数值分析 常微分方程初值问题的幻灯片.ppt

数值分析 常微分方程初值问题的第1页，共45页，编辑于2022年，星期六考虑一阶常微分方程的初值问题考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件条件，即存在与即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的 y1(x)和和 y2(x)都成立，则上述都成立，则上述IVP存存在唯一解。在唯一解。要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x0 x10,使得使得对一切对一切 成立成立,则该方法收敛则该方法收敛,且有且有 由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶由该定理可知整体截断误差总比局部截断误差低一阶 第19页，共45页，编辑于2022年，星期六对改进的对改进的Euler法法,于是有于是有 设设L为为f关于关于y的的Lipschitz常数常数,则由上式可得则由上式可得限定限定h即可知即可知Q满足满足Lipschitz条件条件,故而改进的故而改进的Euler法收敛法收敛.第20页，共45页，编辑于2022年，星期六3.稳定性稳定性一般分析时为简单起见，只考虑一般分析时为简单起见，只考虑模型方程模型方程常数，可以是常数，可以是复数复数第21页，共45页，编辑于2022年，星期六一般分析时为简单起见，只考虑一般分析时为简单起见，只考虑模型模型方程方程 当步长取为当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差在初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于该算法相对于 绝对稳定绝对稳定，的全体构成的全体构成绝对稳定区绝对稳定区域域。我们称。我们称方法方法A 比方法比方法B 稳定稳定，就是指，就是指 A 的绝对稳定的绝对稳定区域比区域比 B 的的大大。hl l h=h第22页，共45页，编辑于2022年，星期六例：例：考察显式欧拉法的稳定性考察显式欧拉法的稳定性 0-1-2ReImg例：例：考察梯形的稳定性考察梯形的稳定性 可见绝对稳定条件是：可见绝对稳定条件是：显式欧拉法的稳定性条件是显式欧拉法的稳定性条件是第23页，共45页，编辑于2022年，星期六可见绝对稳定区域为：可见绝对稳定区域为：210ReImg注：注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法好。式法好。解：解：第24页，共45页，编辑于2022年，星期六两式相减，得两式相减，得第25页，共45页，编辑于2022年，星期六隐式隐式欧拉公式是一阶方法欧拉公式是一阶方法第26页，共45页，编辑于2022年，星期六例：例：对于常微分方程初值问题对于常微分方程初值问题证明证明隐式隐式欧拉公式欧拉公式是一阶方法。是一阶方法。解：解：隐式隐式欧拉公式是一阶方法欧拉公式是一阶方法第27页，共45页，编辑于2022年，星期六第二节第二节 高精度的单步法高精度的单步法 在高精度的单步法中在高精度的单步法中,应用最广泛的是应用最广泛的是Runge-Runge-Kutta(Kutta(龙格龙格-库塔库塔)方法方法一一、基本原理基本原理第28页，共45页，编辑于2022年，星期六第29页，共45页，编辑于2022年，星期六Runge-Kutta法的一般形式法的一般形式第30页，共45页，编辑于2022年，星期六二、二阶龙格库塔方法二、二阶龙格库塔方法第31页，共45页，编辑于2022年，星期六第32页，共45页，编辑于2022年，星期六第33页，共45页，编辑于2022年，星期六第34页，共45页，编辑于2022年，星期六第35页，共45页，编辑于2022年，星期六三、三阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法第36页，共45页，编辑于2022年，星期六四、四阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法第37页，共45页，编辑于2022年，星期六第38页，共45页，编辑于2022年，星期六第39页，共45页，编辑于2022年，星期六两点说明两点说明:第40页，共45页，编辑于2022年，星期六R-K方法的绝对稳定区域第41页，共45页，编辑于2022年，星期六第42页，共45页，编辑于2022年，星期六五、变步长的龙格五、变步长的龙格库塔方法库塔方法第43页，共45页，编辑于2022年，星期六第44页，共45页，编辑于2022年，星期六习题九：习题九：P350-5，8第45页，共45页，编辑于2022年，星期六