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数据处理与实验设计第1页，共43页，编辑于2022年，星期六实验数据的整理实验数据的整理误差分析误差分析整理列表整理列表曲线标绘曲线标绘求取数学模型求取数学模型第2页，共43页，编辑于2022年，星期六第一节实验数据的列表整理第一节实验数据的列表整理一一.评定实验精度的几个特征值评定实验精度的几个特征值 1.1.平均值平均值平均值平均值 2.2.均方差均方差均方差均方差 3.3.平均值标准差平均值标准差 算术平均值算术平均值加权平均值加权平均值等精度测量等精度测量等精度测量等精度测量不等精度测量不等精度测量不等精度测量不等精度测量第3页，共43页，编辑于2022年，星期六第一节实验数据的列表整理第一节实验数据的列表整理一一.实验数据的初步整理步骤实验数据的初步整理步骤 1.1.求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值2.2.求出各测定值的均方差求出各测定值的均方差求出各测定值的均方差求出各测定值的均方差3.3.确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否 超过最大可能误差超过最大可能误差超过最大可能误差超过最大可能误差4.确定其算术平均值的均方差确定其算术平均值的均方差第4页，共43页，编辑于2022年，星期六第一节实验数据的列表整理第一节实验数据的列表整理例：例：例：例：整理某亚高效过滤器灰尘穿透个数的结果整理某亚高效过滤器灰尘穿透个数的结果整理某亚高效过滤器灰尘穿透个数的结果整理某亚高效过滤器灰尘穿透个数的结果 第5页，共43页，编辑于2022年，星期六第一节实验数据的列表整理第一节实验数据的列表整理1.1.求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值求出算术平均值2.2.求出各测定值的均方差求出各测定值的均方差求出各测定值的均方差求出各测定值的均方差3.3.确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否 超过最大可能误差超过最大可能误差超过最大可能误差超过最大可能误差最大可能误差第六个测定值不可靠第六个测定值不可靠第6页，共43页，编辑于2022年，星期六4.确定其算术平均值的均方差确定其算术平均值的均方差第一节实验数据的列表整理第一节实验数据的列表整理算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值练习题练习题练习题练习题如果实验中，某气体流量计的相对误差为如果实验中，某气体流量计的相对误差为如果实验中，某气体流量计的相对误差为如果实验中，某气体流量计的相对误差为1212，那么，那么，那么，那么，应指定量测多少次，才能保证其结果的相对精度是应指定量测多少次，才能保证其结果的相对精度是应指定量测多少次，才能保证其结果的相对精度是应指定量测多少次，才能保证其结果的相对精度是1010，5 5，3 3和和和和1 1？第7页，共43页，编辑于2022年，星期六第一节实验数据的列表整理第一节实验数据的列表整理三三.实验结果的数据表实验结果的数据表1.标题应该醒目，恰当的说明主题；标题应该醒目，恰当的说明主题；2.数据的名称和单位，应在表格的名称栏中表明，数据的名称和单位，应在表格的名称栏中表明，不宜和数字附在一起；不宜和数字附在一起；3.“过大过大”或或“过小过小”的数据，应该用的数据，应该用“乘数乘数10”来来表达，并将它放在表头；表达，并将它放在表头；4.表中的数字应与测定精确度相适应，注意有效数表中的数字应与测定精确度相适应，注意有效数字的运算和写法字的运算和写法第8页，共43页，编辑于2022年，星期六第二节实验数据的插值第二节实验数据的插值差值法差值法：就是根据已知实验点的数据，找出一个原函数关就是根据已知实验点的数据，找出一个原函数关 系的简单表达式，时他们在给定的若干点处符合系的简单表达式，时他们在给定的若干点处符合 实验值，用词表达式近似的找出差值点的数值。实验值，用词表达式近似的找出差值点的数值。内插法外推法常用的方法常用的方法：线型插值法，图解法，拉格朗日法线型插值法，图解法，拉格朗日法 及样条函数法及样条函数法第9页，共43页，编辑于2022年，星期六第二节实验数据的插值第二节实验数据的插值例例：已经测得不同直径的圆柱中心冷却速度如下：已经测得不同直径的圆柱中心冷却速度如下：图解法：图解法：选一个坐标系，以横坐标表示圆柱直径，纵坐标表示中心冷却速度，然选一个坐标系，以横坐标表示圆柱直径，纵坐标表示中心冷却速度，然后将已知的测定点标注在图上，用光滑曲线将这些点连接起来，即得到了近后将已知的测定点标注在图上，用光滑曲线将这些点连接起来，即得到了近似的函数曲线。在曲线上，找出横坐标为似的函数曲线。在曲线上，找出横坐标为40的点，那么纵坐标即为所求的插的点，那么纵坐标即为所求的插值结果。值结果。求求40cm的圆柱中心冷却速度的圆柱中心冷却速度。第10页，共43页，编辑于2022年，星期六第二节实验数据的插值第二节实验数据的插值第11页，共43页，编辑于2022年，星期六第二节实验数据的插值第二节实验数据的插值线性插值法：线性插值法：线性插值就是我们早已用过的部分正比法，他是把插值区间的函数关系，线性插值就是我们早已用过的部分正比法，他是把插值区间的函数关系，近似当作直线来处理。近似当作直线来处理。设被插值的原函数设被插值的原函数 ，的值分别为的值分别为则通过此两点则通过此两点 ，的直线方程为：的直线方程为：第12页，共43页，编辑于2022年，星期六第二节实验数据的插值第二节实验数据的插值第13页，共43页，编辑于2022年，星期六拉格朗日法：拉格朗日法：设 为给定的节点，为相应的函数值，求一个次数不超过 的多项式 ，使其满足 ，.这类问题称为插值问题。称为被插值函数，称为插值函数，称为插值节点一、问题提出一、问题提出第14页，共43页，编辑于2022年，星期六y=f(x)Oyxy=p(x)几何解释几何解释 求代数多项式 ，使其通过给定的点，并用它近似已知曲线 .第15页，共43页，编辑于2022年，星期六 定理定理1 设 为给定的彼此互异的 个插值节点，则存在唯一的次数不超过 的多项式 ，满足条件 ,.二、存在唯一性二、存在唯一性第16页，共43页，编辑于2022年，星期六三、Lagrange插值多项式的构造 求一个n次多项式 ,使其满足如下条件 其中 为Kroneker符号.注意到当 时,为 的根,故可设 ,其中C 为待定常数.此时由另一条件当 时,得,得到常数C,进而得到基函数 从而Lagrange插值多项式可以表示为 第17页，共43页，编辑于2022年，星期六四、线性插值和抛物插值 当n=1时,插值结点为 ,相应的函数值为 ,插值基函数满足 故线性插值多项式可表示为 几何意义:通过两点的直线.第18页，共43页，编辑于2022年，星期六 当n=2时,插值结点为 ,相应的函数值为 ,插值基函数满足 故抛物插值多项式可表示为 几何意义:通过三点的抛物线.第19页，共43页，编辑于2022年，星期六第二节实验数据的插值第二节实验数据的插值有了这有了这n个个n1次多项式，可写出插值多项式次多项式，可写出插值多项式 本例已知：本例已知：x1=19;x2=25;x3=25;x4=75;y1=105;y2=55;y3=19;y4=10;求求x40时时y的值。的值。第20页，共43页，编辑于2022年，星期六例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。第21页，共43页，编辑于2022年，星期六解：用4次插值多项式对5个点插值 第22页，共43页，编辑于2022年，星期六 第23页，共43页，编辑于2022年，星期六于是有第24页，共43页，编辑于2022年，星期六评价优点:Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理 论研究.缺点:当增加或减少插值结点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用第25页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线4-2-24-2-2图解法处理实验数据图解法处理实验数据作图时要作图时要先整理出数据表格先整理出数据表格，并，并要用坐标纸作图要用坐标纸作图。作图步骤作图步骤：实验数据列表如下：实验数据列表如下1 1、选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以 12mm对应于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数）。作图六点要求：作图六点要求：第26页，共43页，编辑于2022年，星期六2、标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。4、连成图线：用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图线正穿过实验点时可以在点处断开。3、标实验点：实验点可用“+”、“*”、“。”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。第27页，共43页，编辑于2022年，星期六I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)5.标出图线特征：在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出 R 值。6.标出图名：在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。电阻伏安特性曲线第28页，共43页，编辑于2022年，星期六图图2I(mA)U(V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不当。横轴坐标分度选取不当。横轴以横轴以3 cm 代表代表1 V，使作图，使作图和读图都很困难。实际在选择和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，数字的要求又便于作图和读图，一般以一般以1 mm 代表的量值代表的量值是是10的整数次幂或是其的整数次幂或是其2倍倍或或5倍。倍。第29页，共43页，编辑于2022年，星期六改正为：改正为：I(mA)U(V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线第30页，共43页，编辑于2022年，星期六定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不图纸使用不当当。实际作。实际作图时，坐标图时，坐标原点的读数原点的读数可以不从零可以不从零开始开始。第31页，共43页，编辑于2022年，星期六改正为：改正为：定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()第32页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线一一.坐标的选择坐标的选择1.直角坐标；直角坐标；优点：最常用的方式，也是最熟悉的方式优点：最常用的方式，也是最熟悉的方式优点：优点：A A 变量之一在所研究的范围内，有若干数量级的变化变量之一在所研究的范围内，有若干数量级的变化 时，例如横坐标在时，例如横坐标在2020，4040，6060，8080，100100，500500，1000 1000，20002000，40004000，此横坐标，如采用直角坐标的，此横坐标，如采用直角坐标的 花，曲线开始部分的坐标点几乎无法描绘。花，曲线开始部分的坐标点几乎无法描绘。B B 当自变量在起始阶段的少许变化，引起因变量有剧当自变量在起始阶段的少许变化，引起因变量有剧 烈变化烈变化 时时C C 当需要将非线性函数关系，变换成执行函数关系时。当需要将非线性函数关系，变换成执行函数关系时。2.单对数坐标纸；单对数坐标纸；第33页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线3.双对数坐标；双对数坐标；4.极坐标；极坐标；第34页，共43页，编辑于2022年，星期六二二 比例尺的选择比例尺的选择 1.两个坐标比例尺应遵守的比例法则两个坐标比例尺应遵守的比例法则 第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线保证两个坐标轴各自所取的比例应遵守一定的关系保证两个坐标轴各自所取的比例应遵守一定的关系两轴比例尺的选择应保证两轴比例尺的选择应保证“双双误差双双误差”面积成正方面积成正方形形第35页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线二二.比例尺的选择比例尺的选择1.两个坐标比例尺应遵守的比例法则；两个坐标比例尺应遵守的比例法则；两轴比例尺的选择应保证两轴比例尺的选择应保证“双双误差双双误差”面积成面积成正方形。正方形。例：例：当自变量当自变量x x为为1 1，2 2，3 3，4 4时，因变量时，因变量y y为为8.08.0，8.28.2，8.38.3，8.08.0。现在。现在任取坐标轴比例尺来作图，如纵坐标比例尺取得过分短或者过分长时，任取坐标轴比例尺来作图，如纵坐标比例尺取得过分短或者过分长时，所获得两个曲线则完全不同。所获得两个曲线则完全不同。第36页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线 在本例子中，自变量测定误差为在本例子中，自变量测定误差为0.05，而因变量测量误差为，而因变量测量误差为0.02。取沿取沿x轴轴1单位为单位为20mm，实验点的底边在图上的，实验点的底边在图上的 宽度：宽度：为保证点的高度在图上也等于为保证点的高度在图上也等于2mm时，纵坐标时，纵坐标1 个单位就应等于个单位就应等于M mm（M为待定比例尺），即按为待定比例尺），即按第37页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线第38页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线2.单坐标轴比例尺的选择单坐标轴比例尺的选择1.比例尺的大小，应保证所描出的实验误差比例尺的大小，应保证所描出的实验误差“点点”的的面面 积，通常在积，通常在24mm2之内，且应使所有测试数据之内，且应使所有测试数据 易于在图面上绘出确切的坐标点。易于在图面上绘出确切的坐标点。2.自变量至于自变量至于x轴上，因变量置于轴上，因变量置于y轴上，沿轴上，沿y轴标示的轴标示的 变量应该包括所研究区间的全部变化值；变量应该包括所研究区间的全部变化值；3.应使所绘曲线，占满坐标纸面，如果是直线关系，应使应使所绘曲线，占满坐标纸面，如果是直线关系，应使 其尽量接近一根斜率为其尽量接近一根斜率为1的直线。的直线。第39页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线四四.通过数据点描绘曲线的方法通过数据点描绘曲线的方法1.标绘数据点是，可用各种符号，如圆圈，矩形，标绘数据点是，可用各种符号，如圆圈，矩形，三角形等，符号的大小应与观测值的准确度相当。三角形等，符号的大小应与观测值的准确度相当。2.标绘数据点是，要求所配曲线与各数据点最接近，标绘数据点是，要求所配曲线与各数据点最接近，并不希望曲线都通过所有的数据点，曲线应该圆并不希望曲线都通过所有的数据点，曲线应该圆滑。滑。3.当实验点间隔很大时，可用拉格朗日插值法来不当实验点间隔很大时，可用拉格朗日插值法来不 同某同某 些中间点的数据。些中间点的数据。4.用最少二乘法对所配曲线做数量上的评定。用最少二乘法对所配曲线做数量上的评定。第40页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线五五.评价曲线好坏的标准评价曲线好坏的标准 当测试数据当测试数据 与曲线上数值与曲线上数值 的偏差的偏差 最少最少时，即均方差时，即均方差 最小时，这条曲线就是最最小时，这条曲线就是最好的曲线。好的曲线。第41页，共43页，编辑于2022年，星期六第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线五五.评价曲线好坏的标准评价曲线好坏的标准方案方案a.方案方案b.方案方案c.第42页，共43页，编辑于2022年，星期六1标题(title)标题一般写在表格的上方，内容应包括时间、地点、主要事件，不要过于简练，要求用最少的文字说清楚。2标目(heading)横标目要按时间前后或数量大小和事情的重要性等顺序排列，纵标目有单位的要注明单位。注意标目的层次要清楚，不要太多、太复杂。3线条 表中只有横线，无竖线和斜线。4数字 一律用阿拉伯数字。同一列的小数位数应一致，且位次对齐。表格中不应有空格，暂无记录或未记录用“”（点号）表示，无数据用“”表示，这两种情况都不能填“0”。5备注 不应写在表中，在数字上角用“*”号标出，文字叙述写在表的下方。第三节如何正确的绘制实验结果曲线第三节如何正确的绘制实验结果曲线第43页，共43页，编辑于2022年，星期六