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场论与张量基本知识第一页，讲稿共五十一页哦1.1 场的定义及分类场的定义及分类 一一般般情情况况下下流流体体的的各各种种物物理理量量(如如温温度度、压压力力和和速速度度等等)是是沿沿空空间间变变化化的的，用用场场论论的的符符号和方法描述这些变化有很大的优点：号和方法描述这些变化有很大的优点：n 形式简洁；形式简洁；n 与坐标系无关；与坐标系无关；n 每一符号都有明确的物理内涵。每一符号都有明确的物理内涵。第二页，讲稿共五十一页哦1.1.1 标量、向量与张量标量、向量与张量 标标量量：是是一一维维的的量量，它它只只须须一一个个数数量量及及单单位位来来表表示示，它它独独立立于于坐坐标标系系的的选选择择。流流体体的温度、密度、浓度等均是标量。的温度、密度、浓度等均是标量。第三页，讲稿共五十一页哦1.1.1 标量、向量与张量标量、向量与张量 向向量量：是是三三维维的的量量，它它不不仅仅有有数数量量的的大大小小，而而且且有有指指定定的的方方向向，它它必必须须由由某某一一空空间间坐坐标标系系的的3个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分量量来来表表示示，与与坐坐标标系系的的选选择密切相关。择密切相关。流体质点的空间位置向量流体质点的空间位置向量 xx1 ix2 jx3 k流体质点的流速向量流体质点的流速向量 uu1 iu2 ju3 k (i、j、k是三个坐标方向的单位向量是三个坐标方向的单位向量)第四页，讲稿共五十一页哦1.1.1 标量、向量与张量标量、向量与张量 张张量量：三三维维空空间间中中的的二二阶阶张张量量是是一一个个九九维维的的量量，必必须用须用9个分量才能完整地表示一个二阶张量。个分量才能完整地表示一个二阶张量。流流体体力力学学中中常常用用的的二二阶阶张张量量：应应力力张张量量、变变形形速速率张量等。率张量等。在三维空间中，在三维空间中，n阶张量由阶张量由3n个分量组成。个分量组成。扩展扩展：标量为零阶张量，向量为一阶张量。标量为零阶张量，向量为一阶张量。第五页，讲稿共五十一页哦第六页，讲稿共五十一页哦1.1.2 场场 在在空空间间中中的的某某个个区区域域内内的的每每一一点点都都对对应应着着某某物物理理量量的的一一个个确确定定的的值值，则则称称在在这这个个空空间区域上确定了该物理量的一个场。间区域上确定了该物理量的一个场。标标量量场场：空空间间区区域域D的的每每一一点点M(x,y,z)都都对对应应于于一一个个数数量量值值 (x,y,z)，就就称称它它们们在在此此空间区域空间区域D上构成一个标量场。上构成一个标量场。例例如如：温温度度场场T(x,y,z)、密密度度场场(x,y,z)等都是标量场。等都是标量场。第七页，讲稿共五十一页哦1.1.2 场场 向向量量场场：空空间间区区域域D的的每每一一点点M(x,y,z)都都对对应应于于一一个个向向量值量值A(x,y,z)，就称它们在此空间区域，就称它们在此空间区域D上构成一个向量场。上构成一个向量场。例如：速度场例如：速度场u(x,y,z)、加速度场、加速度场a(x,y,z)等都是向量场。等都是向量场。张张量量场场：空空间间区区域域D的的每每一一点点M(x,y,z)都都对对应应于于一一个个张张量量值值B(x,y,z)，就称它们在此空间区域，就称它们在此空间区域D上构成一个张量场。上构成一个张量场。例如：应力场例如：应力场T(x,y,z)、变形速率场、变形速率场D(x,y,z)等都是张量场。等都是张量场。第八页，讲稿共五十一页哦1.1.2 场场 在数学上研究的场对应在流体力学中称为在数学上研究的场对应在流体力学中称为流流场场：描描述述流流体体流流动动的的各各种种标标量量场场、向向量量场场及及张张量量场场的总和。的总和。流场可以分为流场可以分为定定常常场场：场场内内物物理理量量不不依依赖赖于于时时间间，即不随时间改变的场。即不随时间改变的场。非定常场：非定常场：均均匀匀场场：同同一一时时刻刻场场内内各各点点物物理理量量的的值都相等。值都相等。不均匀场：不均匀场：还可以分为还可以分为第九页，讲稿共五十一页哦1.2 梯度、散度和旋度及其基本运算梯度、散度和旋度及其基本运算 1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度梯度：标量场不均匀性的量度 在在标标量量场场 (r,t)中中任任取取一一点点M，过过M点点作作曲曲线线s，n是是曲曲线线s在在M点点处处的的切切线线方方向，邻近点为向，邻近点为M，若以下极限存在，若以下极限存在则则称称其其为为标标量量场场 (r,t)在在M点点处处沿沿n方方向向的变化率。的变化率。sMMn第十页，讲稿共五十一页哦1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度梯度：标量场不均匀性的量度 由由于于曲曲线线s是是任任意意的的，n方方向向随随曲曲线线s变变化化。过过M点点所所有有可可能能的的方向中存在一个方向中存在一个 的变化率最大的方向。的变化率最大的方向。梯梯度度(gradient)是是一一个个向向量量，它它的的方方向向即即为为 变变化化率率最最大大的的方方向向，其其大大小小就就是是这这个个最最大大变变化化率率的的数数值值。梯梯度度是是标标量量场场不不均均匀匀性性的的量度，记为量度，记为grad 。在直角坐标系中。在直角坐标系中 是是哈哈密密顿顿算算子子(Hamilton operator)，读读作作nabla。它它具具有有向向量与微分的双重性质。量与微分的双重性质。第十一页，讲稿共五十一页哦第十二页，讲稿共五十一页哦第十三页，讲稿共五十一页哦在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量第十四页，讲稿共五十一页哦1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度梯度：标量场不均匀性的量度 物理量物理量 沿任一方向沿任一方向(其单位向量为其单位向量为n0)的变化率为的变化率为 (数量积、点乘数量积、点乘)两个向量的点乘是标量两个向量的点乘是标量 (i=x,y,z)此此处处用用到到了了爱爱因因斯斯坦坦求求和和约约定定：同同一一项项中中下下标标i重重复复出出现现两两次次，表表示示须须将将所所有有这这个个下下标标的的取取值值各各项项相相加加，这这种下标称为种下标称为重复指标重复指标或或哑标哑标。第十五页，讲稿共五十一页哦1.2.1 梯度：标量场不均匀性的量度梯度：标量场不均匀性的量度 梯度基本运算法则梯度基本运算法则：(C为常数)第十六页，讲稿共五十一页哦1.2.2 向量场的散度向量场的散度(1)向量向量A通过通过S面的通量面的通量 在在向向量量场场A(r,t)内内取取一一曲曲面面S(可可以以是是封封闭闭的的，也也可可以以是是不不封封闭闭的的)，在在S面面上上取取一一面面积积元元dS，在在dS上上任任取取一一点点M，作作S面面在在M点点的的法法线线。若若曲曲面面是是封封闭闭的的，则则通通常常取取外外法法线线为为正正方方向向，若若曲曲面面不不封封闭闭，则则可可约约定定取取某某一一方方向向为法线正方向。为法线正方向。MSdsnA第十七页，讲稿共五十一页哦1.2.2 向量场的散度向量场的散度(1)向量向量A通过通过S面的通量面的通量 图图中中n是是S面面上上法法线线方方向向的的单单位位向向量量，A表表示示M点点的的向向量量，则则是是A在在S面法线方向面法线方向n的投影。的投影。定定义义 AndS为为向向量量A通通过过面面积积元元dS的的通通量量，该该通通量量沿沿曲曲面面S的的积积分分 称为向量称为向量A通过曲面通过曲面S的通量。的通量。定义面积向量定义面积向量 ，则上述通量也可表示为，则上述通量也可表示为如果如果S是封闭曲面，则向量是封闭曲面，则向量A通过曲面通过曲面S的通量可写成的通量可写成MSdsnA第十八页，讲稿共五十一页哦1.2.2 向量场的散度向量场的散度(2)向量向量A的散度的散度 在在向向量量场场A中中任任取取一一点点M，包包围围M作作一一微微小小体体积积V，其其界界面面的的表表面面积积为为S。考考虑虑向向量量A通通过过S面面的的通通量量，除除以以体体积积V，令令体体积积V向向M点无限收缩，得极限点无限收缩，得极限 若若此此极极限限存存在在，则则称称之之为为向向量量场场A在在点点M处处的的散散度度(divergence)，记记为为divA。向向量量A的的散散度度是是对对单单位位体体积积而而言言向向量量A通通过过微微小小体体积积V的的界界面面S的的通通量量，它它是是一一个个不不依依赖赖于于坐坐标标系系选选取取的的数数量量，因因此此是是一个标量。散度一个标量。散度divA组成一个标量场。组成一个标量场。第十九页，讲稿共五十一页哦1.2.2 向量场的散度向量场的散度(2)向量向量A的散度的散度 在直角坐标系中，在直角坐标系中，AAx iAy jAz k散散度度等等于于零零(divA0)的的向向量量场场称称为为无无源源场场或或管管式式场场。div u0是是不不可可压压缩缩流流体体流流动动的的连连续续性性方方程程。散散度基本运算法则度基本运算法则：第二十页，讲稿共五十一页哦1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度 (1)向量向量A的环量的环量 在在向向量量场场A(r,t)内内取取一一曲曲线线L(可可以以是是封封闭闭的的，也也可可以以是是不不封闭的封闭的)，向量，向量A沿该曲线作线积分沿该曲线作线积分称称该该线线积积分分为为向向量量A沿沿曲曲线线L的的环环量量。若若是是L封封闭闭曲曲线线，则称为向量则称为向量A沿封闭曲线沿封闭曲线L的环量。的环量。第二十一页，讲稿共五十一页哦1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度(2)向量向量A的旋度的旋度 在在向向量量场场A中中任任取取一一点点M，过过M点点取取任任一一方方向向n，以以n为为法法向向作作一一微微小小面面积积S，其其边边界界为为l。若若 以以下下极限存在极限存在 则称之为向量场则称之为向量场A在点在点M处沿处沿n方向上的环量面密度。方向上的环量面密度。在在过过M点点的的所所有有方方向向中中存存在在一一个个环环量量面面密密度度最最大大的的方向。方向。MS第二十二页，讲稿共五十一页哦1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度(2)向量向量A的旋度的旋度 旋旋度度(curl)是是一一个个向向量量，它它的的方方向向即即为为环环量量面面密密度度最最大大的的方方向向，其大小就是这个最大的环量面密度的数值，记为其大小就是这个最大的环量面密度的数值，记为rot A或或curl A。在直角坐标系中在直角坐标系中旋旋度度是是哈哈密密顿顿算算子子 与与向向量量A的的向向量量积积(即即叉叉乘乘)。两两个个向向量量u和和v的的叉叉乘乘为为一一个个向向量量w，其其大大小小为为wuv sin (为为u与与v的的夹夹角角)，方方向向垂垂直直于于u与与v两两个个向向量量形形成成的的平平面面，按按右右手手定定则则确确定定其其指指向向，wuv。按照这一规则，有：。按照这一规则，有：uv-vu，ijk。第二十三页，讲稿共五十一页哦1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度 (2)向量向量A的旋度的旋度 旋旋度度等等于于零零(rot A0)的的向向量量场场称称为为无无旋旋场。场。rot u0代表一无旋流场。代表一无旋流场。旋度基本运算法则旋度基本运算法则：第二十四页，讲稿共五十一页哦1.2.4 高斯高斯(Gauss)公式及其推广公式及其推广 数数学学中中的的高高斯斯定定理理(Gausss theorem)将将体体积积积积分分与与面面积积积积分分联联系系起起来来，在在流流体体力力学学中中，可可以以利利用用这这一一定定理理将将通量与散度通量与散度联系在一起。联系在一起。令令V为为一一封封闭闭曲曲面面所所包包围围的的体体积积，在在曲曲面面上上考考虑虑一一微微小小面面积积dS，其其外外法法线线方方向向为为n，dSndS是是一一向向量量(其其大大小小为为dS，方方向向为为n)，令令A表表示示一一个个标标量量场场、向向量量场场或或张张量场，则高斯公式为量场，则高斯公式为 第二十五页，讲稿共五十一页哦1.2.4 高斯高斯(Gauss)公式及其推广公式及其推广 高斯公式的推广高斯公式的推广形式有：第二十六页，讲稿共五十一页哦1.2.5 斯托克斯定理斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度可以认为同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯斯托克斯定理建立定理建立了了面积分和线积分的关系面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为。从物理角度可以理解为斯托克斯斯托克斯定理建定理建立了区域立了区域 S 中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的闭合曲线的闭合曲线 l 上的场之间的关系。上的场之间的关系。如果已知区域如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，上的场，反之亦然。反之亦然。或者写为或者写为第二十七页，讲稿共五十一页哦1.2.6 基本运算公式列表基本运算公式列表 a、微分公式、微分公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)第二十八页，讲稿共五十一页哦1.2.6 基本运算公式列表基本运算公式列表 a、微分公式、微分公式(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)第二十九页，讲稿共五十一页哦1.2.6 基本运算公式列表基本运算公式列表 b、积分公式、积分公式(高斯公式及其推广式高斯公式及其推广式)(18)(19)(20)(21)(22)(23)第三十页，讲稿共五十一页哦1.3 张量的表示法及张量的定义张量的表示法及张量的定义 近近代代连连续续介介质质力力学学和和理理论论物物理理中中广广泛泛采采用用张张量量。这这不不仅仅因因为为采采用用张张量量表表示示基基本本方方程程书书写写高高度度简简炼炼且且物物理理意意义义鲜鲜明明，更更重重要要的的是是因因为为连连续续介介质质力力学学中中出出现现的的一一些些重重要物理量如要物理量如应力、应变应力、应变等本身就是张量。等本身就是张量。在在标标量量和和向向量量的的定定义义中中，强强调调客客观观存存在在的的物物理理量量是是不不依依赖赖坐坐标标系系而而存存在在的的不不变变量量，例例如如质质量量的的大大小小，速速度度的的方方向向和和大大小小等等，这这种种定定义义方方式式比比较较直直观观易易于于理理解解。张张量量所所表表示示的的物物理理量量也也是是客客观观存存在在的的，也也具具有有与与坐坐标标系无关的特性。系无关的特性。第三十一页，讲稿共五十一页哦1.3 张量的表示法及张量的定义张量的表示法及张量的定义 在在笛笛卡卡尔尔直直角角坐坐标标系系中中定定义义的的张张量量称称为为笛笛卡卡尔尔张张量量，而而在在任任意意曲曲线线坐坐标标系系中中定定义义的的张张量量则则称称为为普普遍遍张张量量。研研究究基基础础流流体体力力学学问问题题只只需需用用到到笛笛卡卡尔尔张张量量方方面面的的知知识识，因因此此，本课程只限于研究笛卡尔张量。本课程只限于研究笛卡尔张量。张张量量的的特特征征：存存在在不不随随坐坐标标系系旋旋转转而而变变化化的的量量。即即：在在坐坐标标系系旋旋转转时时其其分分量量按按一一定定规规律律变变化化，因因而而能能维维持持某某些些量量不不变变。例例如如：标标量量场场(零零阶阶张张量量)的的函函数数值值、向向量量(一阶张量一阶张量)的大小的大小都不随坐标系的旋转而变化。都不随坐标系的旋转而变化。第三十二页，讲稿共五十一页哦1.3.1 张量表示法张量表示法 由由于于张张量量常常常常包包含含多多个个分分量量，在在公公式式中中要要把把涉涉及及的的分分量量一一一一写写出出必必然然非非常常繁繁杂杂，因因此规定下述张量表示法。此规定下述张量表示法。(1)将坐标系改写成将坐标系改写成x1，x2，x3；(2)ai表表示示一一个个向向量量，i是是自自由由指指标标，可可取取1,2,3。例如：例如：A的张量可表示为的张量可表示为 。第三十三页，讲稿共五十一页哦1.3.1 张量表示法张量表示法 (3)求求和和约约定定。为为便便于于书书写写，约约定定在在同同一一项项中中如如有有两两个个自自由由指指标标相相同同时时，就就表表示示要要对对这这个个指指标标从从1到到3求求和和(爱爱因因斯坦求和约定斯坦求和约定)，例如：，例如：第三十四页，讲稿共五十一页哦1.3.1 张量表示法张量表示法 (4)符号符号 ij 定义为定义为 例如：若例如：若ei是正交坐标轴是正交坐标轴qi的单位向量，则有的单位向量，则有 ij常称为克罗内克常称为克罗内克(Kronecker)符号。符号。第三十五页，讲稿共五十一页哦1.3.1 张量表示法张量表示法 (5)置换符号置换符号 ijk定义为定义为 例如：例如：又如行列式又如行列式 第三十六页，讲稿共五十一页哦1.3.2 张量的定义张量的定义 例例：设设e1,e2,e3和和e 1,e 2,e 3分分别别是是旧旧的的和和新新的的直直角角坐标系中的单位向量，则新旧单位向量之间存在如下关系坐标系中的单位向量，则新旧单位向量之间存在如下关系其其中中 aijeiej(i,j1,2,3)是是两两个个坐坐标标系系中中不不同同坐坐标标轴轴夹夹角的余弦。角的余弦。采用张量表示法则上式可简化成采用张量表示法则上式可简化成第三十七页，讲稿共五十一页哦1.3.2 张量的定义张量的定义 现现考考虑虑向向量量A。A1,A2,A3和和A 1,A 2,A 3分分别别是是向向量量A在在旧旧坐坐标标轴轴上上和和新新坐坐标标轴轴上上的的投投影影。显显然然，它它们们之之间间应应有有如下关系如下关系也可简写成也可简写成 上述关系式是在坐标变换时向量的分量所应遵循的规则。上述关系式是在坐标变换时向量的分量所应遵循的规则。第三十八页，讲稿共五十一页哦1.3.2 张量的定义张量的定义 另有一向量另有一向量B，在坐标变换时其分量也应遵循以上规则，即，在坐标变换时其分量也应遵循以上规则，即或记为或记为考考虑虑向向量量A与与B的的分分量量分分别别相相乘乘，得得到到9个个量量，将将这这9个个量量作作为为某某一一量量的的分量，即分量，即 若若在在坐坐标标旋旋转转时时该该量量的的分分量量Cij的的变变化化满满足足Ai和和Bj所所应应遵遵循循的的规则，即规则，即则称该量为二阶张量，并常用其分量的符号则称该量为二阶张量，并常用其分量的符号Cij表示。表示。第三十九页，讲稿共五十一页哦1.3.2 张量的定义张量的定义 由由此此可可将将一一般般n阶阶张张量量定定义义如如下下：设设在在每每一一个个坐坐标标系系内给出内给出3n个数个数Apqrst，当坐标旋转时这些数按以下公式，当坐标旋转时这些数按以下公式转换，则此转换，则此3n个数定义一个个数定义一个n阶张量。阶张量。第四十页，讲稿共五十一页哦1.4 张量的代数运算张量的代数运算 张张量量作作为为向向量量概概念念的的拓拓展展，其其运运算算法法则则也与向量有类似之处。也与向量有类似之处。(1)张量的加减张量的加减 两两个个二二阶阶张张量量的的对对应应分分量量相相加加或或相相减减，得到一个新的二阶张量得到一个新的二阶张量第四十一页，讲稿共五十一页哦1.4 张量的代数运算张量的代数运算 (2)张量的乘积张量的乘积 两两张张量量相相乘乘定定义义为为分分量量的的遍遍乘乘。m阶阶张张量量与与n阶阶张张量量相相乘乘得得到到(m+n)阶阶张张量量。例例如如：向向量量与与向向量量相相乘乘得得到到二二阶阶张张量量，向向量量与与二二阶阶张张量量相乘得到三阶张量。相乘得到三阶张量。张量张量P与与Q的乘积常记为的乘积常记为PQ。(3)张量收缩张量收缩 设设n阶阶张张量量的的分分量量中中有有两两个个下下标标相相同同，根根据据求求和和约约定定，则则得得到到具具有有n-2个下标的量，即共个下标的量，即共3n-2个分量，为个分量，为n-2阶张量，称为张量收缩。阶张量，称为张量收缩。例如：二阶张量例如：二阶张量Cij收缩后为收缩后为CiiC11C22C33，即标量。，即标量。第四十二页，讲稿共五十一页哦1.4 张量的代数运算张量的代数运算 (4)张量的内积张量的内积 张张量量的的内内积积是是向向量量内内积积的的拓拓展展。在在张张量量乘乘积积PQ中中，m阶阶张张量量P和和n阶阶张张量量Q中中各各取取出出一一下下标标收收缩缩一一次次后后得得到到m+n-2阶阶张张量量，称称为为张量张量P和和Q的内积，以的内积，以PQ表示。表示。两个二阶张量的内积得到一个新的二阶张量两个二阶张量的内积得到一个新的二阶张量 二阶张量和向量的内积为一新向量二阶张量和向量的内积为一新向量一般来说，一般来说，。第四十三页，讲稿共五十一页哦1.5 二阶张量二阶张量 二阶张量在流体力学中用得最多，现研究其特性。二阶张量在流体力学中用得最多，现研究其特性。1.5.1 二阶张量的主值和主轴二阶张量的主值和主轴 设设P为为二二阶阶张张量量，将将其其对对任任意意非非零零向向量量A作作如如下下内内积积，得到空间中的另一向量得到空间中的另一向量B。若若B与与A共线，即共线，即则则称称向向量量A的的方方向向为为张张量量P的的主主轴轴方方向向，标标量量称称为为张张量量P的主值的主值。第四十四页，讲稿共五十一页哦1.5.1 二阶张量的主值和主轴二阶张量的主值和主轴 现求张量的主值和主轴方向。现求张量的主值和主轴方向。由由 展开得展开得 这这是是确确定定向向量量A分分量量A1,A2,A3的的线线性性齐齐次次代代数数方方程程。要使此方程有不全为零的解，必须有要使此方程有不全为零的解，必须有第四十五页，讲稿共五十一页哦1.5.1 二阶张量的主值和主轴二阶张量的主值和主轴 对对展开上述行列式展开上述行列式 这这是是确确定定的的三三次次代代数数方方程程。它它有有三三个个根根，可可以以是是三三个个实实根根，也也可可以是一个实根，二个共轭复根。以是一个实根，二个共轭复根。求求出出主主值值后后，代代入入上上述述线线性性齐齐次次代代数数方方程程，便便可可求求出出A1:A2:A3，由此得出向量由此得出向量A的方向，即对应于的方向，即对应于值的主轴方向。值的主轴方向。第四十六页，讲稿共五十一页哦1.5.2 二阶张量的不变量二阶张量的不变量 标标量量是是不不变变量量，向向量量的的大大小小也也是是不不变变量量，二二阶阶张张量也有不随坐标旋转而变化的不变量。量也有不随坐标旋转而变化的不变量。在在上上述述确确定定的的三三次次代代数数方方程程中中，由由根根和和系系数数之之间间的关系可得到的关系可得到 第四十七页，讲稿共五十一页哦1.5.2 二阶张量的不变量二阶张量的不变量 因因为为是是标标量量，即即不不变变量量，由由此此推推断断出出张张量量P分分量量pij的的组组合合I1、I2、I3也也是是不不变变量量，分分别别称称为为二二阶阶张张量量P的的第一、第二和第三不变量。第一、第二和第三不变量。第四十八页，讲稿共五十一页哦1.5.3 共轭张量、对称张量和反对称张量共轭张量、对称张量和反对称张量 (1)共轭张量共轭张量 设设 是是一一个个二二阶阶张张量量，则则 也也是是一一个个二二阶阶张张量，称量，称Pc为为P的共轭张量。的共轭张量。(2)对称张量对称张量 设设 是一个二阶张量，若分量之间满足如下关系是一个二阶张量，若分量之间满足如下关系则称此张量为对称张量，以则称此张量为对称张量，以S表示。表示。由由以以上上定定义义可可知知，对对称称张张量量只只有有六六个个不不同同的的分分量量，且且第四十九页，讲稿共五十一页哦1.5.3 共轭张量、对称张量和反对称张量共轭张量、对称张量和反对称张量 二阶对称张量二阶对称张量具有如下具有如下性质性质：a、对称张量、对称张量S的对称性不因坐标旋转而丧失；的对称性不因坐标旋转而丧失；b、二二阶阶对对称称张张量量的的三三个个主主值值都都是是实实数数，且且一一定定存存在三个互相垂直的主轴；在三个互相垂直的主轴；c、二二阶阶对对称称张张量量在在主主轴轴坐坐标标系系中中具具有有最最简简单单的的标标准准形形式式第五十页，讲稿共五十一页哦1.5.3 共轭张量、对称张量和反对称张量共轭张量、对称张量和反对称张量 (3)反对称张量反对称张量 设设 是是一一个个二二阶阶张张量量，若若分分量量之之间间满满足足如如下关系下关系则称此张量为反对称张量，以则称此张量为反对称张量，以A表示。表示。由由以以上上定定义义可可知知，反反对对称称张张量量主主对对角角线线上上的的三三个个分分量量Aii均均为为零零，所所以以，反反对对称称张张量量只有三个不同的分量，且满足只有三个不同的分量，且满足第五十一页，讲稿共五十一页哦