最新《一元二次不等式及其解法》典型例题透析.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date一元二次不等式及其解法典型例题透析一元二次不等式及其解法典型例题透析一元二次不等式及其解法典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.方法二： 或解得 或 ，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因为，方程的解为.函数的简图为：所以，原不等式的解集是方法二：（当时，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解，函数的简图为：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：原不等式的解集是.总结升华：1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【答案】（1）方法一：因为方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是：.方法二：原不等式等价于, 原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化为,因为,方程的解，函数的简图为：所以不等式的解集是.（3）方法一：因为方程有两个相等的实根：，由函数的图象为：原不等式的的解集是.方法二： 原不等式等价于：, 原不等式的的解集是.（4）方法一：因为，方程无实数解，由函数的简图为：原不等式的解集是.方法二：， 原不等式解集为.【变式2】解不等式：【答案】原不等式可化为不等式组 ，即，即，解得原不等式的解集为.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集。思路点拨:由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 解析：由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，化为，即，解得，故不等式的解集为.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为x|-3<x<2，则a=_, b=_。【答案】由不等式的解集为x|-3<x<2知a<0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。由根与系数关系得解得a=-2, b=-2。【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.【答案】由韦达定理有：，,.代入不等式得，即，解得，故不等式的解集为：.【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得，即，解得或.的解集为：.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题例3已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意。若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以， 即， 1<m<19。 综上所述，实数m的取值范围是m|1m<19。 总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集 即的解集为R当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意.当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当时，只需，即，解得，综上，的取值范围为：.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4解下列关于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0； 解析：(1) 原不等式的解集为。(2) =a2-4当>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为当=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。当<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R。（3）(x-1)(x-a)<0 当a>1时，原不等式的解集为x|1<x<a 当a<1时，原不等式的解集为x|a<x<1 当a=1时，原不等式的解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：【答案】原不等式化为a=1或a=-1时，解集为Æ；当0<a<1 或a<-1时，解集为：；当a>1或 -1<a<0时，解集为：。【变式2】解关于的不等式：（）【答案】当a0或a1时，解集为；当a=0时，解集为；当0a1时，解集为；当a=1时，解集为；例5解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10。解析：若a=0，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或x1；若a0，原不等式，其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式；（2）当a1时，原不等式；（3）当0a1时，原不等式综上所述：当a0，解集为；当a=0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a=1时，解集为；当a1时，解集为。总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【答案】当a=0时，x(-¥,2. 当a0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为当a>0时，若， 即时，；若， 即时，xR； 若， 即时，.当a<0时，则有：， 。【变式2】解关于x的不等式：ax22x-1<0；【答案】当a=0时，.当a0时，=4+4a=4(a+1)， a>0时，则>0，.a<0时，若a<0，<0， 即a<-1时，xR；若a<0，=0， 即a=-1时，xR且x1；若a<0，>0， 即 -1<a<0时， 。【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1>0【答案】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为x|x<1；若a0，原不等式为关于x的一元二次不等式.方程的判别式=1-4a ()当=1-4a<0，即时，方程没有实数根，故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：所以，此时不等式的解集为实数集R； ()当=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；()当=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根，当时，函数的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；当a<0时，函数的图象开口向下，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；综上所述：a<0时，原不等式解集为；a=0时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为实数集R.-