数值代数第二章第一节幻灯片.ppt

数值代数第二章第一节第1页，共21页，编辑于2022年，星期六2.1 向量和矩阵范数向量和矩阵范数/*Norms of Vectors and Matrices*/为了误差的度量为了误差的度量 向量范数向量范数 /*vector norms*/Rn空间的空间的向量范数向量范数|对任意对任意 满足下列条件：满足下列条件：（正定性正定性/*positive definite*/)对任意对任意(齐次性齐次性/*homogeneous*/)（三角不等式三角不等式 /*triangle inequality*/)范数是一个范数是一个n元连续函数（元连续函数（证明一下证明一下）pnipipxx/11|=v函数函数是一种范数吗？是一种范数吗？第2页，共21页，编辑于2022年，星期六常用向量范数：常用向量范数：=niixx11|v v=niixx122|v vpnipipxx/11|=v|max|1inixx =v证明一个量是证明一个量是n维向量空间的一个范数需要利用一些著维向量空间的一个范数需要利用一些著名的不等式名的不等式Cauchy-Schwartz不等式不等式Holder不等式不等式第3页，共21页，编辑于2022年，星期六范数的一个应用-讨论向量序列的收敛性何谓向量序列？如何定义向量序列收敛比较合理？2-范数重要性质：正交变换长度不变，向量间夹角不变第4页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Vector Norms向量序列向量序列 收敛收敛于向量于向量 是指对每一个是指对每一个 1 i n 都有都有 。可以理解为可以理解为定理Rn 上一切范数都等价。上一切范数都等价。可以理解为对任何向量范数都成立。范数等价定义范数等价定义第5页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms 矩阵范数矩阵范数 /*matrix norms*/Rm n空间的空间的矩阵范数矩阵范数|对任意对任意 满足：满足：（正定性正定性/*positive definite*/)对任意对任意(齐次性齐次性/*homogeneous*/)（三角不等式三角不等式 /*triangle inequality*/)(4)*|AB|A|B|（相容相容 /*consistent*/当当 m=n 时时)In general,if we have|AB|A|B|,thenthe 3 norms are said to be consistent.Oh havent I had enough of new concepts?What do I need the consistency for?When you have to analyze the error bound of AB imagine you doing it without a consistent matrix norm第6页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms常用矩阵范数：常用矩阵范数：Frobenius 范数 向量向量|2的直接推广的直接推广如何证明上述定义的非负函数是一个范数？如何证明上述定义的非负函数是一个范数？（验证方法）（验证方法）问题：矩阵的问题：矩阵的F范数是哪个矩阵的迹？和特征范数是哪个矩阵的迹？和特征值的关系值的关系第7页，共21页，编辑于2022年，星期六矩阵范数的性质矩阵范数的性质任意两个矩阵范数都是等价的（表达式）任意两个矩阵范数都是等价的（表达式）何谓矩阵序列的敛散性？何谓矩阵序列的敛散性？矩阵序列收敛的充要条件矩阵序列收敛的充要条件矩阵范数与向量范数相容性矩阵范数与向量范数相容性第8页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Matrix NormsF-范数相容性：范数相容性：Frobenius 范数 向量向量|2的直接推广的直接推广 对方阵对方阵 以及以及 有有利用Cauchy 不等式 可证。第9页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms算子范数/*operator norm*/定理定理2.1.3 设设|是一种向量范数。若定义是一种向量范数。若定义则则上的一个矩阵范数。上的一个矩阵范数。矩阵范数矩阵范数称为从属向量范数称为从属向量范数|的矩阵范数的矩阵范数也称为由向量范数也称为由向量范数|诱导出的算子范数诱导出的算子范数第10页，共21页，编辑于2022年，星期六举例说明算子矩阵范数的优点研究方程组研究方程组与方程组与方程组解之间的关系。解之间的关系。那个上界更紧一些？那个上界更紧一些？不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在改不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在改进的进的第11页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms算子范数/*operator norm*/由向量范数由向量范数|p 导出关于矩阵导出关于矩阵 A Rn n 的的 p 范数范数:则则第12页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms特别有：特别有：（行和范数行和范数）（列和范数列和范数）（谱范数谱范数/*spectral norm*/）矩阵 ATA 的最大特征根/*eigenvalue*/定理定理2.1.5 设设则则（3）2范数的正交不变性范数的正交不变性第13页，共21页，编辑于2022年，星期六算子范数的最优性算子范数的最优性矩阵的矩阵的F-范数与向量的范数与向量的2-范数的关系。范数的关系。（P72 习题习题4）第14页，共21页，编辑于2022年，星期六1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms注：注：Frobenius 范数范数不是不是算子范数。算子范数。我们只关心有相容性的范数，我们只关心有相容性的范数，算子范数算子范数总是相容的。总是相容的。若不然，则必存在某个向量范数|v 使得 对任意A 成立。Counterexample?问题：矩阵的列和范数和其转置矩阵的行和范问题：矩阵的列和范数和其转置矩阵的行和范数的关系。数的关系。问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范数问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范数的等价关系是什么？的等价关系是什么？第15页，共21页，编辑于2022年，星期六第16页，共21页，编辑于2022年，星期六 谱半径谱半径 /*spectral radius*/矩阵矩阵A的的谱半径谱半径记为记为 (A)=，其中，其中 i 为为 A 的特征根。的特征根。ReIm (A)第17页，共21页，编辑于2022年，星期六定理若若A对称，则有对称，则有证明：证明：A对称若若 是是 A 的一个特征根，则的一个特征根，则 2 必是必是 A2 的特征根。的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A)为非负实数，为非负实数，故得证。故得证。对某个对某个 A 的特征根的特征根 成立成立所以2-范数亦称为谱范数。第18页，共21页，编辑于2022年，星期六第19页，共21页，编辑于2022年，星期六定理若矩阵若矩阵 B 对某个算子范数满足对某个算子范数满足|B|1，则必有，则必有可逆；可逆；证明：证明：若不然，则若不然，则 有非零解，即存在非零向量有非零解，即存在非零向量 使得使得 第20页，共21页，编辑于2022年，星期六一种特殊的矩阵幂级数收敛的必要条件？收敛的必要条件？收敛的充分必要条件？收敛的充分必要条件？和函数为什么？和函数为什么？幂级数部分和满足幂级数部分和满足第21页，共21页，编辑于2022年，星期六