弹性力学空间问题解答.ppt

弹性力学空间问题解答现在学习的是第1页，共28页7-1 空间问题的基本方程空间问题的基本方程1.平衡微分方程方程平衡微分方程方程现在学习的是第2页，共28页2.几何方程几何方程现在学习的是第3页，共28页3.物理方程物理方程 各种弹性常数之间的关系各种弹性常数之间的关系现在学习的是第4页，共28页4.相容方程相容方程现在学习的是第5页，共28页5.边界条件：边界条件：位移边界条件：对于给定的表面位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿，其上沿x，y，z方向给定位移为方向给定位移为 ，则，则应力边界条件：给定表面上的面力为应力边界条件：给定表面上的面力为现在学习的是第6页，共28页求解空间问题同样有位移法、应力法和应力函数法三种方法。1.位移法：位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的将几何方程代入物理方程，得到用位移表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。得到空间问题的位移法控制方程。2.应力法：应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用应力以应力作为基本未知量。将相容方程用应力表示表示应力控制方程应力控制方程3.应力函数法：先引入应力函数，满足微分平衡方程。由微分平衡方程得应力函数与应力分量的关系，再将用应力函数表示的应力分量代入相容方程，得到一组用应力函数表示的相容方程，即应力函数表示的控制方程。现在学习的是第7页，共28页7-2柱坐标和球坐标系下的基本方程柱坐标和球坐标系下的基本方程一一.柱坐标系下的基本方程柱坐标系下的基本方程直角坐标系下，空间一点直角坐标系下，空间一点M的位置由（的位置由（x,y,z）表示，在柱坐标系）表示，在柱坐标系下，空间一点下，空间一点M的位置由（的位置由（r,q q,z）表示。两坐标间的关系为：）表示。两坐标间的关系为：在柱坐标系下的应力分量为在柱坐标系下的应力分量为应变分量为应变分量为位移分量为位移分量为现在学习的是第8页，共28页柱坐标表示的基本方程柱坐标表示的基本方程1.平衡方程平衡方程（7-1）现在学习的是第9页，共28页2.几何方程几何方程（7-2）现在学习的是第10页，共28页3.物理方程物理方程（7-3）或或（7-4）现在学习的是第11页，共28页当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于当物体的几何形状、约束情况以及外力都对称于z轴时，则轴时，则称为空间轴对称问题。称为空间轴对称问题。在空间轴对称问题中，有：在空间轴对称问题中，有：应力分量、应变分量、位移分量仅是应力分量、应变分量、位移分量仅是r，z的函数，与的函数，与q q无关。无关。（7-5）现在学习的是第12页，共28页4.空间轴对称问题的基本方程空间轴对称问题的基本方程(1)平衡方程：平衡方程：将式（将式（7-5）代入式（）代入式（7-1），得），得（7-6）(2)几何方程：几何方程：将式（将式（7-5）代入式（）代入式（7-2），得），得（7-7）现在学习的是第13页，共28页(3)物理方程：物理方程：将式（将式（7-5）代入式（）代入式（7-4），得），得（7-8）现在学习的是第14页，共28页(4)空间轴对称问题位移求解的基本方程空间轴对称问题位移求解的基本方程空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。以位移求空间轴对称问题共有四个应力分量，两个位移分量。以位移求解更方便。解更方便。将几何方程（将几何方程（7-7）代入物理方程（）代入物理方程（7-8），得），得（7-9）现在学习的是第15页，共28页将式（将式（7-9）代入平衡方程（）代入平衡方程（7-6），化简后得），化简后得（7-10）不计体力：不计体力：（7-11）位移控制方程位移控制方程现在学习的是第16页，共28页为求得式（为求得式（7-11）的解，拉甫（）的解，拉甫（Love,A.E.H）引进一个位）引进一个位移函数移函数 ，它和位移分量有如下关系：，它和位移分量有如下关系：（7-12）将式（将式（7-12）代入式（）代入式（7-11），其中第一式满足，第二式为：），其中第一式满足，第二式为：表明表明 为双调和函数，称为为双调和函数，称为拉甫位移函数。拉甫位移函数。（7-13）现在学习的是第17页，共28页将式（将式（7-12）代入式（）代入式（7-9）,得应力分量与位移函数的关系式得应力分量与位移函数的关系式:对空间轴对称问题，只要找到满足式（对空间轴对称问题，只要找到满足式（7-13）的位移函数）的位移函数 ，代入式（，代入式（7-12）和式（）和式（7-14）求出位移和应力分量。如能满足）求出位移和应力分量。如能满足边界条件，即为问题的解。边界条件，即为问题的解。（7-14）拉甫位移函数的拉甫位移函数的量纲比应力分量量纲比应力分量高三次高三次现在学习的是第18页，共28页球坐标表示的基本方程（自学）球坐标表示的基本方程（自学）见教材见教材P144145现在学习的是第19页，共28页7-3 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力设有一半空间体，不计体力，在水平边界受法向集中力P作用。xyzM(r，z)rz选P的作用点为坐标原点，Oz轴与P的作用线重合。水平边界面为xOy面。现在学习的是第20页，共28页应力边界条件：应力边界条件：在半空间体中过任一点在半空间体中过任一点M（r，z），作与边界平面平行的水平截），作与边界平面平行的水平截面，取半空间体的上部分，在面，取半空间体的上部分，在z方向有平衡条件方向有平衡条件（a）（b）由因次分析，设想体内的应力分量表达式是力由因次分析，设想体内的应力分量表达式是力P与坐标与坐标r，z等等长度坐标的负二次幂相乘，即长度坐标的负二次幂相乘，即现在学习的是第21页，共28页位移函数比应力分量高三次，即位移函数应为位移函数比应力分量高三次，即位移函数应为P与与r,z等长度坐等长度坐标的正一次相乘的形式。同时，随标的正一次相乘的形式。同时，随M点离点离O点越远，位移越小，点越远，位移越小，即与即与R成反比。为此，设成反比。为此，设代入式（代入式（7-12）和式（）和式（7-14），得位移分量和应力分量），得位移分量和应力分量（c）（d）现在学习的是第22页，共28页将应力分量式（将应力分量式（e）代入边界条件（）代入边界条件（a），式（），式（a）第一式满足，）第一式满足，但式（但式（a）第二式不满足。）第二式不满足。（e）（f）现在学习的是第23页，共28页为使边界条件（为使边界条件（a）的第二式满足，应叠加一个位移函数）的第二式满足，应叠加一个位移函数 ，它在，它在z=0处有处有 ，且给出的，且给出的 能与式（能与式（f）抵消。）抵消。叠加的位移函数应是双调和函数，且是长度坐标的零次叠加的位移函数应是双调和函数，且是长度坐标的零次幂。由此条件，试算后，取幂。由此条件，试算后，取（g）现在学习的是第24页，共28页 对应的位移分量和应力分量为：对应的位移分量和应力分量为：（h）现在学习的是第25页，共28页两个位移函数两个位移函数式式(e)和式（和式（h）叠加后，边界条件（叠加后，边界条件（a）的第）的第一式仍满足，第二式为：一式仍满足，第二式为：即即由平衡条件（由平衡条件（b），得），得（i）（j）由式（由式（i）和式（）和式（j），得），得现在学习的是第26页，共28页最终的位移分量和应力分量为：最终的位移分量和应力分量为：（k）（l）现在学习的是第27页，共28页由式（由式（k）的第二式可见，水平边界上任意一点的垂直位移）的第二式可见，水平边界上任意一点的垂直位移（即工程中关心的地表沉陷量即工程中关心的地表沉陷量）为）为现在学习的是第28页，共28页