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数学物理方法第1页，共34页，编辑于2022年，星期六在复平面的区域D内解析，则它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是(x,y)平面的区域D内的调和函数。证：按假设，w=f(z)在D内解析，因而在D内可求导，并且满足柯西黎曼条件(1-3-4)，即(3-6-2)将第一式对x求导，第二式对y求导，得再利用第2页，共34页，编辑于2022年，星期六就得到这就证明了u=u(x,y)是调和函数。同理，将(1-3-17)的第一式对y求导，第二式对x求导，可以证明(3-6-1b)即 v=v(x,y)也是调和函数。【证毕】我们证明了，在区间D内解析的复变函数的实部和虚部都是该区间内的二维调和函数。这两个二维调和函数之间有关系(3-6-2)。通常称它们是相互共轭的调和函数。第3页，共34页，编辑于2022年，星期六(二)平面场的复电势 定理一可以用来研究平面上的拉普拉斯方程。考虑定义在xy平面的区域D内的平面静电场，其场强为而电势为两者之间有关系 E=grad U，其分量式为(3-6-3)设在区域D内无电荷，则场强 E 满足方程(3-6-4)第4页，共34页，编辑于2022年，星期六即U(x,y)是二维调和函数。因此，可以将U看成是在z平面上区域D内解析的复变函数w=u+i v的实部或虚部。例如，可以令U等于w的实部：(3-6-5)(3-6-6)设一给定了平面静电场的电势U，也就是给定了w的实部u，利用(1-3-14)可以求出w的虚部v。这样得到的复变解析函数w称为静电场的复电势。在w平面上，两个方程(3-6-7)(3-6-8)第5页，共34页，编辑于2022年，星期六是相互正交的两个直线族。根据保角映射的原理(1-3-15)，上述两个方程在 z 平面的区域D内是相互正交的两个曲线族。其中第一个曲线族是静电场的等势线根据(3-6-6)，而第二个曲线族和等势线正交，因而是电场的电场线。因此，只要知道了复电势，就很容易作出等势线和电场线。(3-6-10)(3-6-9)例1 已知平面电场的复电势是(3-6-11)第6页，共34页，编辑于2022年，星期六作出它的电场线和等势线。解：将(3-6-11)平方因而为了画电场线和等势线，从上述二式中分别消去v或u，由第二式得将 v2=u2+x 代入得将 u2=v2 x 代入得第7页，共34页，编辑于2022年，星期六于是，电场线的方程(3-6-10)v=C2 成为(3-6-12)这是一族抛物线，如图3-6-1中的实线。等势线的方程(3-6-9)u=C1 成为(3-6-13)这于是一族抛物线，如图3-6-1中的虚线。这是带电平板边沿所产生的电场。第8页，共34页，编辑于2022年，星期六(3-6-14)例2 已知平面静电场电场线的方程为求等势线的方程并作图。解：(3-6-14)左边的函数应该是某一解析的复变函数w的虚部或者实部。为了利用前面已经得到的结果，我们假定它是w的实部因而w的虚部就是电势U：在1-3例1中已经求出了这一复变函数的虚部第9页，共34页，编辑于2022年，星期六(3-6-15)故等势线的方程是 在1-2的例2中，画过等势线(3-6-15)和电场线(3-6-14)的图形，如图1-2-6，这是互相垂直的两块无限大带电导体平板在两板之间的空间中所产生的场。(三)解平面场问题的保角变换法 用复电势方法可以画出等势线和电力线，但必须先给定复电势，或给定等势线(或电力线)的方程。系统地求解平面场问题，是在给定电荷分布的情况下求平面场。此时，代替(3-6-4)式，有第10页，共34页，编辑于2022年，星期六见式(5-3-1)。上式中，=(x,y)是二维电荷密度，将(3-6-3)式代入，代替(3-6-5)式得到二维泊松方程(3-6-16)(3-6-17)求解泊松方程的边值问题，其难易程度主要决定于边界的形状。当边界有简单的几何形状时，求解比较容易。对于边界为一般形状的边界问题，可以先设法将它转化为简单形状边界的边值问题，然后求解。按这一思路解二维泊松方程的方法称为保角变换法。第11页，共34页，编辑于2022年，星期六 在1-3中证明了，由解析函数w=f(z)实现的从z平面到w平面的变换，在f(z)0 的点有保角性质。因此，称这种变换为保角变换。以下将限于讨论具有一一对应关系的保角变换，即假定w=f(z)和它的反函数都是单值函数；或者，如果它们之中有多值函数，就规定取它的黎曼面的一叶。在电荷为零的区域中，电势满足拉普拉斯方程(3-6-5)设w=w(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则(3-6-5)(3-6-18)的映射是保角映射。将它看成二维变量第12页，共34页，编辑于2022年，星期六的变量变换，称之为保角变换。在这一变换下，如果在(x,y)平面的区域D内边界形状复杂，而在u,v平面上的相应区域有简单形状，则可通过求(u,v)而得到U(x,y)。为此需要一个定理。定理二 设由(x,y)到(u,v)的变换(3-6-19)为保角变换，即(3-6-18)w=w(z)在区域D内解析，则：如果U(x,y)满足拉普拉斯方程(3-6-5)，则(u,v)也满足拉普拉斯方程。(3-6-21)(3-6-19)(3-6-20)第13页，共34页，编辑于2022年，星期六且(3-6-22)证：利用复合函数求导的法则，有同理，有第14页，共34页，编辑于2022年，星期六两式相加，得到利用解析函数的CR条件(1-3-4)式，即以及解析函数实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质，第15页，共34页，编辑于2022年，星期六见(3-6-1)式，得到上式化简为按(1-3-2)式因而(3-6-23)第16页，共34页，编辑于2022年，星期六 由此看出，对于保角变换，w(z)0，只要U(x,y)满足拉普拉斯方程，(u,v)也满足同一方程(3-6-24)这样，如果在 z=x+iy平面上给定了U(x,y)的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换w=f(z),可以将它转化为 w=u+iv平面上(u,v)的拉普拉斯方程边值问题。以下我们来讨论几种简单的保角变换，以及用它们解拉普拉斯方程边值问题(有源情况下是泊松方程的边值问题)的例子。第17页，共34页，编辑于2022年，星期六(四)由分式线性函数所实现的变换分式线性函数的一般形式是式中，a,b,c,d为常数(若 adbc=0，则 w 将恒等于常数)。我们来讨论由它实现的保角变换。若c0,式(3-6-25)可改写为(3-6-25)(3-6-26)第18页，共34页，编辑于2022年，星期六这一变换可以分四步实现：(1)z1=z+C；(2)z2=|B|/z1；(3)z3=z2 eiargB；(4)w=A+z3(3-6-27)(1)和(4)是z平面和z3平面上的平移变换；(3)是在z2平面上转动角度argB的变换。下面着重讨论变换(2)。记|B|=R2，R为正实数，令 z1=re i、z2=e i，则变换 z2=R2/z1可进一步分解为 (3-6-28)在图3-6-2中的z1 和 z1是在以R为半径的圆的一根半径及其延长线的两个点，它们和圆心距离的乘积等于半径的平方：r=R2。这样的两个点称为对于这一圆周的一第19页，共34页，编辑于2022年，星期六对对称点，或反演点。z1 和 z1则是关于实轴的一对对称点。式(3-6-27)中的(2)就是这两对关于圆和关于实轴的对称点变换的结合，也就是变换的复合。和第20页，共34页，编辑于2022年，星期六分式线性变换(3-6-25)有一个重要性质：保圆性。它将 z平面上的圆变为w平面上的圆。这里所说“圆”包括圆心在无穷远，半径为无穷大的特殊情况，即直线。变换(1)、(4)平移和(3)转动显然有保圆性。下面来证明变换(2)z2=R2/z1 也有保圆性。在 z1=re i 平面上，以 z0=r0 e i0为心，A为半径的圆的方程是或(3-6-29)第21页，共34页，编辑于2022年，星期六(3-6-30)如图3-6-3，将(3-6-28)代入，即作变换 z2=R1/z1，得到当b0时，这是在 z2=e i 平面上，以 为心，以第22页，共34页，编辑于2022年，星期六为半径的圆。特殊情况：b=0，变换z2=R2/z1 将 z1平面上经过坐标原点的圆映射到 z2平面上成为圆心在无限远处，半径为无穷大的圆，即直线cos(+0)=常数。反之，z1平面上的一根直线 r cos(0)=常数，映射到 z2 平面上是经过坐标原点的圆。不难看到，分式线性变换(3-6-25)在整个复平面除了一个点 z0=d/c 外处处解析，并将整个闭z平面单值地映射到w平面上。它的反函数(3-6-31)也是分式线性函数，它将整个闭w平面单值地映射到z平面第23页，共34页，编辑于2022年，星期六上。因此，分式线性变换(3-6-25)将闭z平面一一对应地映射到闭w平面，且具有保角性和保圆性。下面我们来证明相反的论断也成立：定理三定理三 如果w=f(z)在闭z平面上除一点z0(无限远点或有限远点)外处处解析，并且将z平面一一对应地映射到w平面，则f(z)是分式线性函数。证：按假设，z0 是一个孤立奇点，f(z)及反函数单值。在本性奇点和高阶极点的邻域内，f(z)的反函数不单值，因而z0不可能是本性奇点或高阶奇点。另外，z0不可能是可去奇点，否则f(z)是常数。第24页，共34页，编辑于2022年，星期六 如果 z0 是一阶极点，则当 z0为有限远点时f(z)在 z0 的邻域的罗朗展开式的负幂项只含(zz0)1 项。这表明 f(z)B/(zz0)在闭 z平平面上解析，因而由刘维尔定理可知其为常数 A。因此，(3-6-31)这是分式线性函数(3-6-26)。如果无限远点是一阶极点，则由同样的讨论知道 f(z)=Bz+A，同样是分式线性函数(3-6-25)中c=0的特殊情况。【证毕】第25页，共34页，编辑于2022年，星期六例3 和地面平行，距离地面h处有一根均匀带电无限长直导线，单位长度电荷量为e，求电场。解：根据对称性，任何一个垂直于导线的平面上的电场都相同，可以选其中一个平面来研究，如图3-6-4(a)。这一平面上的电势满足二维点泊松方程(3-6-32)和边界条件(3-6-33)第26页，共34页，编辑于2022年，星期六(3-6-34)我们来找一个分式线性变换w=f(z)，它将z平面上的直线 y=0映射为w平面上的单位圆；点P映射为圆心P*，如图3-6-4(b)。根据定理三，这样的分式线性变化是存在的。它将上半z平面映射到w平面上以 P*为心的单位圆的内部。设是这一变换。三个常数,由三个条件决定：(1)P点(z=i h)映射为 w=0，由此得=i h；(2)直线y=0映射为单位圆。这一条件可以换一句话表述：第27页，共34页，编辑于2022年，星期六 相对于直线y=0的反演点对映射为相对于单位圆的反演点对。例如，在z1=i h 映射为w1=0 的同时，相对于直线y=0的 z1 的反演点 z1=i h 映射为相对于单位圆的w1的反演点w2。根据反演点的定义，w1和 w2 的模1 和2的乘积等于圆半径的平方。由于1=0，故2=，即w2为无限远点。将 z2=i h，w2=代入(3-6-34)式，得到=i h。这样，(3-6-34)成为(3)以上只决定了直线y=0映射为以P*为心的圆，还没有确定圆的半径。为了保证圆的半径=1(单位圆)，要求直线y=0上的一个点(例如z=0)映射为单位圆上的一个点(例如w=1)。第28页，共34页，编辑于2022年，星期六经过这一变换，方程和边界条件成为(3-6-35)(3-6-36)(3-6-37)由此得=1，即它代表这样一个物理问题：在半径等于1的接地圆柱导体面的轴线上有一均匀带电的导线，求柱面内的电势。在11-2中将看到，它的解是见(11-2-11)式(3-6-38)第29页，共34页，编辑于2022年，星期六(3-6-39)回到z平面就有(五)由幂函数和对数函数所实现的变换(1)幂函数将z平面上与正实轴夹角为/n的角形区域变为w的上半平面。在1-2例2中见过一个这种变换的例子。注意，在 z平面的上述角形区域内部(对应于w的上半平面内)，变换有保角性，但在 z=0点不保角。(3-6-40)第30页，共34页，编辑于2022年，星期六例2 两块无穷大导体板相交成直角，电势为V0，求直角区域 内的电场分布。解：由对称性可知，在垂直于导体板交线的任意平面上电场都相同，因而可以取一个这样的平面求解二维拉普拉斯方程(3-6-41)的边值问题：(3-6-42)利用变换(3-6-43)将所讨论的直角形区域映射成w的上半平面，参看图1-2-6，边值问题成为第31页，共34页，编辑于2022年，星期六由对称性可见，解与u无关，因而由(3-6-44)(3-6-45)(3-6-46)等势面是v=常数，而电场线是u=常数。回到z平面就成为图1-2-6上的实线和虚线，如式(1-2-4)。(2)对数函数(3-6-47)将z平面的上半平面映射为w平面上平行于实轴宽为的第32页，共34页，编辑于2022年，星期六一个带形区域，如图3-6-5(参看图3-5-10)。例3 两块无穷大平板平放在一起，连接处绝缘。两板的电势分别为V1和V2，求板外的电场分布。解：由图3-6-5可见，利用变换(3-6-27)可以将问题转化为w平面上的两无穷大平行板之间的电场分布。容易得到：第33页，共34页，编辑于2022年，星期六回到z平面上得到(3-6-48)(3-6-49)这是经过原点的半直线(图3-6-5中的实线)。电场线是和这一直线族垂直的曲线族，即以原点为心的半圆，如图3-6-5中的虚线。第34页，共34页，编辑于2022年，星期六