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投资组合选择问题1现在学习的是第1页，共29页3.1 均值均值-方差模型回顾方差模型回顾市场假设市场上共有n个风险资产，第i个资产的当前价格 ，未来价格为 ，则其总回报率为总回报率向量 r=(r1,r2,rn)的期望和协方差矩阵为资产未来价格向量 的期望和协方差为其中2现在学习的是第2页，共29页3.1 均值均值-方差模型回顾方差模型回顾Markowitz均值-方差模型Markowitz均值方差模型为 其中 为预先指定的投资组合的期望收益率。表示以投资额比例计的投资组合。3现在学习的是第3页，共29页3.1 均值均值-方差模型回顾方差模型回顾Markowitz均值-方差模型（继续）也可以表示为 其中 为预先指定的投资组合的期望期末财富水平，W为投资者的初始财富水平。表示以持有股票数计的投资组合。4现在学习的是第4页，共29页3.1 均值均值-方差模型回顾方差模型回顾拉格朗日乘子法拉格朗日函数最优化条件：其中5现在学习的是第5页，共29页3.1 均值均值-方差模型回顾方差模型回顾6现在学习的是第6页，共29页3.1 均值均值-方差模型回顾方差模型回顾均值-方差模型（另一表示）其中称为均值与方差间的权重系数，是投资者的风险态度的表现。若+，我们将得到最小方差集合(minimum variance set)；若R满足称U为优先序的数值表示。若优先序满足以上两条性质和两条公理，则存在（仿射变化）唯一的数值表示，u(.)称为效用函数。12现在学习的是第12页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论Von Neumann-Morgenstern表示（继续）仿射变化唯一是指u的任何仿射变化仍为数值表示。称为u的等价效用函数。单调性（monotone）数值表示满足单调性当且仅当u为严格单调增函数。13现在学习的是第13页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论St.Petersburg Paradox（Nicholas Bernoulli 1713）这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。总的掷币次数n决定参加者的报酬，计算报酬r的公式为次数概率报酬概率报酬11/22121/441.n(1/2)n2n114现在学习的是第14页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论St.Petersburg Paradox（继续）期望报酬为+。但是没有人会愿意支付+来购买门票，甚至不愿支付较大的金额购买门票。称为圣彼得堡悖论。Daniel Bernoulli提出使用边际效用递减（即效用函数的一阶导数u为单调减函数，效用函数为凹函数）来解决此悖论。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。若u(w)=log(w)，则15现在学习的是第15页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论16现在学习的是第16页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论风险厌恶（risk aversion）假设投资者面对一个确定性投资选择x和一个不确定投资选择y，若两个选择有着相同的期望值(x=Ey)，那么风险厌恶的投资者会选择确定性投资x。注意到风险厌恶的投资者的效用函数u为凹函数。风险厌恶系数（risk aversion coefficient）Arrow-Pratt absolution risk aversion coefficient17现在学习的是第17页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论常见风险厌恶效用函数Exponential（Constant Absolute Risk Aversion utility function）LogarithmicPowerQuadratic 18现在学习的是第18页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论常见风险厌恶效用函数（继续）HARA（Hyperbolic absolute risk aversion）utility function 19现在学习的是第19页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论Certainty equivalent 随机变量x的Certainty equivalent C满足当u(.)为凹函数时，C Ex。u(x1)u(x2)u(C)20现在学习的是第20页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论例子 3.2 假设某人的效用函数为二次效用函数，此人面对一个投资机会，以50%概率获得200元，50%概率获得300元。21现在学习的是第21页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论如何得到投资者的效用函数？1）首先指定投资者效用函数的形状，如指数型，对数型等，然后对其中的参数进行估计。2）直接估计：选择两个固定点A和B，并假设u(A)=A，u(B)=B；构造一个以概率p获得A，概率1p获得B的彩票(lottery)x；向投资者询问其愿意用来交换此彩票的财富水平C。通过改变p，我们得到C与Ex的函数关系；进一步得到效用函数。22现在学习的是第22页，共29页3.2 期望效用理论期望效用理论23现在学习的是第23页，共29页3.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型期望效用最大化模型（EUT模型）期望效用最大化模型为其最优投资组合*必满足24现在学习的是第24页，共29页3.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型拉格朗日乘子法拉格朗日函数最优化条件：其中25现在学习的是第25页，共29页3.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型当一个资产为无风险资产时假设第一个资产为无风险资产，其回报率为 有其他n1个风险资产的回报率满足26现在学习的是第26页，共29页3.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型例子3.3某投资者考虑参与投资拍摄一部电影。如果电影票房反映良好（概率为0.3），其将获得3倍的回报；如果票房反映平平（概率为0.4），其将收回初始投资；如果票房失败（概率为0.3），其将损失全部初始投资。与此同时，投资者可以选择投资某无风险资产，获得1.2的总回报率。如果投资者的效用函数为对数函数，u(x)=ln(x)，他是否会选择参与投资电影？如果参与，他会投资多少？（假设投资者的初始财富为W）27现在学习的是第27页，共29页3.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型例子3.3（继续）解答：以1表示投资在电影上的金额，2表示投资在无风险资产上的金额。投资者面临的投资组合问题为求解方程组，28现在学习的是第28页，共29页3.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型Allais ParadoxLotteries:你的选择是什么？选择结果是否违背期望效用理论？你的选择是什么？选择结果是否违背期望效用理论？29现在学习的是第29页，共29页