2020-2021学年湖南省郴州市某校高一（上）期末考试数学试卷.docx

2020-2021学年湖南省郴州市某校高一(上)期末考试数学试卷一、选择题1. 若集合A=0,1,3，B=1,0,2,3，则AB等于( ) A.1,0,1,2,3B.1,0,2,3C.0,1,3D.0,32. 函数fx=lnx+x4的零点所在的区间是( ) A.0,1B.1,2C.2,3D.3,43. 已知a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c的大小关系是( ) A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a4. 已知点Psin,tan在第三象限，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，则角的终边在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 为了得到函数fx=cos2x6的图象，可以将函数gx=cos2x的图象( ) A.向左平移6个单位长度B.向右平移6个单位长度C.向左平移12单位长度D.向右平移12个单位长度6. 在同一直角坐标系中，函数fx=ax和函数g(x)=log1a(x+12)(a>0且a1)的图象可能是( ) A.B.C.D.7. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12（弦矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB的长为83，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(31.73)( ) A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米8. 已知函数fx=e|x2|+x24x+4，则使得不等式f2m+1<fm+2成立的实数m的取值范围是( ) A.(13,12)B.(13,1)C.(12,1)D.(13,1)二、多选题 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A.y=3x3xB.y=ln|x|C.y=tanxD.y=x3 下列命题中正确的是( ) A.第三象限角必大于第二象限角B.命题：“x>0，x20”的否定为：x0，x2<0C.“ab>0”是“ba>0”的充要条件D.函数fx=x+1x+1x>1的值域为1,+) 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为x|2<x<3，则( ) A.a>0B.不等式ax+c>0的解集为x|x<6C.a+b+c>0D.不等式cx2bx+a<0的解集为x|13<x<12 函数fx=Asinx+(A>0，>0，0<<)在一个周期内的图象如图所示，则( ) A.该函数的解析式为fx=2sin2x+3B.该函数的一条对称轴方程为x=6C.该函数的单调递减区间是k+12,k+712，kZD.把函数gx=2sinx+3的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数fx的图象三、填空题 已知幂函数fx=x图象过点(2,12)，则f9=_. 函数fx=x2+10x21的定义域为_. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y=kt,0<t<12,1kt,t12,（如图所示），实验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)对人体无害(1)k=_；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_分钟人方可进入房间. 点P在直径为AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT=1，PAB=TPB=，当四边形ABTP的面积最大时，=_. 四、解答题 点P1,3在角的终边上，sin=3cos，sin+cossincos=2，在这三个条件下任选一个，完成下列问题问题：已知在条件_下， (1)计算2cos3sin+4cos+sin2的值； (2)计算2sin2+cos2+1的值（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分） 已知集合A=x|1<x<3，B=x|k+1<x<3k. (1)当k=1时，求AB； (2)若AB=A，求实数k的取值范围 已知函数fx=9xa3x+1+a+1. (1)若a=1，求不等式fx<0的解集； (2)若x,0时，不等式fx>22a恒成立，求a的取值范围 某市为了确保水资源质量，对所有工厂产生的废水处理有严格的规定：必须经过脱硫过滤，否则不能向外排放，在脱硫过滤过程中废水的污染物数量Pmg/L与时间th之间的关系为P=P0ekt，其中P0，k是正的常数，如果在前2个小时消除了10%的污染物，那么，试求： (1)4h后还剩百分之几的污染物？ (2)需要花多少小时才能使污染物减少50%（精确到1h）？（参考数据：lg20.3010，lg30.4771） 已知函数fx=12sinxcosx32cos2x+341xR. (1)求fx的最小正周期； (2)求f(x)在区间6,3上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值. 若函数y=fx自变量的取值区间为a,b时，函数值的取值区间恰为3b,3a，就称区间a,b为y=fx的一个“罗尔区间”已知函数gx是定义在R上的奇函数，当x0,+时，gx=x+4. (1)求gx的解析式； (2)求函数gx在0,+内的“罗尔区间”； (3)若以函数gx在定义域内所有“罗尔区间”上的图像作为函数y=hx的图像，是否存在实数m，使集合x,y|y=hxx,y|y=x2+m恰含有2个元素若存在，求出实数m的取值集合；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省郴州市某校高一(上)期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】直接根据并集的定义进运算即可.【解答】解： A=0,1,3，B=1,0,2,3， AB=1,0,1,2,3.故选A.2.【答案】C【考点】函数零点的判定定理对数函数的单调性与特殊点【解析】先由对数函数y=lnx的单调性，得出ln2<lne2，ln3>lne，进而判断f1，f2，f3的正负，再应用零点存在性定理判断即可得解.【解答】解： 函数y=lnx在0,+单调递增， ln2<lne2，ln3>lne. f1=ln1+14=3<0，f2=ln2+24=ln22=ln2lne2<0，f3=ln3+34=ln31=ln3lne>0. f2f3<0， 由零点存在性定理，得函数fx=lnx+x4的零点所在的区间为2,3.故选C.3.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则求解【解答】解： 0<a=0.53<0.50=1，b=30.5>30=1，c=log30.5<log31=0， c<a<b.故选B.4.【答案】D【考点】象限角、轴线角三角函数值的符号【解析】利用任意角的三角函数的定义，三角函数在各个象限中的负号，求得角所在的象限【解答】解： 点Psin,tan在第三象限， sin<0，tan<0. 角顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴， 的终边落在第四象限.故选D5.【答案】D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【解析】利用函数y=Asinx+的图象变换规律即可得解【解答】解： fx=cos2x6=cos2x12， 为了得到函数fx=cos2x6的图象，可以将函数gx=cos2x的图象向右平移12个单位长度故选D6.【答案】D【考点】函数的图象复合函数的单调性【解析】本题先由函数gx=log1ax+12过点12,0，排除A、C，再应用函数的单调性可得解.【解答】解： 函数gx=log1ax+12(a>0且a1)的图象经过点12,0，故排除A，C；又 当a>1时，fx=ax在R上单调递增，此时0<1a<1，令t=x+12，则gt=log1at，其中t=x+12在R上单调递增，gt=log1at在定义域内单调递减，由复合函数的同增异减可得gx=log1ax+12在定义域内单调递减，排除B，故D正确.故选D.7.【答案】B【考点】弧长公式扇形面积公式【解析】在RtAOD中，由题意OA=4，DAO=6，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解【解答】解：由题意可AOB=23，OA=4，在RtAOD中， AOD=3， DAO=6， OD=12AO=124=2， 矢=42=2. AD=AOsin3=432=23， 弦=2AD=43， 弧田面积=12(弦矢矢2)=12(432+22)=43+29平方米故选B.8.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合函数的图象变换函数恒成立问题【解析】先由函数的平移变换得出fx=e|x2|+x24x+4与gx=e|x|+x2的关系，再结合gx=e|x|+x2的奇偶性和单调性，可把题中不等式转化为关于m的不等式，再求解不等式即可.【解答】解： fx=e|x2|+x24x+4=e|x2|+x22， f(x)可由gx=e|x|+x2向右平移2个单位得到.又 gx=e|x|+x2是偶函数，且在0,+上单调递增， 不等式f2m+1<fm+2化为2m+12<m+22，解得13<m<1，即实数m的取值范围为(13,1).故选B.二、多选题【答案】A,D【考点】函数奇偶性的判断函数的单调性及单调区间【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义结合函数的性质进行判断即可【解答】解：A，y=3x3x 是奇函数，且在定义域内是增函数，故此选项正确；B，y=ln|x|是偶函数，故此选项不正确；C，y=tanx是奇函数，但在整个定义域内不单调，故此选项不正确；D，y=x3是奇函数，且在定义域内是增函数，故此选项正确故选AD.【答案】C,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断象限角、轴线角命题的否定基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用象限角，全称命题的否定，充分必要条件的判定，基本不等式的运用将各个选项进行逐一分析求解即可.【解答】解：A，第三象限角不一定大于第二象限角，如150为第三象限角，150为第二象限角，故A错误；B，命题：“x>0，x20”的否定为：“x>0，x2<0”，故B错误；C， ab>0等价于ba>0， “ab>0”是“ba>0”的充要条件，故C正确；D，当x>1时，函数fx=x+1x+1=x+1+1x+112(x+1)1x+11=1，当且仅当x+1=1x+1，即x=0时等号成立，所以函数fx=x+1x+1x>1的值域为1,+)，故D正确.故选CD.【答案】B,C,D【考点】一元二次不等式的解法【解析】将各个选项进行逐一分析即可得到答案.【解答】解： 不等式ax2+bx+c>0的解集为x|2<x<3， 2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，故A错误； 2+3=ba，23=ca，解得b=a，c=6a， 不等式ax+c>0等价于ax6a>0，即x6<0，x<6，故B正确；当x=1时，有a+b+c=6a>0，故C正确； 不等式cx2bx+a<0等价于a6x2x1>0，即a3x+12x1>0， 3x+12x1<0，解得13<x<12，故D正确故选BCD.【答案】A,C【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换正弦函数的单调性由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【解析】根据函数的图象先求得函数的解析式，再结合正弦函数的性质进一步求解对应函数的对称轴、单调区间，从而判断四个选项的正误.【解答】解：由图可知A=2，T4=7123=4，故T=. T=2=， =2， fx=2sin2x+.又 函数fx过点(3,0)， f(3)=2sin23+=0，即23+=k，kZ. 0<<， =3， 函数的解析式为fx=2sin2x+3，故A正确；当x=6时，2x+3=26+3=23不是函数f(x)的对称轴，故B错误；令2+2k2x+332+2k，kZ，解得k+12xk+712，kZ，则f(x)的单调递减区间是k+12,k+712，kZ，故C正确；函数gx=2sinx+3的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得hx=2sin12x+3，故D错误.故选AC.三、填空题【答案】19【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据题意，把点的坐标代入幂函数解析式中可得的值，即得幂函数的解析式，再把x=9代入计算即可得解.【解答】解： 幂函数fx=x图象过点(2,12)， f2=2=12，解得=1， fx=x1， f9=91=19.故答案为：19.【答案】x|3x7【考点】函数的定义域及其求法一元二次不等式的解法【解析】要使函数函数fx=x2+10x21有意义，则x2+10x210，解不等式即可.【解答】解： 函数fx=x2+10x21有意义， x2+10x210，即x210x+210，即(x3)(x7)0，解得3x7， 函数f(x)的定义域为x|3x7.故答案为：x|3x7.【答案】2,40【考点】根据实际问题选择函数类型分段函数的应用【解析】（1）把点(12,1)代入函数解析式，即可求出k的值；（2）当t12时，y=12t，令y<0.75得，t>23，所以在消毒后至少经过23小时，即40分钟人方可进入房间【解答】解：由图象可知，当t=12时，y=1，即2k=1，解得k=2. y=2t,0<t<12,12t,t12.当t12时，y=12t，令y<0.75，得t>23， 在消毒后至少经过23小时，即经过40分钟人方可进入房间.故答案为：2；40【答案】38【考点】函数最值的应用两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：作TCPB于C，如图， AB为直径，PT切圆于P点，PT=1， APB=90，PA=cos，PB=sin，TC=sin， S四边形ABTP=SPAB+STPB=12PAPB+12TCPB=12sincos+12sin2=14sin2+1cos24=14sin2cos2+14=24sin24+14. 0<<2， 4<24<34， 当24=2，即=38时，四边形ABTP的面积最大.故答案为：38.四、解答题【答案】解：(1)选择， 点P1,3在角的终边上， tan=3， 原式=2cos+3sin4cossin=2+3tan4tan=7.选择， sin=3cos， 原式=2cos+3sin4cossin=2cos+9cos4cos3cos=7.选择， sin+cossincos=2，即2sin2cos=sin+cos sin=3cos， 原式=2cos+3sin4cossin=2cos+9cos4cos3cos=7.(2)选择， 点P1,3在角的终边上， tan=3， 原式=4sincos+2cos2=4sincos+2cos2sin2+cos2=4tan+2tan2+1=75.选择， sin=3cos， 原式=4sincos+2cos2=14cos2=14cos2sin2+cos2=14cos210cos2=75.选择， sin+cossincos=2，即2sin2cos=sin+cos sin=3cos， 原式=4sincos+2cos2=14cos2=14cos2sin2+cos2=14cos210cos2=75.【考点】三角函数的化简求值二倍角的余弦公式二倍角的正弦公式【解析】暂无.暂无.【解答】解：(1)选择， 点P1,3在角的终边上， tan=3， 原式=2cos+3sin4cossin=2+3tan4tan=7.选择， sin=3cos， 原式=2cos+3sin4cossin=2cos+9cos4cos3cos=7.选择， sin+cossincos=2，即2sin2cos=sin+cos sin=3cos， 原式=2cos+3sin4cossin=2cos+9cos4cos3cos=7.(2)选择， 点P1,3在角的终边上， tan=3， 原式=4sincos+2cos2=4sincos+2cos2sin2+cos2=4tan+2tan2+1=75.选择， sin=3cos， 原式=4sincos+2cos2=14cos2=14cos2sin2+cos2=14cos210cos2=75.选择， sin+cossincos=2，即2sin2cos=sin+cos sin=3cos， 原式=4sincos+2cos2=14cos2=14cos2sin2+cos2=14cos210cos2=75.【答案】解：(1) A=x|1<x<3，当k=1时，B=x|0<x<4， AB=x|0<x<3.(2) AB=A， BA.当B=时，k+13k，解得k1；当B时，由BA，得k+1<3k,k+11,3k3,解得k<1,k2,k0.即0k<1，综上，实数k的取值范围是0,+)【考点】交集及其运算集合关系中的参数取值问题【解析】暂无.暂无.【解答】解：(1) A=x|1<x<3，当k=1时，B=x|0<x<4， AB=x|0<x<3.(2) AB=A， BA.当B=时，k+13k，解得k1；当B时，由BA，得k+1<3k,k+11,3k3,解得k<1,k2,k0.即0k<1，综上，实数k的取值范围是0,+)【答案】解：(1)当a=1时，fx<09x33x+2<0，整理，得3x13x2<0，即1<3x<2，解得0<x<log32，则不等式的解集为0,log32.(2) fx>22a等价于9x3a3x+3a1>0， 9x1>3a3x1，即3x+13x1>3a3x1. x,0， 3x1<0，即3x+1<3a恒成立， 3a30+1=2，解得a23， 实数a的取值范围为a23.【考点】指、对数不等式的解法函数恒成立问题【解析】暂无.暂无.【解答】解：(1)当a=1时，fx<09x33x+2<0，整理，得3x13x2<0，即1<3x<2，解得0<x<log32，则不等式的解集为0,log32.(2) fx>22a等价于9x3a3x+3a1>0， 9x1>3a3x1，即3x+13x1>3a3x1. x,0， 3x1<0，即3x+1<3a恒成立， 3a30+1=2，解得a23， 实数a的取值范围为a23.【答案】解：(1) 当t=0时，P=P0，当t=2时，P=110%P0， 110%P0=P0e2k，解得k=12ln0.9， P=P0et2ln0.9.当t=4时，P=P0e42ln0.9=P0eln0.92=0.81P0，故污染物在4h后还剩81%.(2) 当P=50%P0时，有50%P0=P0et2ln0.9，即12=eln0.9t2， 0.5=0.9t2，即lg0.5=t2lg0.9， t=2lg0.5lg0.9=2lg12lg910=2lg22lg3113.1441.答：需要花14小时才能使污染物减少50%.【考点】函数模型的选择与应用【解析】暂无.暂无.【解答】解：(1) 当t=0时，P=P0，当t=2时，P=110%P0， 110%P0=P0e2k，解得k=12ln0.9， P=P0et2ln0.9.当t=4时，P=P0e42ln0.9=P0eln0.92=0.81P0，故污染物在4h后还剩81%.(2) 当P=50%P0时，有50%P0=P0et2ln0.9，即12=eln0.9t2， 0.5=0.9t2，即lg0.5=t2lg0.9， t=2lg0.5lg0.9=2lg12lg910=2lg22lg3113.1441.答：需要花14小时才能使污染物减少50%.【答案】解：(1) f(x)=12sinxcosx32cos2x+341=14sin2x34cos2x1=12sin2x31， fx的最小正周期为T=22=.(2) x6,3， 2x323,3.当2x3=3，即x=3时，fxmax=341，当2x3=2，即x=12时，fxmin=1211=32.【考点】三角函数的周期性及其求法二倍角的余弦公式二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的单调性函数最值的应用【解析】暂无.暂无.【解答】解：(1) f(x)=12sinxcosx32cos2x+341=14sin2x34cos2x1=12sin2x31， fx的最小正周期为T=22=.(2) x6,3， 2x323,3.当2x3=3，即x=3时，fxmax=341，当2x3=2，即x=12时，fxmin=1211=32.【答案】解：(1) g(x)为R上的奇函数， g(0)=0，又 当x(0,+)时，g(x)=x+4， 当x(,0)时，x(0,+)，g(x)=g(x)=(x)+4=x4， g(x)=x4,x<0,0,x=0,x+4,x>0.(2)设0<a<b， g(x)在(0,+)上单调递减， 3b=g(b)=b+4,3a=g(a)=a+4,即a，b是方程3x=x+4的两个不等正根 0<a<b， a=1,b=3, g(x)在(0,+)内的“罗尔区间”为1,3.(3)设a,b为g(x)的一个“罗尔区间”，则a<b,3b<3a, a，b同号当a<b<0时，同理可求g(x)在(,0)内的“罗尔区间”为3,1， h(x)x+4,x1,3，x4,x3,1.依题意，抛物线y=x2+m与函数hx的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，所以m应当使方程x2+m=x+4在1,3内恰有一个实数根，并且使方程x2+m=x4，在3,1内恰有一个实数根由方程x2+m=x+4，即x2+x+m4=0在1,3内恰有一根，令Fx=x2+x+m4，则F1=m20,F3=m+80,解得8m2；由方程x2+m=x4，即x2+x+m+4=0在3,1内恰有一根，令Gx=x2+x+m+4，则G1=m+40,G3=m+100,解得10m4综上所述，实数m的取值集合为m|8m4.【考点】函数奇偶性的性质函数的单调性及单调区间函数新定义问题一元二次方程的根的分布与系数的关系由函数零点求参数取值范围问题【解析】暂无.暂无.暂无.【解答】解：(1) g(x)为R上的奇函数， g(0)=0，又 当x(0,+)时，g(x)=x+4， 当x(,0)时，x(0,+)，g(x)=g(x)=(x)+4=x4， g(x)=x4,x<0,0,x=0,x+4,x>0.(2)设0<a<b， g(x)在(0,+)上单调递减， 3b=g(b)=b+4,3a=g(a)=a+4,即a，b是方程3x=x+4的两个不等正根 0<a<b， a=1,b=3, g(x)在(0,+)内的“罗尔区间”为1,3.(3)设a,b为g(x)的一个“罗尔区间”，则a<b,3b<3a, a，b同号当a<b<0时，同理可求g(x)在(,0)内的“罗尔区间”为3,1， h(x)x+4,x1,3，x4,x3,1.依题意，抛物线y=x2+m与函数hx的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，所以m应当使方程x2+m=x+4在1,3内恰有一个实数根，并且使方程x2+m=x4，在3,1内恰有一个实数根由方程x2+m=x+4，即x2+x+m4=0在1,3内恰有一根，令Fx=x2+x+m4，则F1=m20,F3=m+80,解得8m2；由方程x2+m=x4，即x2+x+m+4=0在3,1内恰有一根，令Gx=x2+x+m+4，则G1=m+40,G3=m+100,解得10m4综上所述，实数m的取值集合为m|8m4.第25页 共26页 第26页 共26页