图像信号的正交变换精选PPT.ppt
关于图像信号的正交关于图像信号的正交变换变换第1页，讲稿共62张，创作于星期日23.1 3.1 离散傅立叶变换离散傅立叶变换3.2 3.2 离散离散K KL L变换变换3.3 3.3 离散余弦变换离散余弦变换3.4 3.4 数字图像信号的正交基表示数字图像信号的正交基表示3.5 3.5 沃尔什变换和哈达玛沃尔什变换和哈达玛第三章 图像信号的正交变换第2页，讲稿共62张，创作于星期日3信号处理方法通常有两类：时域分析法和频域分析法。信号变换方法：经典的傅立叶变换、K-L变换、沃尔什变换、哈达玛变换、余弦变换以及最新的小波变换等3.1 离散傅立叶变换第3页，讲稿共62张，创作于星期日4一、一维离散傅立叶变换一、一维离散傅立叶变换DFTDFT定义：设定义：设f(n)f(n)n=0,N-1n=0,N-1为一维信号的为一维信号的N N个抽个抽样，其离散傅立叶变换及其逆变换分别为：样，其离散傅立叶变换及其逆变换分别为：第4页，讲稿共62张，创作于星期日5二、二维离散傅立叶变换二、二维离散傅立叶变换DFTDFT第5页，讲稿共62张，创作于星期日6在DFT变换对中，F(u,v)称为离散信号f(x,y)的频谱，而|F(u,v)|称为幅度谱，(u,v)为相位谱，它们之间的关系为：第6页，讲稿共62张，创作于星期日7二维DFT的性质(1)变换的可分离性 第7页，讲稿共62张，创作于星期日8(2)旋转不变性 如引入极坐标使：x=rcos,y=rsin =u=wcos v=wsin则f(x,y)和F(u,v)分别表示为f(r,)和F(w,)(r,+0)(w,+0)(3)二维DFT的实现 转置 f(x,y)F F列f(x,y)=F(u,y)F(u,y)转置 F F列F(u,y)=F(u,y)F(u,v)第8页，讲稿共62张，创作于星期日9性质列表连续傅立叶变换性 质离散傅立叶变换x(t)+y(t)X(f)+Y(f)线性x(k)+y(k)X(n)+Y(n)H(t)h(f)对称性1/NH(k)h(n)h(tt0)H(f)exp(j2ft0)时间域平移H(ki)H(n)exp(j2ni/N)h(t)exp(j2f0t)H(f f0)频率域位移 h(k)exp(j2 ik/N)H(ni)he(t)Re(f)偶函数he(k)Re(n)ho(t)jIo(f)奇函数 ho(k)jIo(n)h(t)=he(t)+ho(t)奇偶分解H(k)=he(k)+ho(k)y(t)=x()*h(t)卷积x(i)h(ki)=x(k)*h(k)x(t)*h(t)X(f)H(f)时域卷积定理x(k)*h(k)X(n)H(n)y(t)=x()h(t+)d=x(t)h(t)相关x(i)h(k+i)=x(k)h(k)x(t)h(t)X(f)*H(f)频率卷积定理x(k)h(k)1/NX(n)*H(n)|H(f)|2df巴什瓦定理|H(n)|2第9页，讲稿共62张，创作于星期日10二维DFT变换实例1二维图象及其傅立叶幅度谱二维图象及其傅立叶幅度谱第10页，讲稿共62张，创作于星期日11二维DFT变换实例2二维图象及其傅立叶幅度谱二维图象及其傅立叶幅度谱第11页，讲稿共62张，创作于星期日12二维DFT变换实例3傅立叶变换幅度谱及其重建傅立叶变换幅度谱及其重建第12页，讲稿共62张，创作于星期日13傅立叶变换相位谱及其重建傅立叶变换相位谱及其重建第13页，讲稿共62张，创作于星期日14K-L变换也称为特征向量变换、主分量变换或霍特林(Hotelling)变换，它是完全从图像的统计性质出发实现的变换。它在数据压缩、图像旋转、遥感多光谱图像的特征选择和统计识别等中是很有用的。变换的本质是选用不同的基函数，用基函数的不同线性组合来表示图像的坐标变量。是最复杂的变换，由于基矢量是根据图像的统计特性求出的，不同的图像基函数都不同，因而只具有理论意义。3.2 离散K-L变换第14页，讲稿共62张，创作于星期日15由于其变换基矢量或者说变换矩阵是根据输入图像的统计性质得出的，也就是说其变换矩阵是针对输入图像“量身定做”的，因此具有最佳的去相关性。第15页，讲稿共62张，创作于星期日16一、K-L变换的基函数K-L变换的基矢量是根据输入图像的统计特性协方差矩阵来构建的。原理：图像信号是随机变量，度量随机变量之间相关程度用图像的协方差矩阵表示。第16页，讲稿共62张，创作于星期日17 要求计算某幅NN图像f(x,y)的协方差，我们可以针对这幅图像在通信干线上做M次传送，根据M次传送的图像总体集合进行统计。设每次传送的NN图像用一个行堆叠或列堆叠的N21维向量X X来表示，于是传送M次向量X X的平均值为：m mx xEX XX Xi 第17页，讲稿共62张，创作于星期日18图像的协方差矩阵：C Cx=E(X Xm mx)(X Xm mx)T=(X Xm mx)(X Xm mx)T=(X X X XT)m mxm mxT 对应的协方差矩阵是N2N2方阵 第18页，讲稿共62张，创作于星期日19令k和k(k=1,2,N2)是协方差矩阵C Cx的特征值和对应的特征向量，即C Cxk=kk k=1,2,N2 如将特征值按减序排列，即123kN2 第19页，讲稿共62张，创作于星期日20特征值1对应的特征向量1=T特征值2对应的特征向量2=TT特征值N*N对应的特征向量N*N=以此类推第20页，讲稿共62张，创作于星期日21 以上述特征向量作为K-L变换的基向量，令其作为K-L变换核矩阵的行，便可以构成N2N2方阵，称为K-L变换核矩阵，即V=第21页，讲稿共62张，创作于星期日22用X X向量减去平均值向量m mx作为输入，根据上式对输入图像进行K-L变换，则得K-L变换表达式：Y Y=V V(X Xm mx)第22页，讲稿共62张，创作于星期日23变换之后向量Y的均值：m my yEY Y=EV V(X Xm mx)=V VEX XV Vm mx0于是，K-L变换之后向量Y Y的协方差矩阵为：C Cy=E(Y Ym my)(Y Ym my)T=EV V(X Xm mx)(V V(X Xm mx)T=EV V(X Xm mx)(X Xm mx)TV VT=V VC CxV VT把协方差矩阵C Cx、变换核矩阵代入得：第23页，讲稿共62张，创作于星期日24Cy=Cx1,2,N2=Cx1,Cx2,CxN2=11,22,N2N2=第24页，讲稿共62张，创作于星期日25 经K-L变换之后的Y Y向量其协方差C Cy是一个对角矩阵，对角线上的元素是Y Y向量的方差，其值是C Cx矩阵的特征值，左上角的特征值1最大，右下角的特征值N2最小。非对角线上的协方差为0，说明了Y Y向量之间的相关性最小。而原始图像X X向量的协方差矩阵C Cx的非对角元素不为零，说明有较强的相关性。由此可见，K-L变换最大可能地去除图像的相关性。第25页，讲稿共62张，创作于星期日26 对K-L正变换式两端同时左乘V V-1，并且利用K-L变换核矩阵是正交变换阵，其逆矩阵V V-1=V VT，便可以推出K-L反变换表达式：X=X=V VT TY+mY+mx 第26页，讲稿共62张，创作于星期日27三、特点 最大优点是去相关性能很好，所以可将它用于图像数据的旋转或压缩处理。但是，二维K-L变换不是可分离的变换，不能通过求两次一维的K-L变换来完成二维K-L变换的运算。同时它是一种和图像数据有关的变换，在变换中，必须计算图像数据的N2N2协方差矩阵的特征值和特征向量，计算量庞大，因此这就造成了K-L变换难以应用到实际中、尤其是实时应用中去的主要原因。第27页，讲稿共62张，创作于星期日28一、一维DCT 基本思想将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，因为实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数，连续函数和离散函数的余弦变换都是基于这一原理。3.3 离散余弦变换0 1 2 .N-1 xf(x)x-1/2-(N-1)-1/2-1-1/2 0 1/2 1/2+1 1/2+N-1 g(x)偶函数延拓第28页，讲稿共62张，创作于星期日29给定实信号序列f(x)|x=0,1,N-1，可以按下式将其延拓为偶对称序列 第29页，讲稿共62张，创作于星期日30对G(x)求2N点的DFT有：将N点的f(x)偶延拓后形成2N点的实偶函数，其DFT也是一个2N点的实偶函数，然而实际有效信息只有一半，所以我们各取时域和频域的一半作为一种新的变换离散余弦变换（DCT）。另外，DCT的本质仍然是DFT，f(t)的DCT结果所表现出来的频域特征本质上是和DFT所反映的频域特征是相同的。第30页，讲稿共62张，创作于星期日31定义一维DFT为：其中：其逆变换为：第31页，讲稿共62张，创作于星期日32二、二维DCT 定义正变换为：定义逆变换为：第32页，讲稿共62张，创作于星期日33二维DCT的正反变换的变换核都相同，且是可分离的:第33页，讲稿共62张，创作于星期日34离离散散余余弦弦变变换换基基函函数数第34页，讲稿共62张，创作于星期日35DCT变换实例2第35页，讲稿共62张，创作于星期日363.4 数字图像信号的正交基表示一、变换核的一般表达式 其中x,y,u,v=0,1,2,.,N-1，g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正变换核和反变换核。第36页，讲稿共62张，创作于星期日37若若则变换核是可分离的。则变换核是可分离的。若若则变换核是对称的。则变换核是对称的。第37页，讲稿共62张，创作于星期日38此时，变换可写成：第38页，讲稿共62张，创作于星期日39二、变换的矩阵表达式 正变换式：F=P f QF=P f QT 反变换式：f =Pf =P1 1FQFQ1 1T T第39页，讲稿共62张，创作于星期日40举例：第40页，讲稿共62张，创作于星期日41第41页，讲稿共62张，创作于星期日42P(u,x)=第42页，讲稿共62张，创作于星期日43Q(y,v)=第43页，讲稿共62张，创作于星期日44 156 159 158 155 158 156 159 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 159 158 155 158 156 159 158 160 154 157 158 157 159 158 158 156 153 155 159 159 155 156 155 155 155 155 157 156 159 152 158 156 153 157 156 153 155 154 155 159 159 156 158 156 159 157 161f(x,y)=第44页，讲稿共62张，创作于星期日45 0.6118 0.6235 0.6196 0.6078 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.6235 0.6196 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6078 0.6196 0.6118 0.6235 0.6196 0.6275 0.6039 0.6157 0.6196 0.6157 0.6235 0.6196 0.6196 0.6118 0.6000 0.6078 0.6235 0.6235 0.6078 0.6118 0.6078 0.6078 0.6078 0.6078 0.6157 0.6118 0.6235 0.5961 0.6196 0.6118 0.6000 0.6157 0.6118 0.6000 0.6078 0.6039 0.6078 0.6235 0.6235 0.6118 0.6196 0.6118 0.6235 0.6157 0.6314F(u,v)=第45页，讲稿共62张，创作于星期日46变换核变换核其中其中bk(z)是是 z的二进制表达式中的第的二进制表达式中的第k位。例如位。例如n=3，则对于，则对于z=6（110），有），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。于是于是3.5 沃尔什变换第46页，讲稿共62张，创作于星期日47二维二维Walsh变换核为：变换核为：其为可分离的，表示为：其为可分离的，表示为：第47页，讲稿共62张，创作于星期日48第48页，讲稿共62张，创作于星期日49离离散散沃沃尔尔什什变变换换基基函函数数第49页，讲稿共62张，创作于星期日50举例：举例：求求Walsh变换核矩阵元素变换核矩阵元素第50页，讲稿共62张，创作于星期日51方括号中各项的符号即为变换核的符号，从方括号中各项的符号即为变换核的符号，从中可见中可见Walsh变换的变换的本质本质是将离散序列是将离散序列f(x)的各的各项值的符号按一定的规律改变，进行加减运算。项值的符号按一定的规律改变，进行加减运算。第51页，讲稿共62张，创作于星期日52举例：举例：若二维信号若二维信号求其离散求其离散Walsh变换。变换。其中其中N=4时的二维时的二维Walsh变换核为变换核为第52页，讲稿共62张，创作于星期日53则：则：例：例：第53页，讲稿共62张，创作于星期日54可见，二维可见，二维Walsh变换具有某种能量集中变换具有某种能量集中的特性，而且原始数据越均匀分布，变换的特性，而且原始数据越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上，因此，后的数据越集中于矩阵的边角上，因此，可用于图象压缩。可用于图象压缩。第54页，讲稿共62张，创作于星期日553.6 哈达玛（哈达玛（Hadamard）变换）变换变换核变换核其中其中bk(z)是是 z的二进制表达式中的第的二进制表达式中的第k位。例如位。例如n=3，则对于，则对于z=6（110），有），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。于是于是第55页，讲稿共62张，创作于星期日56和和Walsh变换类似，由变换类似，由Hadamard变换核组成变换核组成的矩阵是一个对称矩阵，并且其行和列正的矩阵是一个对称矩阵，并且其行和列正交。交。反变换核反变换核二维情况：二维情况：其是可分离的。其是可分离的。第56页，讲稿共62张，创作于星期日57Hadamard具有简单的递推关系，如具有简单的递推关系，如N=2n，当当N=2时，时，Hadamard矩阵为：矩阵为：N=4时，时，第57页，讲稿共62张，创作于星期日5807341625第58页，讲稿共62张，创作于星期日59离离散散哈哈达达玛玛变变换换基基函函数数第59页，讲稿共62张，创作于星期日60举例：举例：若二维信号若二维信号求其离散求其离散Hadamard变换。变换。其中其中N=4时的二维时的二维Hadamard变换核为变换核为第60页，讲稿共62张，创作于星期日61则：则：Hadamard变换核、变换结果与变换核、变换结果与Walsh变换相变换相比，只是顺序不同。比，只是顺序不同。第61页，讲稿共62张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第62页，讲稿共62张，创作于星期日
