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-第 1 页因式分解讲义因式分解讲义-第 2 页因式分解因式分解1.1.因式分解因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：111()333axbxx ab2.2.因式分解的方法：因式分解的方法：（1 1）提公因式法：）提公因式法：定义：如果多项式的各项有公因式公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。例：333234221286a b ca b ca b c的公因式是提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1：把2233121824a baba b分解因式.例 2：把多项式3(4)(4)xxx分解因式.（2 2）运用公式法）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。注意注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例 1：因式分解21449aa-第 3 页例 2：因式分解222()()aa bcbc（3 3）分组分解法（拓展）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式1abab分解因式解：1abab=()(1)abab=(1)(1)(1)(1)a bbab将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式2221aabb 因式分解解：2221aabb（4 4）十字相乘法十字相乘法（形如形如2()()()xpq xpqxp xq形式的多项式形式的多项式，可以考可以考虑运用此种方法）虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数方法：常数项拆成两个因数pq和，这两数的和，这两数的和pq为一次项系数为一次项系数例：分解因式230 xx分解因式252100 xx（5 5）拆、添项法拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。例题例题1.（1）3292624xxx（2）32332aaa2.(1)6424936xxx(2)32374aa(6(6）配方法配方法步骤：1 提：提出二次项系数；2 配：配成完全平方；3 化：化成平方差；4 分解：运用平方差分解因式。配方法是一种“通法”，就是说只要是能分解的二次三项式，都能用配方法来分解。1、xx42()x(）2；2y+()425y（y-）22 2、解下列方程（1）4x2+4x-1=0（2）05522xx（7 7）换元法换元法-第 4 页将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；有时在分解因式时，可以选有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。回来。例题例题1 1、22224()(2)12xxyyxxyyy2 2、44(1)(3)272xx3 3、2(61)(21)(31)(1)xxxxx4 4、42242(1)(3)xxxx（8）主元法主元法主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例题例题1：2222222x yy zz xx zy xz yxyz2：（1）222()()()a bcb cacab（2）2232xyxy