，nN*.(2)由题意可得bn3an=3n1，即bn=3n1+3an， bn=3n1+3n， Tn=b1+b2+.+bn=(30+31+.+3n1)+3(1+2+.n)=13n13+3n(n+1)2=3n+3n2+3n12【答案】解：(1)sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB， 由正弦定理得a2+b2c2=ab， 由余弦定理得cosC=a2+b2c22ab=12，解得C=23(2)如图，在ACD中，b2=4+c242c22cosCDA，在BCD中，a2=4+c242c22cosCDB，相加得：a2+b2=8+c22，即c2=2a2+2b216，代入a2+b2c2=ab，得：a2+b2=16+ab2ab，即ab16，当且仅当a=b时等号成立， SABC=12absinC121632=43，ABC面积的最大值为43【考点】正弦定理余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】无无【解答】解：(1)sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB， 由正弦定理得a2+b2c2=ab， 由余弦定理得cosC=a2+b2c22ab=12，解得C=23(2)如图，在ACD中，b2=4+c242c22cosCDA，在BCD中，a2=4+c242c22cosCDB，相加得：a2+b2=8+c22，即c2=2a2+2b216，代入a2+b2c2=ab，得：a2+b2=16+ab2ab，即ab16，当且仅当a=b时等号成立， SABC=12absinC121632=43，ABC面积的最大值为43【答案】解：(1)设每瓶定价为t元，由题意，得8t150.2t1058，整理得t265t+7500，解得15t50因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元(2)设每瓶定价为x（x16）元，月总利润为fx，则fx=x108x150.45x152334x16=x1080.45x15334x+132=14x0.45xx15+4.5x15+52=14x15+150.45x15+15x15+4.5x15+52=14x15+2.25x15+47.8214x152.25x15+47.8=46.3，当且仅当14x15=2.25x15取得最大值，即x152=9， x15=3或x15=3（舍去）， x=18.因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元【考点】根据实际问题选择函数类型基本不等式在最值问题中的应用【解析】无无【解答】解：(1)设每瓶定价为t元，由题意，得8t150.2t1058，整理得t265t+7500，解得15t50因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为50元(2)设每瓶定价为x（x16）元，月总利润为fx，则fx=x108x150.45x152334x16=x1080.45x15334x+132=14x0.45xx15+4.5x15+52=14x15+150.45x15+15x15+4.5x15+52=14x15+2.25x15+47.8214x152.25x15+47.8=46.3，当且仅当14x15=2.25x15取得最大值，即x152=9， x15=3或x15=3（舍去）， x=18.因此当每瓶售价18元时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3万元【答案】(1)解：设数列an的公比为qq>0，由题意有a1+a1q2=10，a1q2+a1q4=40， a1=q=2， an=2n， 当n2时，n2+7n2(n1)2+7(n1)2=n+3；当n=1时，b1=S1=1+72=4符合上式， bn=n+3.(2)证明：c1=1，cn+1=cn+bn3an=cn+n2n，则cn=c1+(c2c1)+(c3c2)+.+(cncn1)=1+12+222+.+n12n1，即有12cn=12+14+223+.+n12n，两式相减可得12cn=1+(122+123+.+12n1)n12n=1+14(112n2)112n12n=32n+12n，即有cn=3n+12n1<3.(3)解：假设存在整数k，使得1a1b1+1a2b2+.+1anbn>k10对任意正整数n均成立令f(n)=1a1b1+1a2b2+.+1anbn，fn+1fn=1an+1bn+1=12n+1n4， 当n=1时，f(2)<f(1)；当n2时，fn+1>fn， fn+1>fn>>f(3)>f(2)<f(1)， f(n)min=f(2)=32， 由不等式恒成立得：k10<32， k<15.故存在整数k，使不等式恒成立，k的最大值为16【考点】等比数列的通项公式等差数列的通项公式数列与不等式的综合数列的求和【解析】（1）设出等比数列的公比q，运用等比数列的通项公式，解得首项和公比，再由对数的运算性质可得通项公式；（2）运用累加法求得cn，再由错位相减法求和，即可得证；（3）假设存在正整数k，令Sn=1bn+1+1bn+2+.1bn+n=1n+1+1n+2+.+12n，判断单调性，进而得到最小值，解不等式可得k的范围【解答】(1)解：设数列an的公比为qq>0，由题意有a1+a1q2=10，a1q2+a1q4=40， a1=q=2， an=2n， 当n2时，n2+7n2(n1)2+7(n1)2=n+3；当n=1时，b1=S1=1+72=4符合上式， bn=n+3.(2)证明：c1=1，cn+1=cn+bn3an=cn+n2n，则cn=c1+(c2c1)+(c3c2)+.+(cncn1)=1+12+222+.+n12n1，即有12cn=12+14+223+.+n12n，两式相减可得12cn=1+(122+123+.+12n1)n12n=1+14(112n2)112n12n=32n+12n，即有cn=3n+12n1<3.(3)解：假设存在整数k，使得1a1b1+1a2b2+.+1anbn>k10对任意正整数n均成立令f(n)=1a1b1+1a2b2+.+1anbn，fn+1fn=1an+1bn+1=12n+1n4， 当n=1时，f(2)<f(1)；当n2时，fn+1>fn， fn+1>fn>>f(3)>f(2)<f(1)， f(n)min=f(2)=32， 由不等式恒成立得：k10<32， k<15.故存在整数k，使不等式恒成立，k的最大值为16第21页 共22页 第22页 共22页