数学思想讲座数学与思维发展的关系幻灯片.ppt

数学思想讲座数学与思维发展的关系第1页，共14页，编辑于2022年，星期六数学与思数学与思维发维发展的关系展的关系 人们常把数学形容为思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！哲学、诗歌不要求每人都会 数学每人必须会 第2页，共14页，编辑于2022年，星期六1 1、归纳归纳与完全与完全归纳归纳 思维的一种形式是归纳。那么归纳性质的表征是什么呢？所谓归纳，是指通过对有限多个同类对象的观察分析，猜测一种共性或规律，并证明这种共性的确是正确的一种思维方法。当“同类对象”为有限多个时，我们将对象一一验证就可获得结论（对或错）；但当“同类对象”无法穷举或实际上就是无限多时，我们原有的思维方法就无法具有说服力了。因此必须寻找一种处理无限的思维方法.即在数学上所要求的完全归纳,确保其正确性.第3页，共14页，编辑于2022年，星期六1 1、归纳归纳与完全与完全归纳归纳 我们熟悉的完全归纳法数学归纳法。我们来看一些（非完全归纳）例子。第4页，共14页，编辑于2022年，星期六1 1、归纳归纳与完全与完全归纳归纳 第5页，共14页，编辑于2022年，星期六1 1、归纳归纳与完全与完全归纳归纳第6页，共14页，编辑于2022年，星期六1 1、归纳归纳与完全与完全归纳归纳这说明，考察一组对象的性质或规律时，可能出错。究其原因在于对于“无穷多”的思维方式不能按照“有限多”方式来处理，否则容易出现问题。这种方法通常成为不完全归纳。第7页，共14页，编辑于2022年，星期六1 1、归纳归纳与完全与完全归纳归纳 数学对归纳的完全性是要求十分严格，其意义不仅对所有的自然科学是重要的，而且对人文社会科学也是重要的。借鉴数学思维的严格性，可以大大提高社会科学学科的科学性。以例带证的方法属于不完全归纳，显然不能令人信服。目前许多社会科学学科还是按照这种方式来解释其命题，科学性显然要遭到质疑。社会科学；实验学科；第8页，共14页，编辑于2022年，星期六2 2、逻辑逻辑思思维维的代表：演的代表：演绎绎 当归纳具有完全性时，其方法可以说属于逻辑的范畴了。逻辑思维的代表之一是演绎思维。演义思维最早来自几何学，其影响之广泛使得人们特别看重演绎科学的地位。实际上，一门学科是否为成熟的是以它是否已形成一套演绎体系（公理体系）为标志的。数学的这一特点是与它极强的逻辑性和抽象性紧密联系在一起的。第9页，共14页，编辑于2022年，星期六2 2、逻辑逻辑思思维维的代表：演的代表：演绎绎抽象：强抽象 弱抽象。任意四边形凸四边形梯形平行四边形矩形菱形正方形第10页，共14页，编辑于2022年，星期六2 2、逻辑逻辑思思维维的代表：演的代表：演绎绎例子：函数概念的演变过程。17世纪：幂函数（多项式）的代名词。18世纪：表达式（初等函数）。欧拉给出了y=f(x)的表示。初等函数非初等函数（级数、积分表示）解析表达式（一个式子）分段函数（伪函数，柯西引入了“对应”术语，但还是解析式子）Dirichlet函数：Dirichlet函数不但从表达式上突破了解析式的限制，而且还对“凡函数至少在一点连续”提出了挑战。第11页，共14页，编辑于2022年，星期六2 2、逻辑逻辑思思维维的代表：演的代表：演绎绎虽然这个表达式是认为构造的，带有主观性质，但它却推动了人们对函数本质的客观认识。这也反映了认识论中的基本内涵。主观判断主观事物一定要小心，不要把主观臆相混同于主观构想。科学需要主观构想的。第12页，共14页，编辑于2022年，星期六2 2、逻辑逻辑思思维维的代表：演的代表：演绎绎Dirichlet函数对应规则（何为对应？）有序对（x,y）（新概念）集合函数（泛函）广义函数（函数）.上述过程实际上就是演绎思维弱抽象的例子.第13页，共14页，编辑于2022年，星期六2 2、逻辑逻辑思思维维的代表：演的代表：演绎绎再以函数为例给出强抽象的例子.连续性问题解决后,出现了可微性问题.f(x)=|x|是连续但在0点不可微的例子.问题:连续函数至少有一个可微点?Weiestrauss构造了一个处处连续但处处不可微的例子,这个例子让数学家惊叹:直观似乎告诉我们不可能有这种函数,直观欺骗了我们.第14页，共14页，编辑于2022年，星期六