行列式按行列展开讲稿.ppt

关于行列式按行列展开关于行列式按行列展开9/29/20221第一页，讲稿共三十三页哦性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即 D=DT T.行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立对列也同样成立.性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k k，等，等于用数于用数k k乘以此行列式乘以此行列式.推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面的外面性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零零第二页，讲稿共三十三页哦性质性质5 5 若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式除该这两个行列式除该行（列行（列)以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变第三页，讲稿共三十三页哦9/29/202246 行列式按行行列式按行(列列)展开展开第四页，讲稿共三十三页哦一、引言一、引言结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？第五页，讲稿共三十三页哦例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式(Algebraic Complement)在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，留下来列划后，留下来的的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 .结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中式中每一个元素每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第六页，讲稿共三十三页哦引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 例如例如 第七页，讲稿共三十三页哦即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 第八页，讲稿共三十三页哦下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.为什么要依次？为什么要依次？第九页，讲稿共三十三页哦中的余子式中的余子式第十页，讲稿共三十三页哦我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.余子式相同余子式相同第十一页，讲稿共三十三页哦二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即代数余子式乘积之和，即证证第十三页，讲稿共三十三页哦第十四页，讲稿共三十三页哦二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即素的代数余子式乘积之和等于零，即第十五页，讲稿共三十三页哦比较等式两边，可得比较等式两边，可得第十六页，讲稿共三十三页哦定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得第十七页，讲稿共三十三页哦例例1（1.15）第十八页，讲稿共三十三页哦 证明证明 用数学归纳法用数学归纳法例例2 2 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式所以所以n=2 时时(1)式成立式成立.第十九页，讲稿共三十三页哦假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有第二十页，讲稿共三十三页哦 n1阶范阶范德蒙德蒙德行德行列式列式假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有第二十一页，讲稿共三十三页哦例例2 2 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式Such as：第二十二页，讲稿共三十三页哦第二十三页，讲稿共三十三页哦例例3 3 设设 ,的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及第二十六页，讲稿共三十三页哦例例3 3 设设 ,的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求解解及及第二十七页，讲稿共三十三页哦例例3 3 设设 ,的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求及及第二十八页，讲稿共三十三页哦 1.1.行列式按行（列）展开法则是把行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式高阶行列式的计的计算化为算化为低阶行列式低阶行列式计算的重要工具计算的重要工具.三、小结三、小结第二十九页，讲稿共三十三页哦思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和第三十页，讲稿共三十三页哦思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第三十一页，讲稿共三十三页哦1 1、计算行列式计算行列式练习练习2 2、解方程解方程第三十二页，讲稿共三十三页哦9/29/2022感感谢谢大大家家观观看看第三十三页，讲稿共三十三页哦