2020-2021学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷.docx

2020-2021学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷一、单选题：1. 设集合A=x|12<x<3，B=x|(x+1)(x2)<0，则AB=( ) A.x|12<x<2B.x|1<x<3C.x|12<x<1D.x|1<x<22. 函数f(x)=lgx+2x的定义域是（ ） A.(0,2)B.0,2C.0,2)D.(0,23. 已知是第二象限角，则tan（ ） A.B.C.D.4. 已知ylogax(a>0,a1)的图象经过点P(3,1)，则yxa的图象大致为（ ） A.B.C.D.5. 设a30.2，b0.23，clog0.23，则a，b，c的大小关系是（ ） A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为!为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，达到80mg及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL，如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车（参考数据：lg20.30，lg30.48） A.3B.4C.5D.67. 已知f(x)sinx+cos2x，g(x)3sinxm，若对任意的xR，f(x)g(x)恒成立，则实数m的最小值为（ ） A.B.5C.D.18. 已知函数，g(x)f(x)x2a若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A.(,1B.1,+)C.1,+)D.0,+)二、多选题： 已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式成立的是（ ） A.a+c>b+dB.C.(a+b)c>(a+b)dD.ca+b>da+b 下面选项中正确的有（ ） A.命题“x2，x24”的否定是“x<2，x2<4”B.命题“xR，x2+x+1<0”的否定是“xR，x2+x+10”C.“a>1”是“”的充要条件D.设a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件 设函数f(x)cos2x+sin2x，则下列选项正确的有（ ） A.f(x)的最小正周期是B.f(x)满足C.f(x)在a,b上单调递减，那么ba的最大值是D.yf(x)的图象可以由的图象向右平移个单位得到 已知函数f(x)是定义在(,0)(0,+)上的偶函数，当x>0时，f(x)=2|x1|1,0<x212f(x2),x>2以下说法正确的是（ ） A.当2<x4时，f(x)=2|x3|112B.f(2n+1)=(12)n(nN)C.存在x0(,0)(0,+)，使得f(x0)2D.函数g(x)4f(x)1的零点个数为10三、填空题： 计算_ 若正实数x，y满足2x+y1，则2xy的最大值为_ 若扇形圆心角的弧度数是2，且该扇形弧长是4cm，则这个扇形的面积为 4 cm2 某同学为研究函数f(x)=1+x2+1+(1x)2(0x1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CPx，则AP+PFf(x)请你参考这些信息，推知函数f(x)的图象的对称轴是_；函数g(x)4f(x)9的零点的个数是_ 四、解答题： 如图，点A、B在单位圆O上，点A的坐标为，点B在第二象限，AOB为正三角形，点C是单位圆与x轴正半轴的交点 （1）求sinCOA的值； （2）求cosCOB的值 已知函数f(x)2sinxcosx+2cos2x1 （1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）用“五点法”画出f(x)在一个周期内的图象 已知集合Ax|x2+4x+12>0，集合Bx|m3<x<m29现有三个条件：条件ABB，条件BRA，条件ABB请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题： （1）若m4，求(RA)B； （2）若_，求m的取值范围 已知函数，且f(0)0 （1）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论； （2）若恒成立，求m的最大值 汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）(0v120)的下列数据：v0406080120F02036581020为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：F(v)av3+bv2+cv，F(v)=(12)v+a，F(v)klogav+b （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式 （2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？ 对于函数f(x)，若在其定义域内存在实数x0，使得f(x0+1)f(x0)+f(1)成立，则称f(x)有“点”x0 （1）判断函数f(x)x2+2x在0,1上是否有“点”并说明理由； （2）若函数在(0,+)上有“点”，求正实数a的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年广东省惠州市高一（上）期末数学试卷一、单选题：1.【答案】B【考点】并集及其运算【解析】求出集合B，从而求出B和A的并集即可【解答】解：集合A=x|12<x<3，B=x|(x+1)(x2)<0=x|1<x<2，则AB=x|1<x<3，故选：B2.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数的结构，要满足的条件为真数大于零、被开方式大于等于零【解答】解：要使函数f(x)有意义，只需要2x0x>0，解得0<x2，所以定义域为(0,2故选D3.【答案】A【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】利用诱导公式化简已知可求sin，进而根据同角三角函数基本关系式即可计算求解【解答】 ， ， 是第二象限角， ， 4.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换对数函数的图象与性质【解析】根据对数函数过的定点求出a的值，进而求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质即可判断【解答】因为ylogax经过P(3,1)，所以loga31，所以a3，所以幂函数为yx3，显然yx3为奇函数，排除A、C，又因为yx3在x(1,+)时，增长趋势比yx快速，所以排除D，5.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】 a30.2>1，0<b0.23<1，clog0.23<0， a>b>c6.【答案】A【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】利用题中给出的信息，设他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车，则60(120%)t<20，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案【解答】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车，则60(120%)t<20， ， 整数t的值为57.【答案】B【考点】三角函数的最值【解析】由不等式反解出m，由恒成立问题转化为最值问题，利用三角函数的性质求出最值即可求解【解答】【解析】由题意知sinx+cos2x3sinxm， m2sin2x4sinx1对任意R恒成立，只需m(2sin2x4sinx1)max，令g(x)2sin2x4sinx12(sinx1)23， 当sinx1时，g(x)max5， m5， 实数m的最小值为5，8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】令g(x)0，可得f(x)x+2a，作出函数yf(x)与函数yx+2a的图象，通过函数yg(x)有2个零点求解a的范围即可【解答】令g(x)0，可得f(x)x+2a，作出函数yf(x)与函数yx+2a的图象如图所示，由图可知，当2a1时，即a0时，函数yf(x)与函数yx+2a的图象有2个交点，此时，函数yg(x)有2个零点，因此，实数a的取值范围是0,+)二、多选题：【答案】A,B,D【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的基本性质可直接判断AB；取特殊值即可判断C；由幂函数的单调性即可判断D【解答】 a>b>0，c>d>0， 由不等式的基本性质，知A和B都正确；取，则， ，故C错误； 幂函数yxa+b，在(0,+)上是增函数， 当c>d>0时，ca+b>da+b，故D正确【答案】B,D【考点】充分条件、必要条件、充要条件命题的真假判断与应用命题的否定【解析】利用命题的否定，判断A，B的正误；充要条件的关系，判断C，D的正误即可【解答】对于选项A，特称命题的否定是全称命题，“x2，x24”的否定是“x2，x2<4”，故A错误；对于选项B，全称命题的否定是特称命题，“任意xR，则x2+x+1<0”的否定是“存在xR，则x2+x+10”，故B正确；对于选项C，>a(a1)>0a<0或a>1，则“a>1”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，ab0a0且b0，则“a0“是“ab0“的必要不充分条件，故D正确【答案】A,C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换三角函数的周期性【解析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，利用正弦函数的周期公式即可求函数最小正周期，即可判断A；分别求解f（x)和f（+x)，即可判断B；利用正弦函数的单调性即可判断C；利用三角函数的平移变换即可判断D【解答】 ，对于选项，即A正确：对于选项，f（x)sin2（x)+sin（2x)cos（2x)，即不是yf(x)的对称轴，故B错误：对于选项时，yf(x)单调递碱，故减区间为，kZ，ba的最大值是，故C正确；对于的图象向右平移个单位得到，故D错误【答案】A,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】A：根据分段函数，求出2<x4的解析式即可；B：举反例，取一个特殊值验证选项的正误；C：作出函数的图象，发现函数f(x)的值域为0,1，不可能存在f(x)2；D：数形结合的思想，将函数的零点问题转化为方程的根，进而转化为两个函数的交点个数问题，再结合图象即可得解【解答】对于B选项，当n0时，f(1)=(12)0=1与f(1)2|11|10矛盾，即B错误（1）对于C选项，由f(x)为偶函数，可作出正半轴的图象如下：观察图象，f(x)的值域为0,1，即C错误（2）对于D选项，函数g(x)的零点个数即为方程f(x)=14的根的个数，即f(x)与y=14的交点个数，观察图象，在x>0时，有5个交点，根据对称性可得x<0时，也有5个交点，共10个交点，即D正确故选：AD三、填空题：【答案】5【考点】对数的运算性质【解析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解【解答】原式【答案】【考点】基本不等式及其应用【解析】利用基本不等式即可求解【解答】因为正数x，y满足2x+y1，所以，所以，解得，当且仅当，时取等号，【答案】4【考点】扇形面积公式【解析】根据扇形的弧长公式先求出半径，然后根据扇形的面积公式进行计算即可【解答】 扇形圆心角的弧度数是2，且该扇形弧长是4cm， 扇形的半径为r，又由扇形面积公式得该扇形的面积为：【答案】x=12,2【考点】函数最值的应用【解析】从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f(x)的图象的对称轴；函数g(x)4f(x)9的零点的个数就是f(x)=94的解的个数【解答】由题意可得函数f(x)AP+PF，从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大， 当点P在BC的中点上时，即C、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值 函数f(x)的图象的对称轴是x=12；g(x)4f(x)90，即f(x)=94故函数g(x)4f(x)9的零点的个数就是f(x)=94的解的个数而由题意可得f(x)=94的解有2个，四、解答题：【答案】因为A点的坐标为，根据三角函数定义，可知根据三角函数定义知，因为三角形AOB为正三角形，所以AOB60，所以，cosCOBcos(COA+60)cosCOAcos60sinCOAsin60【考点】任意角的三角函数【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果（2）由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和的余弦公式，计算求得结果【解答】因为A点的坐标为，根据三角函数定义，可知根据三角函数定义知，因为三角形AOB为正三角形，所以AOB60，所以，cosCOBcos(COA+60)cosCOAcos60sinCOAsin60【答案】，令，得因此，函数yf(x)的单调递增区间为；列表如下：02xf(x)02020f(x)在一个周期内的图象【考点】五点法作函数y=Asin（x+）的图象三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，进而根据正弦函数的单调性即可求解（2）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期0,2的大致图象即可【解答】，令，得因此，函数yf(x)的单调递增区间为；列表如下：02xf(x)02020f(x)在一个周期内的图象【答案】若m4，Bx|1<x<7，则(RA)Bx|6<x<7选：ABB，则BA，若B，则m3m29，解得2m3若B，则，解得；综上得；选：BRA，若B，则m3m29，解得2m3若B，则或解得或m9；综上得或m9选：ABB，则AB则，解得，所以【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合Ax|2<x<6，RAx|x2或x6（1）m4时，求出集合B，由此能求出(RA)B（2）选：ABB，则BA，若B，则m3m29，若B，列出不等式组，由此能求出m的取值范围选：BRA，若B，则m3m29，若B，列出不等式组，由此能求出m的取值范围选：ABB，则AB列出不等式组，由此能求出m的取值范围【解答】若m4，Bx|1<x<7，则(RA)Bx|6<x<7选：ABB，则BA，若B，则m3m29，解得2m3若B，则，解得；综上得；选：BRA，若B，则m3m29，解得2m3若B，则或解得或m9；综上得或m9选：ABB，则AB则，解得，所以【答案】证明：f(x)为定义域在R上的奇函数，证明如下： ，即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数；由条件得，即恒成立，设t2x+1，则t(1,+)，（当且仅当时，等号成立）所以g(t)的最小值是，所以，即m的最大值是【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】（1）求出a的值，根据函数的奇偶性的定义证明即可；（2）问题转化为恒成立，设t2x+1，则t(1,+)，得到（当且仅当时，等号成立），从而求出m的最大值即可【解答】证明：f(x)为定义域在R上的奇函数，证明如下： ，即f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数；由条件得，即恒成立，设t2x+1，则t(1,+)，（当且仅当时，等号成立）所以g(t)的最小值是，所以，即m的最大值是【答案】函数F(v)=(12)v+a在0,120是减函数，所以不符合题意而函数F(v)klogav+b的v0，即定义域不可能为0,120，也不符合题意；【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为0,120，且在0,120上为增函数；函数F(v)=(12)v+a在0,120是减函数，所以不符合题意；而函数F(v)klogav+b的v0，即定义域不可能为0,120，也不符合题意；所以选择函数F(v)av3+bv2+cv列出方程组，解出即看得出（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：yFt=(138400v31240v2+724v)240v=1160v2v+70=1160(v80)2+30，利用二次函数的单调性即可得出【解答】函数F(v)=(12)v+a在0,120是减函数，所以不符合题意而函数F(v)klogav+b的v0，即定义域不可能为0,120，也不符合题意；【答案】2，根据零点存在性定理，可知2x+4x20在8,1上有解， 函数f(x)x2+2x在0,1上有“点”由题意，+lg，+)上有解； 在(0；即a在(0； ax3+2ax+2a8x2+2在(3,+)上有解；即(2a)x24ax+22a6在(0,+)上有解；当a2时，可得x，+)上；令g(x)(2a)x72ax+28a，(x>0)其对称轴x，当a>5时，开口向下<0，+)上单调递减， (3,+)上g(x)恒小于0；当0<a<2时，开口向上>0，+)上不单调，由题意只需要二次方程有解，即4，可得4a24(a2)(2a7)0，可得a25a+40解得：，综上可得a的取值范围是，2)【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）根据f(x0+1)f(x0)+f(1)在0,1上有解，即可判断（2）根据f(x0+1)f(x0)+f(1)在(0,+)上有解，即可求解正实数a的取值范围【解答】2，根据零点存在性定理，可知2x+4x20在8,1上有解， 函数f(x)x2+2x在0,1上有“点”由题意，+lg，+)上有解； 在(0；即a在(0； ax3+2ax+2a8x2+2在(3,+)上有解；即(2a)x24ax+22a6在(0,+)上有解；当a2时，可得x，+)上；令g(x)(2a)x72ax+28a，(x>0)其对称轴x，当a>5时，开口向下<0，+)上单调递减， (3,+)上g(x)恒小于0；当0<a<2时，开口向上>0，+)上不单调，由题意只需要二次方程有解，即4，可得4a24(a2)(2a7)0，可得a25a+40解得：，综上可得a的取值范围是，2)第21页 共22页 第22页 共22页