第四章-力学量算符(11页).doc
-第 1 页第四章第四章-力学量算力学量算符符-第 2 页第四章第四章 力学量算符力学量算符一一 内容提要内容提要1 基本假设：量子力学中的力学量用算符表示基本假设：量子力学中的力学量用算符表示1 线性厄米算符（力学量算符）dFdF*)(或FF2 线性幺正算符满足线性条件以及1UUUU或1UU2 力学量用算符表示力学量用算符表示在量子力学中用以表示力学量的算符本身并没有直接的物理意义，算符表示力学量的含义表现在三方面：1 一个力学量算符F的本征值方程nnnF中的全部本征值是仅且是这个力学量F的所有可能值；2若在体系一个给定的状态),(tr中测量力学量 F 设本征值为分立的。将),(tr归一化且以n展开nnntctr)(),(其中dtrcnn),(*则2nc是体系在),(tr态下时刻t测得力学量 F 取值为n的几率。当 F 得本征值为连续谱时有cdtr),(其中),(*trdcdc2为 F 在d得几率，动量是这种情况得重要以例。3 在),(tr中测量 F 得期望值为2nnncF或dtrFtrF),(),(*3几个基本力学量算符几个基本力学量算符1 坐标算符rr 2 动量算符ip rpiper3)2(1)(3 轨道角动量zyxLLLL,2zLL,2的本征函数为球函数4 宇称宇称算符P的本征值为+1 和-1 相应的本征函数分别是坐标变量的偶函数和奇函数。5哈密顿算符当哈密顿不显含时间时有：EH-第 3 页6 自旋算符S泡利算符 4 算符的对易关系算符的对易关系1基本对易关系ipx,2复变量对易关系3 角动量对易关系二二 例题讲解例题讲解1 证明1101,nssnsnBBABBA，2 若算符B与,BA对易 则有,1BABnBAnn，解：1 用数学归纳法：当 n=1 时110,snnssnBBABBA成立若 n=k 时成立，即110,skksssBBABBA成立设 n=k+1 成立利用公式CBACABCBA,有令 k+1=n 则nBA，10,skkssBBAB2 由于 B 与A，B对易，由1的结果。2 设两个算符A与B互相不对易：0,BA，为参变数。试证明：1,!3,!2,!132BAAABAABABeBeAA；2nAAAnAeBeeBe)(；3)()(AAAAeBeFeBFe再据此a 应用ipx,证明xexepipib 应用LiLL证明cossinzxLizLiLLeLeyy；cossinxyLixLiLLeLezz；c设)0(m是zL的本征态，相应的本征值为m则)0(mLiLimyzee是cossinsincossinzyxnLLLL的本征态。-第 4 页证明：1 令00)(!)(nnnnAAdFdnFeBe（1）则BF)0(（2）=,)(,0BAFA（3）又0022)(,)()(FAdddFdddFdd=0)(,dFdA=0）（，FAA=,BAA（4）依次类推，易得,!3,!2,!132BAAABAABABeBeAA（5）2 因为）AAAnAeBeeBe(）AAeBe(）AAeBe(=AAeBBBBe=AnAeBe（6）3 设AAeBeG则nnnAAGaGFeBeF)()(0（7）又AnAnAAneBeeBeG)(（8）故AnnnAAnAnnAAeBaeeBeaeBeF00)()()(（9）据此 a 应用公式（5）设xBpiA,则,!2,!12xpipixpixexepipi x（10）若令pBxA,212应用公式（5）得xip（11）b 令zyLBLiA,，应用公式（5）有：xzLLsincos（12）-第 5 页同理 若令xzLBLiA,利用（5）可得：cossinxyLixLiLLeLezz（13）c由（12）cossinzxLizLiLLeLeyy得yyLiyxzLieLLLe)cossin(（14）由（13）cossinxyLixLiLLeLezz得zzLixyxLieLLLe)cossin(（15）于是31 证明)()(,rFirFp其中p为动量，)(rF为r得标量算符；2 计算,1,1,2222rrprprprp解：1 设任意函数)(r则则xFiFpx,同样有所以)()(,rFirFp2a 利用上式得：3)1(1,rririrp；b利用公式,FBABFAFAB得又有1 得33,rrirrp那么333rriprrrrp得)(121,3232rrprrirp可以证明03rr（注证明上式：33311rrrrrr，又有525222232223)(223)(1rxzyxxzyxx那么0331153333rrrrrrrrrr）c 利用1有ririrp2)(,22那么d对易关系pipriripprprpprp2)()(,2其中利用了1r-第 6 页又rrprrirp223212 121,那么有rrrrpirprrrprrp222222121,1,上面利用了a式，以及ip4以prl表示轨道角动量，证明在zl得任何一个本征态下，xl和yl得平均值为 0。证明：设m为zl得本征态，本征值为m即mmzmlmzmml（1）利用对易关系式xyzzylillll（2）求上式两边在m中得平均值0mymmymlmlm（3）同样利用对易关系yzxxzlillll在m下求出0yl5对于（zll,2）得共同本征态),(lmY。计算122,yxll得平均值；2yxll,并且验证测不准关系。解：设lmlllml22)1(（1）lmmlmlz（2）利用对易关系式：lill（3）得：xyzyzxyxyzxzyxyzzyxllllillllllllllllllli)()(22yxyzzxylillllll（4）则22yxyzzxyxlilmllllmlmllllmli所以22yxll（5）而222222)1(mllllllzyx（6）则2222)1(21mllllyx（7）又0yxll利用222)(FFF-第 7 页得)1(222222mlllllxxx同样有)1(222222mlllllyyy所以yxll)1(222mll（8）而测不准关系给出得是：22121,21mlillllzyxyx（9）由于ml 因此（8）、（9）是一致的。仅当ml 时（9）式等号成立。6设)2(122ll，求),(2xll的共同本征函数。表示成球函数),(lmY的线性迭加。（已知：iieYYeYsin83,cos43,sin83111011）解：已知),(2zll的共同本征态为),(lmY。由于zyxlll,在具体运动中是等地位的。1l时，zl的本征值为,0，那么yxll,的本征值也应是,0。现设),(2xll的共同本征函数分别为111011,。它们可以由),(2zll的共同本征态111011YYY，的具体函数形式，利用zyx，轮换的方法求出。即xzzyyx,相似有xzzyyxllllll,而2l不变。已知：)sin(cossin83sin8311ieYi（又zryrxrcossinsincossin所以riyxY8311（1）rzY43cos4310（2）riyxeYi83sin8311（3）经过轮换：-第 8 页)212121(8311101111YYYirizyY（4）)(2143111110YYrxY（5）)212121(8311101111YYYirizyY（6）选择适当的系数因子可以得到解：11101111212121YYYxl（7）)(21111110YY0 xl（8）11101111212121YYYxl（9）7对于),(2zll的共同本征态为),(10Y，求xl的可能值及相应的几率。解：方法一xl的可能值为其本征值0，设相应的几率为101,www。首先1101www（1）其次由于0 xl那么0)(011101wwwwwlx即011ww（2）再次因为2222)1(21mllllyx即有则221121212)()(wwwwlx因此111ww（3）由（1）、（2）、（3）解得：方法二 由上题得结果（7）-（8）可知，)(21111110Y各项系数得模方即为xl取相应本征值得几率。8在轨道角动量算符zLL,2得共同本征态),(lmY中试求：1 算符nLLn得期望值；22nL；-第 9 页3 在1l情况下nLLn在),(lmY中取值,0,m得几率。单位矢量n得球坐标系表示是),1(n解：因为),1(n则sinsincossincosyxznLLLnLL（1）1 在),(lmY中cossinsincossincosmLLLLyxzn（2）222)sinsincossincos(yxznLLLnLL那么+cossinsin)(2xyyxLLLL（3）又222mLz（4）2222)1(21mllllyx（5）02xzxxzLmLLLL02yzyyzLmLLLL（6）下面证明0 xyyxLLLL（7）因为zxxzyLLLLLi分别左右乘xL得相加得：zxxzxyyxLLLLLLLLi)(22所以0)(22lmLLLLlmLLLLizxxzxyyx由 4）-（7）得2222222sin)1(2cosmllmLn3在1l中设nL在),(lmY中取值,0,m的几率分别是101,www所以1sin)2(2cos)(0cos)(001222222120122101wwwmmwwwLmwwwLnn（8）得：sin231(cos21)sin(sin231sin)211(cos212221222202221mmmwmmwmmmw（9）9 考虑lm态是矢量空间中1l的子空间。-第 10 页1写出),(2xll中xl的矩阵表示式；2利用第六题求得),(2xll的共同本征函数，写出联系),(2xll和),(2zll表象的幺正变换矩阵 S；3求出),(2zll表象中xl的表示式；4求出),(2zll表象中yl的表示式；5求出),(2yll共同本征函数，表示成lmY的线性组合。解：本题是关于两各表象之间力学量和态的幺正变换问题。11l（22l），l在任何一个分量上的本征值都是,0,，在),(2xll表象中角动量x分量的矩阵为0000000 xl2 由第六题得1l时xl的本征函数是：写成在),(2zll表象中的态矢量为因此变换矩阵 S 为：12120212121S不难证明1SSSS3 按表象变换公式由),(2xll表象的xl变换到),(2zll表象中的xl由下式给出：4),(2zll表象中zl是：100000001zl对易关系不随表象而变，利用对易关系yzxxzlillll得：)(1zxxzyllllil将zxll,代入上式得：0000022iiiily5 设1l时yl得本征函数是：111100111YcYcYc写成),(2zll表象中得态矢量为101ccc以表示yl得本征值，则yl得本征方程为：本征值由久期方程求得：0202202iiii得：1,0,1-第 11 页分别以1,0,1代入本征方程且利用1212021ccc得：),(在表象中分别是：三三练习练习1 证明1,1nxinxpnn2 设BA,满足0,ABA的算符，则对于所有的正整数 m，关系式,1BAAmBAmm成立（提示：利用数学归纳法）3 设)2(122ll，求),(2yll的共同本征函数。表示成球函数),(lmY的线性迭加。（已知：iieYYeYsin83,cos43,sin83111011）4 对于),(2zll的共同本征态为),(10Y，求yl的可能值及相应的几率。5 设 A 为厄米算符，证明算符iAiAU11为幺正算符。（提示：证明1UUUU且利用2)(111iAiAiA以及6 证明,)(22plpllpipipllp7 证明在离散的能量本征态下动量平均值是零。（提示：)(22rVpHmpiprHr2,2即,Hrmip设EH且已经归一化。0),(),(),/(),(Hrimppp）8 证明/xiapeA 是使)(xf变成)(axf的算符。即/xiapeA 是产生有限值a的沿 X-轴的平移算符。（提示：将/xiapeA 展成算符的泰勒级数，然后再作用在)(xf上）
