2020-2021学年广东省广州市荔湾区某校高一（上）期末数学试卷.docx

2020-2021学年广东省广州市荔湾区某校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知全集U=xN*|x4，集合A=1,2，B=2,4，则A(UB)=( ) A.1B.1,3C.1,2,3D.0,1,2,32. sin(1380)的值为( ) A.32B.12C.32D.123. 方程ex+8x8=0的根所在的区间为( ) A.(2,1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,2)4. 已知a=log45，b=(14)12，c=sin2，则a，b，c的大小关系是( ) A.b<c<aB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a5. 函数f(x)=xsinx，x,的大致图象是( ) A.B.C.D.6. 已知角的终边经过点P(3,6)，则tan+cos(2+)=( ) A.22+63B.2263C.2+63D.2637. 已知函数f(x)=log0.5(ax+a+2)在(3,+)上单调递减，则a的取值范围为( ) A.(,0)B.3,0)C.2,0)D.(3,0)8. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(ln20.69) A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 下列各式中，值为12的有( ) A.sin7cos23+sin83cos67B.1sin50+3cos50C.tan22.51tan222.5D.1(1+tan22)(1+tan23) 有如下命题，其中真命题的标号为( ) A.若幂函数y=f(x)的图象过点(2,12)，则f(3)>12B.函数f(x)=ax1+1(a>0，且a1)的图象恒过定点(1,2)C.函数f(x)=x21log2x有两个零点D.若函数f(x)=x22x+4在区间0,m上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是1,2 函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的有( ) A.函数f(x)的最小正周期是B.函数f(x)的图象关于点(43,0)成中心对称C.函数f(x)在(23,6)上单调递增D.函数f(x)的图象向右平移512个单位长度后关于原点成中心对称 若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“1阶马格丁香小花花”函数给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有( ) A.f(x)=1xB.f(x)=exC.f(x)=lg(x2+2)D.f(x)=cosx三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分. 如果cos<0，且tan<0，则|sincos|+cos的化简为_ 命题p:x0，x2ax+3>0，则p为_ 已知tan(+7)=2，则sin(+87)cos+7cos514sin+914=_ 已知函数g(x)，h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足g(x)+h(x)=ex+sinxx，则函数g(x)的解析式为_；若函数f(x)=3|x2020|g(x2020)22有唯一零点，则实数的值为_ 四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 设集合A=x|13212x4，B=x|m1x2m+1 (1)若m=3，求R(AB)； (2)若AB=B，求m的取值范围； 已知函数f(x)=2cosx(3sinx+cosx)1 (1)求f(x)在区间0,上的单调递增区间； (2)若(0,)，f(2)=23，求sin(+3)的值 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n(nN+)年的材料费、维修费、人工工资等共为(52n2+5n)万元，每年的销售收入55万元设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元 (1)写出f(n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； (2)使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由 若函数f(x)满足f(logax)=aa21x1x（其中a>0且a1） (1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性； (2)当x(,2)时，f(x)4的值恒为负数，求a的取值范围 已知函数f(x)=sin(x+)+b的图象两相邻对称轴之间的距离是2，若将f(x)的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y轴对称且经过坐标原点 (1)求f(x)的解析式； (2)若对任意x0,4，f(x)2af(x)+a+10恒成立，求实数a的取值范围 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(x)=2f(x)，则称“局部中心函数” (1)已知二次函数f(x)=ax2+2x4a+1(aR)，试判断f(x)是否为“局部中心函数”，并说明理由； (2)若f(x)=4xm2x+1+m23是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市荔湾区某校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出UB，由此能求出A(UB)【解答】解： 全集U=xN*|x4=1,2,3,4，B=2,4， UB=1,3，则A(UB)=1,2,3故选C.2.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：sin(1380)=sin(1440+60)=sin(4360+60)=sin60=32.故选A.3.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：令函数f(x)=ex+8x8，则方程ex+8x8=0的根即为函数f(x)的零点，再由f(0)=18=7<0，f(1)=e>0，可得函数f(x)在(0,1)上有零点.故选C.4.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：log45>log44=1 a>1.1412=12，b=12.2<2<56， 12<sin2<1，即12<c<1， b<c<a.故选A.5.【答案】A【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=(x)sin(x)=xsinx=f(x)，x,，f(x)为偶函数，即图象关于y轴对称，故排除B，C.又当x=2时，f(2)=2sin2=2>0，故排除D.故选A.6.【答案】D【考点】三角函数线同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解： 角的终边经过点P(3,6)， x=3，y=6，r=3+6=3， tan+cos(2+)=tansin=yxyr=6363=263.故选D.7.【答案】C【考点】已知函数的单调性求参数问题【解析】由外层函数ylog0.5t为减函数，把问题转化为内层函数t=ax+a+2在(3,+)上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a的不等式组求解【解答】解： 外层函数y=log0.5t为减函数， 要使f(x)=log0.5(ax+a+2)在(3,+)上单调递减，则需要t=ax+a+2在(3,+)上单调递增且恒大于0，即a<0，a+3>0，a3+a+20，解得2a<0 a的取值范围为2,0)故选C.8.【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型对数的运算性质【解析】根据所给模型求得r0.38，令t0，求得I，根据条件可得方程e0.38t2，然后解出t即可【解答】解：把R0=3.28，T=6代入R0=1+rT，可得r=0.38， I(t)=e0.38t，当t=0时，I(0)=1，则e0.38t=2，两边取对数得0.38t=ln2，解得t=ln20.381.8故选B.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。【答案】A,C,D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值两角和与差的三角函数二倍角的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】解：A，sin7cos23+sin83cos67=sin7cos23+cos7sin23=sin30=12，故该选项符合题意；B，1sin50+3cos50=cos50+3sin50sin50cos50=2(12cos50+32sin50)12sin100=2sin8012sin100=4，故该选项不符合题意；C，tan22.51tan222.5=122tan22.51tan22.5=12tan45=12，故该选项符合题意；D，1(1+tan22)(1+tan23)=11+tan22+tan23+tan22tan23,因为1=tan45=tan22+tan231tan22tan23，tan22+tan23=1tan22tan23，原式=12，故该选项符合题意.故选ABD.【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用幂函数的图像指数函数的单调性与特殊点函数的零点二次函数在闭区间上的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：若幂函数y=fx的图象过点（2，12），可得幂函数为：fx=x1，则f3=13<12，故A不正确；函数f(x)=ax1+1(a>0)，且a1的图象恒过定点1,2，故B正确；分别画出y=x21和g(x)=log2x的图象可得，由函数的图象可知：函数只有1个零点，故C不正确；函数fx=x22x+4的对称轴为x=1，此时，函数取得最小值为3，当x=0或x=2时，函数值等于4.且函数fx=x22x+4在区间0,mm>0上的最大值为4，最小值为3， 实数m的取值范围是1,2，故该选项正确.故选BD【答案】A,B【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性正弦函数的周期性函数y=Asin（x+）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：根据给定函数的图象，可得点C的横坐标为3，所以12T=36=2，解得T=，所以fx的最小正周期T=，故A正确；不妨令A>0,>0,0<<，由周期T=，得=2，又f6=0，所以=3，所以fx=Asin2x+3，令2x+3=k,kZ，解得x=k26,kZ.当k=3时，x=43，即函数fx图象的一个对称中心为43,0，即函数fx的图象关于点43,0成中心对称，故B正确；当23<x<6时，<2x+3<0，此时正弦函数不单调，故C不正确；将函数fx的图象向右平移512个单位长度，得到y=Acos2x的图象，关于y轴对称，故D不正确故选AB【答案】B,D【考点】函数与方程的综合运用函数新定义问题【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A，对于fx=1x，若fx=1x是“1阶马格丁香小花花”函数，则1x+1=1x+1有解，变形可得x2+x+1=0，而该方程无实数解，故函数fx不是“1阶马格丁香小花花”函数，故该选项不符合题意；对于B，对于fx=ex其定义域为R，若fx是“1阶马格丁香小花花”函数，则方程ex+1=ex+e有解，变形可得e1ex=e，解可得x=lnee1，故函数fx=ex是“1阶马格丁香小花花”函数，故该选项符合题意；对于C，fx=lgx2+2，若存在x，使fx+1=fx+f1，则lgx+12+2=lgx2+2+lg3，即2x22x+3=0，而=424=20<0，故方程无解故函数fx=lgx2+2不是“1阶马格丁香小花花”函数，故该选项不符合题意；对于D，fx=cosx，存在x=13，有f(13+1)=f(13)+f(1)成立，故fx=cosx是“1阶马格丁香小花花”函数，故该选项符合题意.故选BD.三、填空题：本小题共4个小题，每小题5分，共20分.【答案】sin【考点】象限角、轴线角【解析】此题暂无解析【解答】解：如果cos<0，且tan<0，则sin>0.sincos>0，|sincos|+cos=sincos+cos=sin.故答案为：sin.【答案】x0，x2ax+30【考点】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则全称命题的否定是特称命题即p:x0，x2ax+30.故答案为：x0，x2ax+30.【答案】3【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：令+7=，则tan+7=tan=2，则sin(+87)cos+7cos514sin+914=sin+coscos2sin+2=sincossincos=tan+1tan+1=3.故答案为：3.【答案】gx=ex+ex2,1或12【考点】函数的零点函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数gx，hx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以gx=gx，hx=hx.因为gx+hx=ex+sinxx，所以gx+hx=exsinx+x，即gxhx=exsinx+x，联立，可解得gx=ex+ex2.令Fx=3|x|gx22，则Fx=Fx，所以Fx为偶函数，所以fx=Fx2020=3|x2020|gx202022关于x=2020对称，因为fx有唯一的零点，所以fx的零点只能为x=2020.即f2020=122=0，解得=1或=12.故答案为：gx=ex+ex2；1或12.四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】解：(1)m=3时，集合A=x|13212x4=x|2x5，B=x|m1x2m+1=x|2x7 AB=x|2x7， R(AB)=x|x<2或x>7=(,2)(7,+)(2) 集合A=x|13212x4=x|2x5，AB=B， BA， 当B=时，m1>2m+1，解得m<2.当B时，m12m+1，m12，2m+15，解得1m2综上，m的取值范围是(,2)1,2【考点】交、并、补集的混合运算集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)m=3时，集合A=x|13212x4=x|2x5，B=x|m1x2m+1=x|2x7 AB=x|2x7， R(AB)=x|x<2或x>7=(,2)(7,+)(2) 集合A=x|13212x4=x|2x5，AB=B， BA， 当B=时，m1>2m+1，解得m<2.当B时，m12m+1，m12，2m+15，解得1m2综上，m的取值范围是(,2)1,2【答案】解：(1)f(x)=2cosx(3sinx+cosx)1=3sin2x+2cos2x1=3sin2x+cos2x=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+6)由2+2k2x+62+2k，kZ，可得3+kx6+k，kZ， x0,， 取k=0和k=1时，可得f(x)在区间0,上的单调递增区间为0,6，23,.(2)由f(2)=23，得2sin(+6)=23，即sin(+6)=13 (0,)， +6(6,76)，又 sin+6=13<12， +62,则cos(+6)=223 sin(+3)=sin(+6)+6=sin(+6)cos6+cos(+6)sin6=133222312=3226【考点】两角和与差的三角函数正弦函数的单调性【解析】()把已知函数解析式变形，再由复合函数的单调性求解f(x)在区间0,上的单调递增区间；()由f(2)=23，可得sin(+6)=13，进一步求得cos(+6)，再由sin(+3)sin(+6)+6，展开两角和的正弦求解【解答】解：(1)f(x)=2cosx(3sinx+cosx)1=3sin2x+2cos2x1=3sin2x+cos2x=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+6)由2+2k2x+62+2k，kZ，可得3+kx6+k，kZ， x0,， 取k=0和k=1时，可得f(x)在区间0,上的单调递增区间为0,6，23,.(2)由f(2)=23，得2sin(+6)=23，即sin(+6)=13 (0,)， +6(6,76)，又 sin+6=13<12， +62,则cos(+6)=223 sin(+3)=sin(+6)+6=sin(+6)cos6+cos(+6)sin6=133222312=3226.【答案】解：(1)由题意得：f(n)=55n90(52n2+5n)=52n2+50n90由f(n)>0，得52n2+50n90>0，即n220n+36<0，解得2<n<18由于nN+，故设备企业从第3年开始盈利.(2)方案一：总盈利额f(n)=52(n10)2+160，当n=10时，f(n)max=160故方案一共总利润160+10=170，此时n=10；方案二：每年平均利润f(n)n=5052(n+36n)5052236=20，当且仅当n=6时等号成立故方案二总利润620+50=170，此时n=6比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适【考点】根据实际问题选择函数类型基本不等式在最值问题中的应用二次函数在闭区间上的最值【解析】（1）由题意写出f(n)关于n的函数式，由f(n)>0求得n的范围，再由nN+，可得该设备企业从第3年开始盈利；（2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出f(n)n的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论【解答】解：(1)由题意得：f(n)=55n90(52n2+5n)=52n2+50n90由f(n)>0，得52n2+50n90>0，即n220n+36<0，解得2<n<18由于nN+，故设备企业从第3年开始盈利.(2)方案一：总盈利额f(n)=52(n10)2+160，当n=10时f(n)max=160故方案一共总利润160+10=170，此时n=10；方案二：每年平均利润f(n)n=5052(n+36n)5052236=20，当且仅当n=6时等号成立故方案二总利润620+50=170，此时n=6比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适【答案】解：(1)令logax=t，则x=at， f(t)=aa21(atat)， f(x)=aa21(axax)（xR）， f(x)=aa21(axax)=aa21(axax)=f(x)， f(x)为奇函数当a>1时，y=ax为增函数，y=ax为增函数，且a2a21>0， f(x)为增函数；当0<a<1时，y=ax为减函数，y=ax为减函数，且a2a21<0， f(x)为增函数，f(x)在R上为增函数(2) f(x)是R上的增函数，y=f(x)4也是R上的增函数由x<2，得f(x)<f(2)，要使f(x)4的值在(,2)上恒为负数，只需f(2)40，即aa21(a2a2)4 aa21a41a24， a2+14a， a24a+10， 23a2+3又 a1， a的取值范围为23,1)(1,2+3【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)令logax=t，则x=at， f(t)=aa21(atat)， f(x)=aa21(axax)（xR）， f(x)=aa21(axax)=aa21(axax)=f(x)， f(x)为奇函数当a>1时，y=ax为增函数，y=ax为增函数，且a2a21>0， f(x)为增函数；当0<a<1时，y=ax为减函数，y=ax为减函数，且a2a21<0， f(x)为增函数，f(x)在R上为增函数(2) f(x)是R上的增函数，y=f(x)4也是R上的增函数由x<2，得f(x)<f(2)，要使f(x)4的值在(,2)上恒为负数，只需f(2)40，即aa21(a2a2)4 aa21a41a24， a2+14a， a24a+10， 23a2+3又 a1， a的取值范围为23,1)(1,2+3【答案】解：(1)因为函数两相邻对称轴之间的距离是2，所以函数的周期为T=2=，解得=2，将函数f(x)=sin(2x+)+b图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的解析式为y=sin2(x3)+b+2=sin(2x+23)+b+2，因为它的图象关于y轴对称，故23=2+k，kZ，即=76+k，kZ，当k=1时满足条件，即=6，又平移后的图象经过坐标原点，则有sin(623)+b+2=0，解得b=1，所以f(x)=sin(2x+6)1.(2)由题意可得，x0,4，所以2x+66,23，故sin(2x+6)12,1，所以f(x)12，2.设t=f(x)，t12，2，则t2at+a+10恒成立，令g(t)=t2at+a+1，则不等式等价于g(t)max0，则有g(12)0，g(0)0，即14+12a+a+10，a+10，解得a1，所以实数a的取值范围(,1【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的周期性函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为函数两相邻对称轴之间的距离是2，所以函数的周期为T=2=，解得=2，将函数f(x)=sin(2x+)+b图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的解析式为y=sin2(x3)+b+2=sin(2x+23)+b+2，因为它的图象关于y轴对称，故23=2+k，kZ，即=76+k，kZ，当k=1时满足条件，即=6，又平移后的图象经过坐标原点，则有sin(623)+b+2=0，解得b=1，所以f(x)=sin(2x+6)1.(2)由题意可得，x0,4，所以2x+66,23，故sin(2x+6)12,1，所以f(x)12，2.设t=f(x)，t12，2，则t2at+a+10恒成立，令g(t)=t2at+a+1，则不等式等价于g(t)max0，则有g(12)0，g(0)0，即14+12a+a+10，a+10，解得a1，所以实数a的取值范围(,1【答案】解：(1)由f(x)+f(x)=2可得2ax28a=2a(x24)=0显然有解x=2或x=2，故f(x)为“局部中心函数，(2)若f(x)为局部中心函数，则f(x)+f(x)=2有解，得4xm2x+1+m23+4xm2x+1+m23=2，令2x+2x=t2，从而g(t)=t22mt+2m210=0在2,+)有解当g(2)0时，t22mt+2m210=0在2,+)有解，由g(2)0，即2m24m60，解得1m3；当g(2)>0时，t22mt+2m210=0在2,+)有解等价于m>2，=404m20，g(2)=2(m22m3)>0，解得3<m10，综上，所求实数m的取值范围为1<m10.【考点】函数新定义问题函数恒成立问题【解析】（1）由已知中“局部中心函数”的定义，只要检验f(x)+f(x)2是否有解即可(I2)若f(x)是定义域R上的“局部中心函数”，则f(x)+f(x)2有解，求出满足条件的m的取值范围即可【解答】解：(1)由f(x)+f(x)=2可得2ax28a=2a(x24)=0显然有解x=2或x=2，故f(x)为“局部中心函数，(2)若f(x)为局部中心函数，则f(x)+f(x)=2有解，得4xm2x+1+m23+4xm2x+1+m23=2，令2x+2x=t2，从而g(t)=t22mt+2m210=0在2,+)有解当g(2)0时，t22mt+2m210=0在2,+)有解，由g(2)0，即2m24m60，解得1m3；当g(2)>0时，t22mt+2m210=0在2,+)有解等价于m>2，=404m20，g(2)=2(m22m3)>0，解得3<m10，综上，所求实数m的取值范围为1<m10.第17页 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