2020-2021学年湖北省荆州市某校高一（上）期中考试数学试卷.docx

2020-2021学年湖北省荆州市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 已知集合A=x|x5x20,xN，则集合A的非空真子集个数为( ) A.4B.5C.6D.72. 命题“xR，使得1<y2“的否定形式是( ) A.xR，使得y1或y>2B.xR，有y1或y>2C.xR，使得1<y2D.xR，有1<y23. 已知f(x+1)=x+2x，则f(x)的解析式为( ) A.f(x)=x21B.f(x)=x21(x1)C.f(x)=x24x1D.f(x)=x24x1(x1)4. 函数fx=x+1x1在区间2,6上的最大值为( ) A.3B.75C.2D.535. 已知幂函数fx=n2n1xn2+3n是偶函数，且在0,+上是减函数，则n的值为( ) A.2B.1C.2D.1或26. 函数y=3x+2lnx1的定义域为( ) A.(1,2)(2,3B.(1,3C.1,22,3D.(,1)3,+）7. 已知a=log20.1，b=20.1，c=0.21.1，则a，b，c的大小关系是( ) A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b8. 已知集合A=x|ax2+2x+1=0，若集合A为单元素集，则a的取值为( ) A.1B.1C.0或1D.1或0或19. 若函数f(x)=ax(x>1)，(23a)x+1(x1)在R上是减函数，则实数a的取值范围( ) A.(23,1)B.34,1)C.(23,34D.(23,+)10. 已知函数fx是定义在1,1上的奇函数，在区间(1,0上单调递增，若实数a满足fa1+fa<0，则实数a的取值范围是( ) A.,12B.12,+C.0,12)D.0,12二、多选题 已知log2a>log2b，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a<1bB.log2ab>0C.2ab>1D.2a>3b 若函数fx是m,mm>0上的奇函数，且函数gx=3fx+1在0,m上的最大值为7，最小值为2，则函数gx在区间m,0上有( ) A.最大值为4B.最大值为5C.最小值为4D.最小值为5三、填空题 函数f(x)=2ax+21(a>0且a1)的图象所过定点为_. 已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是_. 若定义x1，x2，minx1,x2表示其两个数中的较小者，若f(x)=2x2，g(x)=x，则minf(x),g(x)的最大值为_. 已知函数gx=31xx0,log2xx>0,若fa>3，则实数a的取值范围为_. 四、解答题 计算： (1)941220200+82723+113242； (2)log535+log5101log1452log212+eln2. 若集合A=x|1<x4，B=x|2ax<3a. (1)若a=1，求AB； (2)命题p:xA，命题q:xB，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围 已知函数fx=x2+2k1x+4. (1)若函数fx在区间2,4上是单调的，求实数k的取值范围； (2)若fx0在区间0,+上恒成立，求实数k的取值范围 已知生产某商品的利润只由生产成本和销售收入决定其中生产成本C（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是C=x+3，销售收入S（万元）与生产量x（百件）间的函数关系是S=3x+18x8+5(0<x6)，14(x>6). (1)将商品的利润y表示为生产量x的函数； (2)为使利润最大化，应如何确定生产量. 已知函数fx=logax+1loga1x，a>0且a1. (1)求函数fx的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若a>1，解关于x的不等式fx>0. 已知函数f(x)=2ax+a42ax+a(a>0且a1）是定义在R上的奇函数. (1)求a的值； (2)求函数fx的值域； (3)当x(0,1时，mfx2x2恒成立，求实数m的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省荆州市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】分式不等式的解法子集与真子集的个数问题【解析】先求出集合A=x|x5x20,xN=3,4,5，进而得到集合A的非空真子集个数为232=6个.【解答】解：由x5x20，得x5x20且x20，解得2<x5.则集合A=x|x5x20,xN=3,4,5，故集合A的非空真子集个数为232=6个.故选C.2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】由题意，命题“xR，使得1<y2”的否定形式为“xR，使得y1或y>2”.【解答】解：由题意，命题“xR，使得1<y2”的否定形式为“xR，使得y1或y>2”.故选B.3.【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】令t=x+1，由x0得t1，则x=(t1)2，利用换元法，可得函数解析式【解答】解：令t=x+1.由题意可知，x0， t1,则x=(t1)2. f(x+1)=x+2x, f(t)=(t1)2+2(t1)(t1), f(x)=x21(x1).故选B.4.【答案】A【考点】函数最值的应用【解析】由题可知fx=x+1x1=x1+2x1=1+2x1在区间2,6上是减函数，即可得解函数fx在2,6上的最大值为f2=3【解答】解： fx=x+1x1=x1+2x1=1+2x1， fx=x+1x1在区间2,6上是减函数， fx在2,6上的最大值为f2=3.故选A5.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的定义求出n的值，再验证即可【解答】解：根据题意，得n2n1=1，解得n=2或n=1.当n=2时，fx=x10，满足fx是偶函数，但在0,+上单调递增，不符合题意；当n=1时，fx=x2=1x2，满足fx是偶函数，且在0,+上单调递减，符合题意.故选B6.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数定义域的求法，要使函数有意义则要满足ln(x1)0x1>03x0，求解即可.【解答】解：要使函数有意义，则ln(x1)0，x1>0，3x0，即x11，x1>0，3x0，解得1<x3且x2.故选A.7.【答案】D【考点】指数函数与对数函数的关系【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解： a=log20.1<log21=0，b=20.1>20=1，0<c=0.21.1<0.20=1， a<c<b.故选D.8.【答案】C【考点】集合中元素的个数【解析】由已知中集合A=x|ax2+2x+1=0,aR只有一个元素，根据集合元素的确定性，我们可以将问题转化为：关于x的方程ax2+2x+1=0有且只有一个解，分类讨论二次项系数a的值，结合二次方程根与的关系，即可得到答案【解答】解：若集合A=x|ax2+2x+1=0为单元素集，即集合A=x|ax2+2x+1=0中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解.当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a0时，一元二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解，即=44a=0，解得a=1，故满足条件的a的取值为0或1.故选C.9.【答案】C【考点】分段函数的应用已知函数的单调性求参数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数f(x)=ax(x>1)，(23a)x+1(x1)在R上是减函数，则a>0，23a<0，a23a+1，解得a(23,34.故选C.10.【答案】D【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质其他不等式的解法【解析】由题可知函数f(x)在(1,1)上单调递增，而fa1<fa=fa，即所以a1<a1<a1<11<a<1，求解即可得解【解答】解：因为函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且在区间(1,0上单调递增，所以函数f(x)在(1,1)上单调递增.因为f(a1)+f(a)<0，所以fa1<fa=fa，所以a1<a，1<a1<1，1<a<1，解得0<a<12.故选D二、多选题【答案】A,C【考点】对数值大小的比较不等式的基本性质【解析】直接利用不等式的性质的应用和函数的单调性的应用求出结果【解答】解：已知log2a>log2b，所以a>b>0.A，由a>b>0，所以1a1b=baab<0，故选项A正确；B，由a>b>0，若当a=2，b=1时，log21=0，故选项B错误；C，由a>b>0，所以ab>0，所以2ab>1，故选项C正确；D，由a>b>0，当a=3，b=2时，23<32，故选项D错误.故选AC.【答案】A,D【考点】函数奇偶性的性质函数的最值及其几何意义【解析】由fx是m,m上的奇函数，可知gx1=3fx也是m,m上的奇函数，则能求出gx1在0,m上的最大值和最小值，然后再根据奇偶性的性质得出gx1在m,0上的最值.【解答】解： fx是m,m上的奇函数， gx1=3fx也是m,m上的奇函数. gx=3fx+1在0,m上的最大值为7，最小值为2， gx1在0,m上的最大值为6，最小值为3， gx1在m,0上的最大值为3，最小值为6， gxmax=4，gxmin=5.故选AD.三、填空题【答案】(2,1)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令幂指数等于零，求得x，y的中，可得图象经过定点的坐标【解答】解：由题意，令x+2=0，解得x=2，此时f(2)=21=1， 函数fx=2ax+21(a>0且a1)的图象恒过定点2,1.故答案为：2,1.【答案】2,4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将问题转化为求x+2y的最小值是关键，再解元二次不等式即可【解答】解：x>0，y>0，且2x+1y=1, x+2y=x+2y2x+1y=2+4yx+xy+24+24yxxy=8，当且仅当x=4，y=2时取等号， x+2ymin=8,x+2ym22m恒成立，即m22m8,解得2m4.故答案为：2,4.【答案】1【考点】函数的最值及其几何意义函数新定义问题【解析】作出函数f(x)，g(x)的图象，令f(x)=g(x)，可求得图象的交点坐标，根据题意可得F(x)的图象，由图象即可求出F(x)的最大值【解答】解：作出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示.令f(x)=g(x)，即2x2=x，解得x=2或x=1， minf(x),g(x)=2x2，x<2，x,2x1，2x2，x>1，由图象可知，minf(x),g(x)的最大值为1故答案为：1【答案】(,0)(8,+)【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】【解答】解：由题意，得a0，31a>3或a>0，log2a>3，解得a<0或a>8.故答案为：(,0)(8,+).四、解答题【答案】解：(1)原式=321+232+2324=12+94+944=54=1.(2)原式=log535+log510log514+4+2=log5(351014)+6=log525+6=8.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算对数的运算性质对数及其运算【解析】【解答】解：(1)原式=321+232+2324=12+94+944=54=1.(2)原式=log535+log510log514+4+2=log5(351014)+6=log525+6=8.【答案】解：(1)当a=1时，B=x|2x<4.又A=x|1<x4，则AB=x|2x4.(2)由题意可知，BA.若B=，则3a2a，解得a1；若B，则3a>2a，3a4,2a>1，解得12<a<1.综上所述，实数a的取值范围为a>12.【考点】并集及其运算集合关系中的参数取值问题根据充分必要条件求参数取值问题【解析】【解答】解：(1)当a=1时，B=x|2x<4.又A=x|1<x4，则AB=x|2x4.(2)由题意可知，BA.若B=，则3a2a，解得a1；若B，则3a>2a，3a4,2a>1，解得12<a<1.综上所述，实数a的取值范围为a>12.【答案】解：(1)函数fx=x2+2k1x+4，则fx的对称轴为直线x=1k.当1k2或1k4时，函数fx在区间2,4上是单调的，解得k3或k1，故实数k的取值范围为,31,+.(2)若fx0在区间0,+上恒成立，即21kx+4x在0,+上恒成立.设y=x+4x，则y=x+4x4，当且仅当x=2时，y有最小值4，所以21k4，解得k1，故实数k的取值范围为1,+).【考点】已知函数的单调性求参数问题函数恒成立问题【解析】【解答】解：(1)函数fx=x2+2k1x+4，则fx的对称轴为直线x=1k.当1k2或1k4时，函数fx在区间2,4上是单调的，解得k3或k1，故实数k的取值范围为,31,+.(2)若fx0在区间0,+上恒成立，即21kx+4x在0,+上恒成立.设y=x+4x，则y=x+4x4，当且仅当x=2时，y有最小值4，所以21k4，解得k1，故实数k的取值范围为1,+).【答案】解：(1)由题意有，y=SC=2x+18x8+2(0<x6)，11x(x>6).(2)当0<x<6时，y=2x+18x8+2，则y=2(x8)+18x8+18=2(8x)+98x+184(8x)98x+18=6，当且仅当8x=98x，即x=5时取等号，所以，当0<x<6时，y有最大值，且最大值为6万元；当x6时，y=11x5，所以，当x=5时，y有最大值，且最大值为6万元.答：当生产量确定为5百件时，商品的利润取得最大值6万元【考点】根据实际问题选择函数类型基本不等式在最值问题中的应用【解析】(1)设商品的利润为y（万元），利用已知条件列出函数的解析式即可【解答】解：(1)由题意有，y=SC=2x+18x8+2(0<x6)，11x(x>6).(2)当0<x<6时，y=2x+18x8+2，则y=2(x8)+18x8+18=2(8x)+98x+184(8x)98x+18=6，当且仅当8x=98x，即x=5时取等号，所以，当0<x<6时，y有最大值，且最大值为6万元；当x6时，y=11x5，所以，当x=5时，y有最大值，且最大值为6万元.答：当生产量确定为5百件时，商品的利润取得最大值6万元【答案】解：(1)由题意，得x+1>0，1x>0，解得1<x<1，故函数fx的定义域为1,1.(2)由(1)可知，函数fx的定义域为1,1，则定义域1,1关于原点对称.又fx=logax+1loga1+x=logax+1loga1x=fx， fx为1,1上的奇函数(3)由题意可知，fx=logax+1loga1x=logax+11x，当a>1时，fx是1,1上的增函数， fx>0，即x+11x>1，解得0<x<1，故不等式的解集为0,1.【考点】对数函数的定义域函数奇偶性的判断对数函数的图象与性质其他不等式的解法【解析】 【解答】解：(1)由题意，得x+1>0，1x>0，解得1<x<1，故函数fx的定义域为1,1.(2)由(1)可知，函数fx的定义域为1,1，则定义域1,1关于原点对称.又fx=logax+1loga1+x=logax+1loga1x=fx， fx为1,1上的奇函数(3)由题意可知，fx=logax+1loga1x=logax+11x，当a>1时，fx是1,1上的增函数， fx>0，即x+11x>1，解得0<x<1，故不等式的解集为0,1.【答案】解：(1) 函数f(x)是定义在R上的奇函数， f0=2+a42+a=0，解得a=2.(2)由(1)可知，fx=2x+122x+1+2=2x12x+1.设t=2x+1，则t>1， ft=t2t=12t，t>1， 1<ft<1，即1<fx<1，故函数fx的值域为1,1.(3)由题意可知，当0<x1时，2x1>0，则fx>0， mfx2x2在x0,1上恒成立，即m2x2fx=2x22x+12x1在x0,1上恒成立.设t=2x1，则0<t1，即mt2t+1在0<t1上恒成立.设y=t2t+1，则y=t2t+1在(0,1上单调递增， 当t=1时，y有最大值，且最大值为0， m0，故实数m的取值范围为0,+).【考点】函数奇偶性的性质函数的值域及其求法不等式恒成立问题函数恒成立问题【解析】.【解答】解：(1) 函数f(x)是定义在R上的奇函数， f0=2+a42+a=0，解得a=2.(2)由(1)可知，fx=2x+122x+1+2=2x12x+1.设t=2x+1，则t>1， ft=t2t=12t，t>1， 1<ft<1，即1<fx<1，故函数fx的值域为1,1.(3)由题意可知，当0<x1时，2x1>0，则fx>0， mfx2x2在x0,1上恒成立，即m2x2fx=2x22x+12x1在x0,1上恒成立.设t=2x1，则0<t1，即mt2t+1在0<t1上恒成立.设y=t2t+1，则y=t2t+1在(0,1上单调递增， 当t=1时，y有最大值，且最大值为0， m0，故实数m的取值范围为0,+).第17页 共18页 第18页 共18页