二次曲线的一般理论精选PPT.ppt

关于二次曲线的一般理论第1页，讲稿共45张，创作于星期一5.2 5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向二次曲线的渐近方向 定义定义5.2.1 满足条件满足条件(X,Y)=0的方向的方向X:Y叫做二次曲线叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向的渐近方向，否则叫做非渐近方向。事事实实上，上，为渐为渐近方向近方向 第2页，讲稿共45张，创作于星期一事事实实上，上，为渐为渐近方向近方向 第3页，讲稿共45张，创作于星期一可可见见，对椭圆对椭圆，对对双曲双曲线线 它有二不同它有二不同实渐实渐近方向；近方向；它有二相同的它有二相同的实渐实渐近方向；近方向；，它没有它没有实渐实渐近方向；近方向；对对抛物抛物线线对对双曲双曲线线 它也有二不同它也有二不同实渐实渐近方向；近方向；，第4页，讲稿共45张，创作于星期一 定义定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的近方向的二次曲线叫做双曲型的。即即:椭圆型椭圆型:I20；抛物型抛物型:I20；双曲型双曲型:I202.二次曲线的中心与渐近线二次曲线的中心与渐近线 定义定义5.2.3 如果点如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中是二次曲线的通过它的所有弦的中点点(C是二次曲线的对称中心是二次曲线的对称中心)，那么点那么点C叫做二次曲线的中心叫做二次曲线的中心。定理定理5.2.1 点点C(x0,y0)是二次曲线是二次曲线(1)的中心的中心，其充要条件其充要条件是是：第5页，讲稿共45张，创作于星期一二次曲线二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：的的中心坐标由下方程组决定：如果如果I20，则，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标有唯一解，即为唯一中心坐标如果如果I20，分两种情况：，分两种情况：第6页，讲稿共45张，创作于星期一 定义定义5.2.45.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次非中心二次曲线曲线。二次曲线分类：二次曲线分类：第7页，讲稿共45张，创作于星期一 渐近线求法渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。线的参数方程。定义定义5.2.55.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。可可见见：椭圆椭圆型二次曲型二次曲线线没有没有实渐实渐近近线线;双曲型二次曲双曲型二次曲线线有二不同有二不同实渐实渐近近线线;而而对对抛物型二次曲抛物型二次曲线线,若其若其为为无心的无心的,则则其没有其没有渐渐近近线线,若其若其为线为线性的性的,则则由于其由于其渐渐近方向近方向为为，而，而这这正是中心直正是中心直线线的方向，的方向，它的它的渐渐近近线线即即为为中心直中心直线线。第8页，讲稿共45张，创作于星期一 定理定理5.2.25.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。则则l与曲与曲线线不相交，不相交，第9页，讲稿共45张，创作于星期一5.3 二次曲线的直径1.二次曲线的直径二次曲线的直径 在在5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一这两点决定了二次曲线的一条弦条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.第10页，讲稿共45张，创作于星期一 求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.即即 ，解解而而 是平行于方向是平行于方向 的弦的中点，的弦的中点，设设 是二次曲线的一个非渐近方向，是二次曲线的一个非渐近方向，那么过那么过 的弦的方程为的弦的方程为它与二次曲线它与二次曲线 的两交点的两交点(即弦的两端点即弦的两端点)由下列二次方程由下列二次方程第11页，讲稿共45张，创作于星期一(1)从而有从而有(5.3-1)两根两根 与与 所决定所决定,因为因为 为弦的中点，所以有为弦的中点，所以有这就是说平行于方向这就是说平行于方向 的弦的中点的弦的中点 的的坐标满足方程坐标满足方程第12页，讲稿共45张，创作于星期一即即(5.3-2)或或上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若则则一条直线一条直线.(5.3-3)所以所以(5.3-3)或或(5.3-1)是一个二元一次方程，它是是一个二元一次方程，它是反过来，反过来，这与这与 是非渐近方向的假设矛盾，是非渐近方向的假设矛盾，(5.3-1)第13页，讲稿共45张，创作于星期一定理定理 5.3.1二次曲线的一族平行弦的中点二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线轨迹是一条直线.如果点如果点满足方程满足方程(5.3-1)(5.3-1)那么方程那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，中将有绝对值相等而符号相反的两个根，(1)点点 就是具有方向就是具有方向 的弦的中点，的弦的中点，因此方程因此方程(5.3-1)为一族平行于某一非渐近方向为一族平行于某一非渐近方向 的弦的中点轨迹方程的弦的中点轨迹方程.得到了结论定理！得到了结论定理！下面引进二次曲线直径的概念下面引进二次曲线直径的概念第14页，讲稿共45张，创作于星期一定义定义 5.3.1 二次曲线的平行弦中点的轨迹二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径平行弦方向的直径.有多少条直径有多少条直径?（5.3-4）推论推论 如果二次曲线的一族平行弦的方向为如果二次曲线的一族平行弦的方向为 ，那，那么共轭于这族平行弦的直径方程是么共轭于这族平行弦的直径方程是第15页，讲稿共45张，创作于星期一中心与非中心二次曲线的直径中心与非中心二次曲线的直径1.中心二次曲线中心二次曲线中心满足中心满足:(2)(3)直径方程直径方程:所以所以,直径过中心直径过中心.所有直径都过中心所有直径都过中心第16页，讲稿共45张，创作于星期一1.非中心二次曲线非中心二次曲线非中心二次曲线满足非中心二次曲线满足(2)(3)又分两种情形又分两种情形或或无心曲线：无心曲线：直径平行渐近方向直径平行渐近方向因直径方程因直径方程:第17页，讲稿共45张，创作于星期一方向矢量方向矢量容易验证容易验证是渐近方向是渐近方向;因为此时：因为此时：线心曲线：线心曲线：直径就是其中心直线直径就是其中心直线可以化为可以化为因为直径方程因为直径方程第18页，讲稿共45张，创作于星期一或或定理定理 5.3.2 中心二次曲线的直径通过曲线中心二次曲线的直径通过曲线中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线就是曲线的中心直线.因此当因此当 ，即二次曲线为中心曲线时，即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；中心就是二次曲线的中心；当当 ，即，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；第19页，讲稿共45张，创作于星期一例例 1 求椭圆或双曲线求椭圆或双曲线 的直径的直径.解解(5.3-1)显然，直径通过曲线的中心显然，直径通过曲线的中心根据根据(5.3-1),共轭于非渐近方向共轭于非渐近方向 的直径方程是的直径方程是第20页，讲稿共45张，创作于星期一例例 2 解解求抛物线求抛物线 的直径的直径.所以共轭于非渐近方向所以共轭于非渐近方向 的直径为的直径为即即所以抛物线所以抛物线 的直径平行于它的渐近方向的直径平行于它的渐近方向(5.3-1)第21页，讲稿共45张，创作于星期一解解直径方程为直径方程为即即例例 3 求二次曲线求二次曲线的共轭于非渐近方向的共轭于非渐近方向 的直径的直径.因为已知曲线因为已知曲线 的渐近方向为的渐近方向为所以对于非渐近方向所以对于非渐近方向 一定有一定有 第22页，讲稿共45张，创作于星期一2.共轭方向与共轭直径共轭方向与共轭直径所以有所以有其中其中(4)我们把二次曲线的与非渐近方向我们把二次曲线的与非渐近方向 共轭的直径方向共轭的直径方向叫做非渐近方向叫做非渐近方向 的共轭方向，的共轭方向，因此曲线的共轭于非渐近方向因此曲线的共轭于非渐近方向 的直径为的直径为第23页，讲稿共45张，创作于星期一因此有因此有所以所以另外又有另外又有 ，因此得以下结论因此得以下结论因为因为 为非渐近方向，为非渐近方向，第24页，讲稿共45张，创作于星期一这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.(5.3-5)非渐近方非渐近方向向当当 即二次曲线为中心曲线时，即二次曲线为中心曲线时，；当当 即二次曲线为非中心曲线时，即二次曲线为非中心曲线时，从从(5.3-5)式看出，两个方向式看出，两个方向 与与 是对称是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方向的，因此对中心曲线来说，非渐近方向 的共的共轭方向为轭方向为 ，而，而 的共轭方向就是的共轭方向就是 由由(4)得二次曲线的非渐近方向得二次曲线的非渐近方向 与它的与它的共轭方向共轭方向 之间的关系之间的关系(4)第25页，讲稿共45张，创作于星期一 中心曲线的一对具有相互共轭方向中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径的直径叫做一对共轭直径.定义定义 5.3.2设设代入代入(5.3-5)，得，得(5.3-6)这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式.(5.3-5)第26页，讲稿共45张，创作于星期一即即(5.3-7)有着关系有着关系例如椭圆例如椭圆的一对共轭直径的斜率的一对共轭直径的斜率与与而双曲线而双曲线 的一对共轭直径的斜率的一对共轭直径的斜率 与与 有着关系有着关系(5.3-8)第27页，讲稿共45张，创作于星期一在在(5.3-5)中，如果设中，如果设那么有那么有因此如果对二次曲线的共轭方向从因此如果对二次曲线的共轭方向从(5.3-5)作代数的推广作代数的推广,那么渐近方向可以看成与自己共轭的方向，从而渐近线也就那么渐近方向可以看成与自己共轭的方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径可以看成与自己共轭的直径.(5.3-5)显然此时显然此时 为二次曲线的渐近方向为二次曲线的渐近方向.第28页，讲稿共45张，创作于星期一 二次曲线的垂线于其共轭弦的二次曲线的垂线于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.5.4 二次曲线的主直径与主方向二次曲线的主直径与主方向定义定义 5.4.1 显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点曲线的顶点.现在我们来求二次曲线现在我们来求二次曲线(1)的主方向与主直径的主方向与主直径.第29页，讲稿共45张，创作于星期一，那么，那么(2)或或(3)（4）1.如果二次曲线如果二次曲线(1)为中心曲线为中心曲线那么与二次曲线那么与二次曲线(1)的非渐近方向的非渐近方向共轭的直径为共轭的直径为设直径的方向为设直径的方向为根据主方向的定义，根据主方向的定义，成为主方向的条件是它成为主方向的条件是它垂直与它的共轭方向垂直与它的共轭方向在直角坐标系下有，在直角坐标系下有，即即第30页，讲稿共45张，创作于星期一因此因此 成为中心二次曲线成为中心二次曲线(1)的主方向的条件是的主方向的条件是(5.4-1)或把它改写成或把它改写成 这是一个关于这是一个关于 的齐次线性方程组，而的齐次线性方程组，而 不能全为零，所以不能全为零，所以成立，其中成立，其中第31页，讲稿共45张，创作于星期一(5.4-3)即即那么它的任何直径的方向是它的惟一的渐近方向那么它的任何直径的方向是它的惟一的渐近方向而垂直于它的方向显然为而垂直于它的方向显然为2.如果二次曲线如果二次曲线(1)为非中心二次曲线为非中心二次曲线因此对于中心二次曲线来说，只要由因此对于中心二次曲线来说，只要由(5.4-3)解出解出 ，再代入再代入(5.4-1)就能得到它的主方向就能得到它的主方向.(5.4-)第32页，讲稿共45张，创作于星期一所以非中心二次曲线所以非中心二次曲线(1)的主方向：的主方向：渐近主方向渐近主方向（5）非渐近主方向非渐近主方向（6）正是非中心二次曲线的渐近主方向正是非中心二次曲线的渐近主方向(5)与非渐近主方向与非渐近主方向(6).注意到注意到此时方程此时方程(5.4-3)的两根为的两根为把它代入把它代入(5.4-1)所得到的主方向所得到的主方向(5.4-1)第33页，讲稿共45张，创作于星期一 因此，一个方向因此，一个方向 成为二次曲线成为二次曲线(1)的主方向的主方向的条件是的条件是(5.4-1)成立，这里的成立，这里的 是方程是方程(5.4-2)或或(5.4-3)的根的根.定义定义 5.4.2 方程方程(5.4-2)或或(5.4-3)叫做二次曲线叫做二次曲线(1)的特征方程，的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根特征方程的根叫做二次曲线的特征根.总结总结:1)从二次曲线从二次曲线(1)的特征方程的特征方程(5.4-3)求出特征根求出特征根 ,把它代入把它代入(5.4-1).我们就得到相应的主方向我们就得到相应的主方向.2)如果主方向为非渐近方向，那么根据如果主方向为非渐近方向，那么根据(5.4-1)就能得到就能得到共轭于它的主直径共轭于它的主直径.(5.4-3)(5.4-5.4-)第34页，讲稿共45张，创作于星期一证证如果二次曲线的特征根全为零如果二次曲线的特征根全为零,那么得那么得因为特征方程的判别式因为特征方程的判别式所以二次曲线的特征根都是实数所以二次曲线的特征根都是实数.定理定理 5.4.2 二次曲线的特征根不能全为零二次曲线的特征根不能全为零.证证即即与与从而得从而得这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零根不能全为零.定理定理 5.4.1 二次曲线的特征根都是实数二次曲线的特征根都是实数.第35页，讲稿共45张，创作于星期一 由二次曲线由二次曲线(1)的特征根的特征根 确定的主方确定的主方向向 ，当，当 时，为二次曲线的非渐近方向；时，为二次曲线的非渐近方向；当当 时，为二次曲线的渐近主方向时，为二次曲线的渐近主方向.定理定理 5.4.3证证 因为因为所以由所以由(5.4-1)得得又因为又因为 不全为零，所以当不全为零，所以当 时，时，为二次曲线为二次曲线(1)的非渐近主方向的非渐近主方向;第36页，讲稿共45张，创作于星期一当当 时，时，为二次曲线为二次曲线(1)的的渐近主方向渐近主方向.定理定理 5.4.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径中心二次曲线只有一条主直径.证证由二次曲线由二次曲线(1)的特征方程的特征方程(5.4-3)解得两特征根为解得两特征根为 10 当二次曲线当二次曲线(1)为中心曲线时，为中心曲线时，.如果如果特征方程的判别式特征方程的判别式那么那么 这时的中心曲线为圆这时的中心曲线为圆(包括点包括点第37页，讲稿共45张，创作于星期一圆和虚圆圆和虚圆)，它的特征根为一对二重根，它的特征根为一对二重根.把它代入把它代入(5.4-1)或或(5.4-1)，则得到两个恒等式，则得到两个恒等式，它被任何方向它被任何方向 所满足，所以任何实数方向都是所满足，所以任何实数方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是直圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是直径径.而且都是圆的主直径而且都是圆的主直径.如果特征方程的判别式如果特征方程的判别式那么特征根为两个不等的非零实根那么特征根为两个不等的非零实根 .将它们分将它们分别代入别代入(5.4-1)得相应的两非渐近主方向为得相应的两非渐近主方向为第38页，讲稿共45张，创作于星期一（7）（8）这两个方向相互垂直，它们又互相共轭，这两个方向相互垂直，它们又互相共轭，因此因此非圆的中心二次曲线有而且只有一对互相垂直从而又非圆的中心二次曲线有而且只有一对互相垂直从而又互相共轭的主直径互相共轭的主直径.20 当二次曲线当二次曲线(1)为非中心曲线时，为非中心曲线时，这，这时两特征根为时两特征根为所以它只有一个非渐近的主方向，即与所以它只有一个非渐近的主方向，即与 相应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径相应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径.第39页，讲稿共45张，创作于星期一例例 1 求求 的主方向的主方向与主直径与主直径.解解曲线为中心曲线，它的特征方程为曲线为中心曲线，它的特征方程为第40页，讲稿共45张，创作于星期一解这个方程得两特征根为：解这个方程得两特征根为：由特征根由特征根 确定的主方向为确定的主方向为由特征根由特征根 确定的主方向为确定的主方向为第41页，讲稿共45张，创作于星期一又因为又因为所以曲线的主直径为所以曲线的主直径为与与即即与与第42页，讲稿共45张，创作于星期一例例 2 求曲线求曲线 的主方向与主直径的主方向与主直径.解解曲线为非中心曲线，它的特征方程为：曲线为非中心曲线，它的特征方程为：因此两特征根为因此两特征根为由这两特征根所确定的主方向为：由这两特征根所确定的主方向为：第43页，讲稿共45张，创作于星期一非渐近主方向非渐近主方向渐近主方向渐近主方向又因为又因为所以曲线的唯一主直径为所以曲线的唯一主直径为即即第44页，讲稿共45张，创作于星期一2022/9/28感感谢谢大大家家观观看看第45页，讲稿共45张，创作于星期一