2020-2021学年湖北省武汉市某校高一（上）12月周考数学试卷.docx

2020-2021学年湖北省武汉市某校高一（上）12月周考数学试卷一、选择题1. 已知A=3,0,1，B=4,3,1，则AB的真子集的个数为（） A.3B.7C.15D.312. 已知函数fx的定义域为1,2，函数f2x1的定义域为（） A.1,1B.1,12C.1,32D.12,13. 已知命题p:x>0，总有(x+1)ex>1，则命题p的否定为( ) A.x00，使得(x0+1)ex01B.x0>0，使得(x0+1)ex01C.x>0，总有(x+1)ex1D.x0，总有(x+1)ex14. 若正实数a，b满足a+b=1，则1a+2b的最小值为（） A.42B.6C.22D.3+225. 函数fx=4xx2的单调增区间是（） A.(,2B.2,+)C.0,2D.2,46. 已知函数fx=2x2kx8在2,1上具有单调性，则实数k的取值范围是（） A.k8B.k4C.k8或k4D.8k47. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,+上单调递减，f2=0，则不等式xfx>0的解集是（） A.,20,2B.,22,+C.2,00,2D.2,02,+8. 已知函数fx=x2+2x+1，x0,2函数gx=ax1，x1,1，对于任意x10,2，总存在x21,1，使得gx2=fx1成立，则实数a的取值范围是（） A.(,3B.3,+）C.,33,+D.,33,+二、多选题 已知集合A=x|x2+x2=0，B=x|ax=1，若AB=B，则a=( ) A.12B.1C.0D.2 下列结论中正确的是（） A.“ab>0”是“ab>0”的充要条件B.函数y=x2+2+1x2+2的最小值为2C.命题“x>1,x2x>0”的否定是“x01,x02x00”D.若函数y=x2ax+1有负值，则实数a的取值范围是a>2或a<2 定义域为R的函数fx满足fx+y=fx+fy，且当x>0时， fx>0以下结论正确的是（） A.fx为奇函数B.fx为偶函数C.fx为增函数D.fx为减函数 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的”高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数，例如：3.5=4，2.4=2. 已知函数fx=ex1+ex12，则关于函数g(x)=f(x)的叙述中正确的是() A.gx是偶函数B.fx是奇函数C.fx在R上是增函数D.gx的值域是1,0,1三、填空题 已知函数fx=ax2a>0,a1经过定点A，A的坐标是_. 已知函数f(x)=(m2m1)xm22m3是幂函数，f(x)在(0,+)上为减函数，则m=_ 函数f(x)=(a1)x+52，x1，2a+1x，x>1在定义域R上满足对任意实数x1x2都有f(x1)f(x2)x1x2<0，则a的取值范围是_ 定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0，f(x)+f(1x)=1，f(x5)=12f(x)，且当0x1<x21时，f(x1)f(x2)，则f(12020)等于_. 四、解答题 计算： (1)0823+0.008114+23262. (2)0.06413780+2343+160.75. 已知集合A=x|m1x2m+3，B=x|x2+2x+8>0. (1)当m=2时，求AB，RAB； (2)若AB=A，求实数m的取值范围 已知定义在0,+上的函数fx对任意正数x，y都有fxy=fx+fy，当x>1时， fx>0，且f20212=1. (1)求f1的值； (2)证明：用定义证明函数fx在0,+上是增函数； (3)解关于x的不等式fx22020x<12. 已知函数fx=x2+a+1xaR. (1)若对于任意x1,2，恒有fx2x2成立，求实数a的取值范围; (2)若a2，求函数fx在区间0,2上的最大值ga. 华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用甲工程队给出的报价为：荣誉墙前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元设荣誉室的左右两面墙的长度均为x米 3x6. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800a1+xx元a>0，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a的取值范围 若函数y=fx自变量的取值区间为a,b时，函数值的取值范围恰为2b,2a，就称区间a,b为y=fx的一个“和谐区间”已知函数gx是定义在R上的奇函数，当x0,+时， gx=x+3. (1)求gx的解析式; (2)求gx在0,+内的“和谐区间”； (3)若以函数gx在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数y=hx的图像，是否存在实数m，使集合x,y|y=hxx,y|y=x2+m恰有两个元素若存在，求出实数m的取值集合，若不存在说明理由参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省武汉市某校高一（上）12月周考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】并集及其运算子集与真子集的个数问题【解析】先求出并集，即可确定元素个数，即可得到真子集个数.【解答】解： AB=4,3,0,1，有4个元素， AB的真子集有241=15个.故选C.2.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数fx的定义域，得到函数f(2x1)中，1<2x1<2，解出即可.【解答】解：因为函数f(x)的定义域是1,2，所以在函数f(2x1)中，1<2x1<2，解得1<x<32，所以函数f(2x1)的定义域是1,32.故选C.3.【答案】B【考点】命题的否定【解析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，命题p的否定为：x0>0，使得(x0+1)ex01.故选B.4.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解： 正实数a，b满足a+b=1， 1a+2b=1a+2b(a+b)=3+ba+2ab3+2ba2ab=3+22，当且仅当ba=2ab，即a=21，b=22时取等号 1a+2b的最小值为3+22故选D5.【答案】C【考点】复合函数的单调性【解析】确定函数的定义域，再确定函数的单调性，即可求得结论【解答】解：由4xx20，解得0x4. t=4xx2=(x2)2+4的单调增区间为0,2，y=t在定义域上为增函数， 函数f(x)=4xx2的单调增区间为0,2.故选C6.【答案】C【考点】二次函数的性质【解析】根据函数f(x)的对称轴及在2,1上具有单调性，构造不等式，由此求得实数k的取值范围【解答】解： 函数f(x)=2x2kx8的对称轴为x=k4，且f(x)在2,1上具有单调性， k42或k41，解得k8或k4故选C.7.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】本题主要通过题目所给条件结合函数性质判断出x与fx什么时候取同号，从而得出解集即可.【解答】解： 函数f(x)为偶函数且在0,+上为减函数，满足f(2)=0， f2=f2=0，函数f(x)在(,0)上为增函数. xf(x)>0， x>0，f(x)>f(2)或x<0，f(x)<f(2)，根据f(x)在(,0)上为增函数，在(0,+)上为减函数，解得：x,20,2，即xfx>0的解集为,20,2.故选A.8.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值函数恒成立问题函数的值域及其求法【解析】利用值域的包含关系，分类讨论，即可得出答案.【解答】解：因为fx=x2+2x+1=x12+2，则x0,2时，fx1,2，即fx在0,2的值域A=1,2，对于任意x10,2，总存在x21,1，使得gx2=fx1成立，相当于fx在0,2的值域A是gx在1,1上的值域B的子集，即AB，若a=0，gx=1，此时B=1，不满足条件；若a>0，gx=ax1在1,1上为增函数，则gxa1,a1，即B1=a1,a1，则AB11,2a1,a1a11，a12，a3；若a<0，gx=ax1在1,1上为减函数，则gxa1,a1，即B2=a1,a1，则AB21,2a1,a1a11，a12，a3，综上所述得a(,33,+).故选C二、多选题【答案】A,B,C【考点】交集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】求出A中方程的解确定出A，根据A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的值即可【解答】解：由A中方程变形得：(x1)(x+2)=0，解得：x=1或x=2， A=2,1. B=x|ax=1，且AB=B， 当B=，即a=0时，满足题意；当B，即a0时，B中方程解得：x=1a，可得1a=1或1a=2，解得：a=1或a=12，综上，a=12或1或0故选ABC【答案】A,D【考点】命题的真假判断与应用必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A，由ab>0，能得到ab>0，反之也成立，故A正确.对于B，设t=x2+22，y=t+1t在t2上单调递增，所以函数的最小值为ymin=2+12=322，故B错误.对于C，命题"x>1,x2x>0"的否定是“x0>1,x02x00”，故C错误.对于D，函数y=x2ax+1有负值，则=a24>0，解得a>2或a<2，故D正确.故选AD.【答案】A,C【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明抽象函数及其应用【解析】直接由奇偶性与单调性的定义判断即可.【解答】解：令x=y=0， f0=0.令x=y，由fx+y=fx+fy， fxx=fx+fx=0， fx=fx.又 fx的定义域为R，关于原点对称， fx是奇函数，故A正确，B错误；在R上任取x1，x2，且x1>x2，则fx1fx2=fx1+fx2=fx1x2， x1x2>0， fx1x2>0， fx1fx2>0,即 fx1>fx2， 函数fx在R上为增函数，故C正确，D错误.故选AC.【答案】B,C【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为g(1)=f(1)=e1+e12=0，g(1)=f(1)=11+e12=1，所以g(1)g(1)，g(1)g(1)，所以函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；fx=ex1+ex12=1+ex11+ex12=121ex+1，定义域R，且f(x)=ex1+ex12=11+ex12=f(x)，故f(x)为奇函数，故B正确；设x1<x2，f(x1)f(x2)=ex11+ex1ex21+ex2=ex1ex2(1+ex1)(1+ex2)<0，所以f(x)在R上是增函数，故C正确；因为函数fx=ex1+ex12=1211+ex，由ex>0，则1+ex>1，则有12<f(x)<12，则g(x)=f(x)=1,0，故D错误.故选BC.三、填空题【答案】(2,1)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】根据指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1)，得出函数f(x)=ax2的图象恒过定点(2,1)【解答】解：由题意得，令x2=0，解得x=2，此时f(2)=1，即函数f(x)的图象恒过定点(2,1).故答案为：(2,1)【答案】2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案【解答】解： f(x)=(m2m1)xm22m3为幂函数， m2m1=1， m=2或m=1当m=2时，f(x)=x3在(0,+)上是减函数，符合题意；当m=1时，f(x)=x0=1不符合题意综上可知m=2故答案为：2【答案】(12,12【考点】分段函数的应用函数单调性的性质【解析】由已知可得函数f(x)=(a1)x+52，x12a+1x，x>1，在定义域R上为减函数，则a1<02a+1>0a1+522a+1，解得a的取值范围【解答】解：若在定义域R上满足对任意实数x1x2都有f(x1)f(x2)x1x2<0，则函数f(x)=(a1)x+52，x1，2a+1x，x>1，在定义域R上为减函数，则a1<0，2a+1>0，a1+522a+1，解得：a(12,12，故答案为：(12,12.【答案】132【考点】抽象函数及其应用函数的求值【解析】依题意，可求得f(1)=1，f(12)=12，再分别利用f(x5)=12f(x)，即可求得答案【解答】解： f(0)=0，f(x)+f(1x)=1， f(1)=1，由f(12)+f(112)=1， f(12)=12， f(x5)=12f(x)，令x=1可得f(15)=12f(1)=12， f(125)=12f(15)=(12)2，f(1125)=12f(125)=(12)3，f(1625)=(12)4=116,f(13125)=(12)5=132.令x=12可得f110=12f12=14，f150=12f110=18，f1250=12f150=116，f11250=12f1250=132， f11250=f13125=132，又 0x1<x21时，f(x1)f(x2)，且0<13125<12020<11250<1， f12020f13125=132，f12020f11250=132， f(12020)=132故答案为：132.四、解答题【答案】解：(1)原式=1813+310414+212+13+16=12+0.3+2=1.3.(2)原式=4103131+24+2434.=521+116+18=2716.【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)原式=1813+310414+212+13+16=12+0.3+2=1.3.(2)原式=4103131+24+2434.=521+116+18=2716.【答案】解：(1)当m=2时，A=x|1x7，B=x|2<x<4，则AB=x|2<x7，RA=x|x<1或x>7，(RA)B=x|2<x<1.(2) AB=A， AB.当A=时，m1>2m+3， m<4；当A时，m12m+3，m1>2，2m+3<4， 1<m<12，综上所述，m|m<4或1<m<12.【考点】交、并、补集的混合运算一元二次不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当m=2时，A=x|1x7，B=x|2<x<4，则AB=x|2<x7，RA=x|x<1或x>7，(RA)B=x|2<x<1.(2) AB=A， AB.当A=时，m1>2m+3， m<4；当A时，m12m+3，m1>2，2m+3<4， 1<m<12，综上所述，m|m<4或1<m<12.【答案】1解：fxy=fx+fy,令x=y=1，则f1=2f1 ,所以f1=0.2证明：任取0<x1<x2，fx1fx2=fx1fx1x2x1=fx2x1,因为x2x1>1 ,所以fx2x1>0，所以fx1<fx2，所以fx在0,+上是增函数3解：fxy=fx+fy,令x=y=2021,则f20212=f2021+f2021=1,所以f2021=12.因为fx22020x<12,所以 fx22020x<f2021.又fx在0,+上是增函数，所以x22020x>0,x22020x<2021,所以x1<x<0或2020<x<2021.【考点】函数的求值抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】1解：fxy=fx+fy,令x=y=1，则f1=2f1,所以f1=0.2证明：任取0<x1<x2，fx1fx2=fx1fx1x2x1=fx2x1,因为x2x1>1,所以fx2x1>0，所以fx1<fx2，所以fx在0,+上是增函数3解：fxy=fx+fy,令x=y=2021,则f20212=f2021+f2021=1,所以f2021=12.因为fx22020x<12,所以fx22020x<f2021.又fx在0,+上是增函数，所以x22020x>0,x22020x<2021,所以x1<x<0或2020<x<2021.【答案】解：1对任意的x1,2，恒有fx2x2即x2+a+1x2x2,整理得3x2a+1x0对任意的x1,2恒成立，构造函数gx=3x2a+1x，其中x1,2，则gxmax0，即g10，g20，即3a+10,122a+10,解得a5，因此，实数a的取值范围是5,+)2fx=x2+a+1x=xa+122+a+124因为a2,所以a+12>0,当a+12<2,即2a<3时，函数y=fx在0,a+12上单调递增，在a+12,2上单调递减，此时ga=fa+12=a+124；当a+122,即a3时,y=fx在0,2上单调递增此时ga=f2=2a2，综上所述,ga=a+124,2a<3，2a2,a3.【考点】函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值函数的单调性及单调区间【解析】 【解答】解：1对任意的x1,2，恒有fx2x2即x2+a+1x2x2,整理得3x2a+1x0对任意的x1,2恒成立，构造函数gx=3x2a+1x，其中x1,2，则gxmax0，即g10，g20，即3a+10,122a+10,解得a5，因此，实数a的取值范围是5,+)2fx=x2+a+1x=xa+122+a+124因为a2,所以a+12>0,当a+12<2,即2a<3时，函数y=fx在0,a+12上单调递增，在a+12,2上单调递减，此时ga=fa+12=a+124；当a+122,即a3时,y=fx在0,2上单调递增此时ga=f2=2a2，综上所述,ga=a+124,2a<3，2a2,a3.【答案】解：1设甲工程队的总报价为y元，则y=3006x+40072x+14400=1800x+16x+144003x6.因为1800x+16x+1440018002x16x+14400=28800,当且仅当x=16x，即x=4时等号成立，故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的整体报价最低，最低报价为28800元2由题意可得1800x+16x+14400>1800a1+xx对任意的x3,6恒成立故x+42x>a1+xx,从而x+42x+1>a恒成立，令x+1=t,则x+42x+1=t+32t=t+9t+6,t4,7.又y=t+9t+6在t4,7为增函数，故ymin=494，所以a的取值范围为0,494.【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数模型的选择与应用函数恒成立问题【解析】 【解答】解：1设甲工程队的总报价为y元，则y=3006x+40072x+14400=1800x+16x+144003x6.因为1800x+16x+1440018002x16x+14400=28800,当且仅当x=16x，即x=4时等号成立，故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的整体报价最低，最低报价为28800元2由题意可得1800x+16x+14400>1800a1+xx对任意的x3,6恒成立故x+42x>a1+xx,从而x+42x+1>a恒成立，令x+1=t,则x+42x+1=t+32t=t+9t+6,t4,7.又y=t+9t+6在t4,7为增函数，故ymin=494，所以a的取值范围为0,494.【答案】解：1因为gx为R上的奇函数,所以g0=0，又当x0,+时，gx=x+3，所以，当x,0时，gx=gx=x+3=x3;所以gx=x3,x<0，0,x=0，x+3,x>0.2设0<a<b,因为gx在0,+上单调递减，所以2b=gb=b+3，2a=ga=a+3，即a,b是方程2x=x+3的两个不等正根因为0<a<b，所以a=1，b=2.所以gx在0,+内的“和谐区间”为1,23设a,b为gx的一个和谐区间,则a<b,2b<2a,所以a,b同号,当a<b<0时，同理可求gx在(,0)内的“和谐区间”为2,1，所以hx=x+3,x1,2，x3,x2,1，依题意，抛物线y=x2+m与函数hx的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限,因此，m应当使方程x2+m=x+3在1，2内恰有一个实数根，并且使方程x2+m=x3在2,1内恰有一个实数根由方程x2+m=x+3,即x2+x+m3=0在1,2内恰有一实数根，令Fx=x2+x+m3,则F1=m10,F2=m+30,解得3m1,由方程x2+m=x3,即x2+x+m+3=0在2,1内恰有一实数根，令Gx=x2+x+m+3,则G1=m+30,G2=m+50,解得5m3,综上可知，实数m的取值集合为3.【考点】函数奇偶性的性质函数新定义问题函数的单调性及单调区间元素与集合关系的判断一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】.【解答】解：1因为gx为R上的奇函数,所以g0=0，又当x0,+时，gx=x+3，所以，当x,0时，gx=gx=x+3=x3;所以gx=x3,x<0，0,x=0，x+3,x>0.2设0<a<b,因为gx在0,+上单调递减，所以2b=gb=b+3，2a=ga=a+3，即a,b是方程2x=x+3的两个不等正根因为0<a<b，所以a=1，b=2.所以gx在0,+内的“和谐区间”为1,23设a,b为gx的一个和谐区间,则a<b,2b<2a,所以a,b同号,当a<b<0时，同理可求gx在(,0)内的“和谐区间”为2,1，所以hx=x+3,x1,2，x3,x2,1，依题意，抛物线y=x2+m与函数hx的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限,因此，m应当使方程x2+m=x+3在1，2内恰有一个实数根，并且使方程x2+m=x3在2,1内恰有一个实数根由方程x2+m=x+3,即x2+x+m3=0在1,2内恰有一实数根，令Fx=x2+x+m3,则F1=m10,F2=m+30,解得3m1,由方程x2+m=x3,即x2+x+m+3=0在2,1内恰有一实数根，令Gx=x2+x+m+3,则G1=m+30,G2=m+50,解得5m3,综上可知，实数m的取值集合为3.第17页 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