分式线性变换精选PPT.ppt
关于分式线性变换关于分式线性变换第1页，讲稿共53张，创作于星期日2一 分式线性变换及其分解1 分式线性变换概念(1)函数称为分式线性变换,简记为(2)在扩充z平面上补充定义第2页，讲稿共53张，创作于星期日3(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的第3页，讲稿共53张，创作于星期日42 分式线性变换的分解第4页，讲稿共53张，创作于星期日5(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2)(I)(II)型变换的几何性质旋转旋转位似位似(伸缩伸缩)平移平移第5页，讲稿共53张，创作于星期日6旋转与伸长旋转与伸长(或缩短或缩短)变换变换平移映射平移映射第6页，讲稿共53张，创作于星期日7此变换可进一步分解为此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换关于实轴的对称变换.规定规定:无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.第7页，讲稿共53张，创作于星期日8.即即:第8页，讲稿共53张，创作于星期日9例例1试将线性变换试将线性变换分解为简单变换的复合分解为简单变换的复合.解解因此可分解为因此可分解为的复合的复合.第9页，讲稿共53张，创作于星期日10例例2 试证试证:除恒等变换外除恒等变换外,一切线性变换一切线性变换(7.3)恒有两个恒有两个相异的或一个二重的不动点相异的或一个二重的不动点证明证明线性变换线性变换(7.3)的不动点适合的不动点适合即即上面系数不全为零上面系数不全为零,第10页，讲稿共53张，创作于星期日11这时这时(7.3)为为有不动点有不动点第11页，讲稿共53张，创作于星期日12不动点不动点二二 分式线性变换的共形分式线性变换的共形第12页，讲稿共53张，创作于星期日13定义定义7.3由定义由定义7.3引入两个反演变换引入两个反演变换第13页，讲稿共53张，创作于星期日143 定理定理7.7分式线性变换分式线性变换(7.3)在扩充在扩充z平面上是共形的平面上是共形的.注注在无穷远点处在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性不考虑伸缩性的不变性.第14页，讲稿共53张，创作于星期日15三三 分式线性变换的保交比性分式线性变换的保交比性1定义定义7.4注注第15页，讲稿共53张，创作于星期日162 定理定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。在分式线性变换下，四点的交比不变。证明证明因此因此第16页，讲稿共53张，创作于星期日17注注因此只需指定三对对应点因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的且除相差一个常数因子外是唯一的.第17页，讲稿共53张，创作于星期日183 定理定理7.9注注三对对应点唯一确定一分式线性变换三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明证明 先考虑已给各点都是有限点的情形先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是设所求分式线性函数是那么，由那么，由第18页，讲稿共53张，创作于星期日19得得同理，有同理，有因此，有因此，有第19页，讲稿共53张，创作于星期日20 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性函函数数。由由此此也也显显然然得得这这样的分式线性函数也是唯一的。样的分式线性函数也是唯一的。那么，由那么，由同理有同理有 由由此此，我我们们可可以以解解出出分分式式线线性性函函数数。由由此此也也显显然然得得这这样的分式线性函数也是唯一的。样的分式线性函数也是唯一的。其其次次，如如果果已已给给各各点点除除 外外都都是是有有限限点点。则所求分式线性函数有下列的形式：则所求分式线性函数有下列的形式：第20页，讲稿共53张，创作于星期日21例例3求将求将分别变为分别变为的分式线性变换的分式线性变换.解解所求的分式线性变换为所求的分式线性变换为即即整理得整理得第21页，讲稿共53张，创作于星期日22四四 分式线性变换的保圆周分式线性变换的保圆周(圆圆)性性对对(I)显然将圆周显然将圆周(或直线或直线)变为圆周变为圆周(或直线或直线).对对(II)型型:因圆周因圆周(或直线或直线)可表为可表为它表示圆周或直线它表示圆周或直线.第22页，讲稿共53张，创作于星期日231 定理定理7.10 分分式式线线性性变变换换将将平平面面上上圆圆周周(或或直直线线)变变为为圆周圆周(或直线或直线).注注1在扩充在扩充z平面上平面上,直线可视为过无穷远点的圆周直线可视为过无穷远点的圆周.事实上事实上,(7.11)可写成可写成注注2同时圆被共形变换成圆同时圆被共形变换成圆-分式线性变换的保圆性分式线性变换的保圆性.第23页，讲稿共53张，创作于星期日24第24页，讲稿共53张，创作于星期日25.第25页，讲稿共53张，创作于星期日26注注3 在在扩扩充充z平平面面上上给给定定区区域域K及及D,其其边边界界是是的的圆圆周周,则则K可可共形变换成共形变换成D.注注4例例4 试决定在分式线性变换试决定在分式线性变换下实轴与上半下实轴与上半z平面及单位圆周平面及单位圆周的像的像.解解(1)因系数为实数因系数为实数,从而该线性变换把实轴变为实轴从而该线性变换把实轴变为实轴,故将实轴为边界的两个区域故将实轴为边界的两个区域,即上下两个半平面即上下两个半平面,第26页，讲稿共53张，创作于星期日27(2)扩充扩充z平面上的圆周由三个点决定平面上的圆周由三个点决定,第27页，讲稿共53张，创作于星期日28五五 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性1定义定义7.5注注证明证明“必要性必要性”第28页，讲稿共53张，创作于星期日29则则所以所以“充分性充分性”第29页，讲稿共53张，创作于星期日30.2 定理定理7.1证明证明第30页，讲稿共53张，创作于星期日31.第31页，讲稿共53张，创作于星期日323 分式线性变换的保对称性分式线性变换的保对称性定理定理7.12证明证明由分式线性变换的保角性由分式线性变换的保角性,由定理由定理7.11,第32页，讲稿共53张，创作于星期日33解解由定理由定理7.12,例例5 求线性变换求线性变换变为上半平面变为上半平面,使将圆盘使将圆盘第33页，讲稿共53张，创作于星期日34由线性变换的保交比性由线性变换的保交比性,所求的线性变换为所求的线性变换为即即整理后得整理后得第34页，讲稿共53张，创作于星期日35六六 线性变换的应用线性变换的应用 由由于于线线性性变变换换具具有有共共形形性性,保保交交比比性性,保保圆圆(圆圆周周)性性和和保保对对称称点点性性,它它在在处处理理边边界界为为圆圆弧弧或或直直线线的的区区域域变变换换中中,起着重要的作用起着重要的作用,下面介绍一些类型下面介绍一些类型.例例6第35页，讲稿共53张，创作于星期日36事实上事实上,所述变换将实轴变为实轴所述变换将实轴变为实轴,且当且当z为实数时为实数时即实轴变为实轴是同向的即实轴变为实轴是同向的,或或解解第36页，讲稿共53张，创作于星期日37例例7解解故故第37页，讲稿共53张，创作于星期日38即即故故解该方程组得解该方程组得故所的线性变换为故所的线性变换为第38页，讲稿共53张，创作于星期日39例例8解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,第39页，讲稿共53张，创作于星期日40因此这个变换应具有形式因此这个变换应具有形式,故可令故可令从而所求的变换为从而所求的变换为第40页，讲稿共53张，创作于星期日41注注1确定变换确定变换(7.13)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注2第41页，讲稿共53张，创作于星期日42例例9解解由线线变换的保对称性由线线变换的保对称性,因此所求变换具有形式因此所求变换具有形式第42页，讲稿共53张，创作于星期日43利用单位圆周变为单位圆周的条件知利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令因此令从而所求的变换为从而所求的变换为第43页，讲稿共53张，创作于星期日44注注1确定变换确定变换(7.14)的的k,只需再给一对边界对应点只需再给一对边界对应点.注注2第44页，讲稿共53张，创作于星期日45例例10第45页，讲稿共53张，创作于星期日46解解作线线变换作线线变换复合上述两个变换得复合上述两个变换得整理得整理得第46页，讲稿共53张，创作于星期日47即由即由得得从而所求的变换为从而所求的变换为第47页，讲稿共53张，创作于星期日48例例11解解(1)先作伸缩变换先作伸缩变换(2)再作平移变换再作平移变换第48页，讲稿共53张，创作于星期日49使得使得于是于是(4)排列对应点排列对应点第49页，讲稿共53张，创作于星期日50(5)将以上线性变换复合起来将以上线性变换复合起来,即得所求的线性变换为即得所求的线性变换为第50页，讲稿共53张，创作于星期日51第51页，讲稿共53张，创作于星期日52本节结束本节结束谢谢！谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics第52页，讲稿共53张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看9/29/2022第53页，讲稿共53张，创作于星期日
