函数奇偶性、单调性和周期性问题（1　导学案—— 高三数学一轮复习函数专题7.docx

函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）题型一：利用奇偶性求参数例题1设是定义域为的奇函数，当时，（m为常数），则（ ）ABCD 例题2已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ）A-4B-3C-2D-1 变式训练1已知定义在上的奇函数，当时，则的值为（ ）AB8CD24 变式训练2已知函数是奇函数，则实数的值为（ ）ABCD 变式训练3“”是“函数为奇函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 题型二：利用奇偶性和单调性解不等式例题1已知是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD 例题2定义在R上的偶函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ）ABCD 变式训练1设定义在R上的奇函数满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）ABCD 变式训练2已知偶函数在上单调递增则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 变式训练3已知函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）ABCD 题型三：构造奇偶性求值例题1已知函数f(x)ax3bx1(ab0)，若f(2021)k，则f(2021)等于（ ）AkBkC1kD2k 例题2已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）ABCD 变式训练1已知函数y = f（x）+x是偶函数，且f（2）= 3 ，则f（-2）=（ ）A-7B7C-5D5 变式训练2已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则等于（ ）A4B3C2D1 变式训练3已知函，且，则（ ）ABC11D13题型四：利用函数周期性求解例题1已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时，则=（ ）A20192B1C0D 例题2已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）ABCD 变式训练1函数的定义域为，且，当时，则（ ）ABCD 变式训练2已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，则（ ）ABCD 变式训练3已知定义在上的函数满足，当时，当时，则（ ）AB0C1D2 函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）课后巩固练习1若函数，（a，）为奇函数，则的值为（）ABC1D4 2已知为上的奇函数，且，若当，则（ ）ABCD 3已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ）ABCD 4若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）ABCD 5定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，则不等式的解集是（ ）ABCD 6已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）AB1CD2 7若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（ ）A或B或C或D 8已知函数，若f(x)满足，则f（6）（ ）A6B0C6D12 9函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为（ ）ABCD 10已知函数，则（ ）ABCD 11已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A0B2C3D 12已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则（ ）ABCD 13定义在R上的函数满足，当时，当时，则（ ）A336B338C337D339 14已知定义域为的奇函数满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）ABCD 15若对于定义在R上的函数，当且仅当存在有限个非零自变量x，使得，则称为类偶函数，若函数为类偶函数，则a的取值范围为（ ）ABCD 16已知定义在上的奇函数，当时，则_ 17若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式解集为_. 18函数，其中为上的偶函数，若，则_. 19已知函数，若的最大值为，最小值为，则_. 20设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_. 21已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求a，b的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式，. 22已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）解关于的不等式：. 23已知函数f(x)a是定义域为R的奇函数.（1）求实数a的值；（2）当x3，9时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 24已知是定义在上的奇函数，且当时，（1）求在上的解析式；（2）求在上的值域；（3）求的值. 25设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2（1）求证：f(x)是周期函数；（2）当x2，4时，求f(x)的解析式；（3）计算f(0)f（1）f（2）f(2019) 函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）解析题型一：利用奇偶性求参数例题1 【答案】C【分析】先求出m，再利用代入求解即可.【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，因为当时，所以，解得，所以当时， 所以.故选：C.例题2 【答案】A【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解.【详解】解：因为是奇函数且，所以，又当时，所以，解得，故选：A.变式训练1 【答案】A【分析】根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性和题设条件，得到，即可求解.【详解】由题意，定义在上的奇函数，可得，解得，又由当时，所以，故选：A.变式训练2 【答案】B【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】因为，则，因为函数为奇函数，则，故.故选：B.变式训练3 【答案】A【分析】判断以“”和“函数为奇函数”分别为题设和结论，结论和题设的两个命题的真假即可得解.【详解】当时，其定义域为R，有，则为奇函数；当是奇函数时，则有，解得，即为奇函数时，a可以不等于1，所以“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A题型二：利用奇偶性和单调性解不等式例题1 【答案】A【分析】由是定义在上的奇函数，且在时，单调递减，所以在上为减函数，利用函数单调性解不等式即可.【详解】易知函数在上为减函数不等式可化为，所以，解得故选：A例题2 【答案】C【分析】根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式【详解】由对任意的，可知函数在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以当或时，当时，不等式可转化为，所以或，所以或故选：C变式训练1 【答案】C【分析】根据奇函数将转化为，进而转变为或，然后根据函数的单调性与奇偶性解不等式即可【详解】因为为奇函数，所以，所以，因为对任意，且，都有，所以在单调递减，因此在单调递减，且，所以，故或，故或，故选：C变式训练2 【答案】A【分析】由于偶函数在上单调递增，则可得在上单调递减，所以由，可得，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】由题知在上单调递减，则当时，所以“”是“”的充分不必要条件故选：A变式训练3 【答案】C【分析】先由函数是奇函数求出，化原不等式为，再由函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为为奇函数，若，则，所以不等式可化为，又在上单调递减，所以，解得.故选：C题型三：构造奇偶性求值例题1 【答案】D【分析】方法一：令g(x)ax3bx(ab0)，g(x)是奇函数，利用奇偶性即可求解；方法二：f(x)f(x)2，即可求解.【详解】方法一：令g(x)ax3bx(ab0)，则g(x)是奇函数，从而f(2021)g(2021)1g(2021)1.又因为f(2021)k，所以g(2021)k1，从而f(2021)(k1)12k. 方法二：因为f(x)f(x)ax3bx1ax3bx12，所以f(2021)f(2021)2.又因为f(2021)k，所以f(2021)2k.故选：D例题2 【答案】C【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，由此可解得的值.【详解】由已知可得，因为为偶函数，为奇函数，所以，联立，解得.故选：C.变式训练1 【答案】B【分析】首先设，利用，求的值.【详解】设，所以，所以.故选：B变式训练2 【答案】B【分析】由奇偶性得，进而得，再解方程即可得答案.【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以又因为，所以，所以故选：B变式训练3 【答案】C【分析】令，则，则先判断函数，进而可得，即，结合已知条件即可求的值.【详解】令，则，因为，所以，则，又因为，则，故选：C题型四：利用函数周期性求解例题1 【答案】D【分析】由可得函数的周期为4，然后利用周期对化简，再结合奇函数的性质和已知区间上的解析式可求得结果【详解】因为，所以，所以函数的周期为4，因为为在R上的奇函数，且当时，所以，故选：D例题2 【答案】D【分析】推导出函数是周期为的周期函数，求出、的值，即可得解.【详解】由得，所以函数是周期为的周期函数，又是奇函数，所以，所以，所以，故选：D变式训练1 【答案】C【分析】利用函数周期性可求得的值.【详解】由题意可知，函数是周期函数，且为函数的一个周期，所以，.故选：C.变式训练2 【答案】D【分析】利用函数的周期和奇偶性可求得的值.【详解】由已知条件可得.故选：D.变式训练3 【答案】A【详解】因为，所以，所以是周期函数，6是一个周期，故选：A函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）课后巩固练习1【答案】B【分析】因为函数是奇函数，通过带特殊值可以求出的值，从而得到答案【详解】利用和可得： 解得：，所以，.故选B.2【答案】C【分析】分析可知是周期为的周期函数，由题中条件可得，求出的值，进而可得出，即可得解.【详解】因为，则，所以函数是周期为的周期函数，因为函数为上的奇函数，当时，则，可得，故当时，所以，.故选：C.3【答案】B【分析】由偶函数定义可构造方程求得，由此得到解析式；由已知等式可得到，根据，配凑出基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果.【详解】为上的偶函数，即，即，整理得：，即；（当且仅当，即时取等号）；的最小值为.故选：B.4【答案】A【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：A.5【答案】C【分析】由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的,作出函数的示意图，即可得到答案；【详解】解：由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的,故关于点对称,它的单调性示意图,如图所示:根据不等式可得,的符号和的符号相反,的解集为，故选：C6【答案】C【分析】由的性质知：在上递减且，结合题设不等式可得求的范围，即可知最小值.【详解】由题设，在上递减，由偶函数知：，即，则，得.故的最小值是.故选：C7【答案】D【分析】分析出偶函数在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】、都有，不妨设，则，故函数在上为增函数，因为函数为偶函数，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.8【答案】D【分析】将变形为，令，则是奇函数，再结合，利用奇函数的性质计算即可.【详解】，令，则，所以是奇函数，所以，又，所以.故选：D9【答案】C【分析】令，探讨函数的奇偶性，求出在区间上的最大值与最小值和即可得解.【详解】依题意，令，显然函数定义域为R，则，即函数是奇函数，因此，函数在区间上的最大值与最小值和为0，而，则有，于是得，所以的值为2.故选：C10【答案】B【分析】判断函数是奇函数，即得解.【详解】由题得，所以函数是奇函数，所以.故选：B.【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性，一般利用函数的定义判断，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.11【答案】A【分析】利用已知条件推出当时，再根据周期性和奇偶性求出和再相加即可得解.【详解】当时，所以即当时，所以，所以f(2 015)f(2 017).故选：A12【答案】B【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，故，代入解析式即得解【详解】为奇函数, ，偶函数，即，令，则，故函数周期为4故选：B13【答案】B【分析】根据得出函数周期为6，进而算出，然后将2023除以6得出余数，最后根据函数的周期性得到答案.【详解】因为，所以函数的周期T=6，于是，所以，而2023=6337+1，所以3371+1=338.故选：B.14【答案】B【分析】是周期为4的函数，且是奇函数，0在函数定义域内，故，得，先得到一个周期内的解析式，求出该周期内使成立的的范围，从而推出的范围，再分的范围讨论即可.【详解】解：由题意，为周期为4的函数，且是奇函数0在函数定义域内，故，得，所以当时，当时，此时，又知道，所以以为对称轴，且当时单调递增，当时单调递减.当时，令，得，或，所以在内当时，设，若对于都有，所以因为，所以当时，在上单调递减，故得，无解.时，此时最大，最小，即得.当时，即，此时最小，最大，即得，当时，在上单调递增，故解得，综上.故选：B.【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识属于难题.15【答案】D【分析】有有限个非零解,化简为有有限个非零解，即，即可解得答案【详解】根据题意,由有有限个非零解,即有有限个非零解，即有有限个非零解,即有有限个非零解，即,解得:，故选:.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的判断,难度较难.16 【答案】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，再由奇函数的定义即可求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，可得，解得：，又由当时，所以，故答案为：.17 【答案】【分析】将原不等式等价变形为，分析函数在、上的单调性，分、两种情况解原不等式，即可得解.【详解】因为函数为上的奇函数，则，因为，则.因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数.当时，则，可得；当时，则，可得.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.18 【答案】3【分析】根据题意，设，则，利用定义法判断函数的奇偶性得出为上的奇函数，结合题意，可知，从而由求出，再由即可求出结果.【详解】解：由题可知，设，则，即，所以为上的奇函数，由于，为上的偶函数，则，又因为，所以，即，所以，所以.故答案为：3.19 【答案】【分析】先对变形得，再构造函数，判断为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案【详解】由题意可得，令，则，因为所以为奇函数，所以在最大值与最小值之和为0，所以.故答案为：8【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，解决本题的关键是将函数变形，得到后，判断函数为奇函数，考查计算能力，属于中档题20 【答案】【分析】由为奇函数，为偶函数可得为周期为4的周期函数，再由，联立可得，结合周期性，代入解析式即得解【详解】由题意，为奇函数，所以又为偶函数，所以，即为周期为4的周期函数因为为奇函数，故又联立可得：，故当时，则故答案为：21【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.【分析】（1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解；（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；（3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以，所以检验：，为奇函数满足题意（2）在上递增，证明如下：任取，其中，所以，故在上递增.（3）由可得，因为是定义在上的奇函数，所以，因为是增函数，所以，即，解得：，所以不等式的解集为.22【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）由以及即可求得的值，再检验是否满足奇函数即可；（2）利用单调性的定义证明，取值、作差、变形、定号、下结论即可；（3）由奇偶性和单调性去掉，可得关于的不等式，再结合定义域解不等式组即可求解.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，因为，解得：，所以，经检验是定义在上的奇函数，符合题意，所以；（2）函数在上是增函数，证明如下：任取，则，因为，所以，所以即，所以函数在上是增函数；（3）由可得，因为是定义在上的奇函数，所以，因为是增函数，所以，即，解得：，所以不等式的解集为.23【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据函数的奇偶性求出的值；（2）根据函数的单调性的定义证明函数为减函数，根据函数的单调性得到对，恒成立，令，问题转化为对，恒成立，令，根据函数的单调性求出的范围即可【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，解得经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为；（2）设，且，则，即，所以是上的减函数，由，可得是上的奇函数，又是上的减函数，所以对，恒成立，令，对，恒成立，令，解得，所以实数的取值范围为，24【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）令,则,代入解析式可求得.再根据奇函数性质即可求得在上的解析式;（2）利用分析法,先求得当时,的值域,即可逐步得到在上的值域;（3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验的值,即可由函数的性质求解.【详解】（1）当时,因为是上的奇函数所以,（2）当时,所以在上的值域为；（3）当时,所以,故.【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题.25【答案】（1）证明见解析；（2）x2，4时，f(x)x26x8；（3）0【分析】（1）根据f(x2)f(x)，f(x)是定义在R上的奇函数，及周期函数的定义即可得证；（2）根据函数的奇偶性可求得函数在x2，0的函数解析式，再根据函数的周期性即可求得函数在x2，4时的解析式；（3）根据（1）（2）求得f(0)，f（2），f（1）1，f（3），再根据函数的周期性即可求解.【详解】（1）f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数（2）当x2，0时，x0，2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2f(x)x22x又当x2，4时，x42，0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8从而求得x2，4时，f(x)x26x8（3）f(0)0，f（2）0，f（1）1，f（3）1又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f（1）f（2）f（3）f(4)f(5)f(6)f(7)f(2016)f(2017)f(2018)f(2019)0f(0)f（1）f（2）f(2019)0