圆各节知识点及典型例题(16页).doc

-第 1 页圆各节知识点及典型圆各节知识点及典型例题例题-第 2 页圆的基本性质圆的基本性质一一.圆圆二二.圆的轴对称性圆的轴对称性三三.圆心角圆心角四四.圆周角圆周角五五.弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积六六.侧面积及全面积侧面积及全面积六大知识点：六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【课本相关知识点】【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O，另一端点 P 所经过的叫做圆，定点 O 叫做，线段 OP 叫做圆的，以点 O 为圆心的圆记作，读作圆 O。2、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。3、弧：圆上任意叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做。小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上“”就可表示出来，大于半圆的弧叫做，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“”就可表示出来。4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点 P 到圆心 O 的距离为 d，O 的半径为 R，则：点 P 在O 外；点 P 在O 上；点 P 在O 内。6、线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等的点在上7、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。8、过的三点确定一个圆。9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。三角形的外心是三角形三条边的【典型例题典型例题】【题型一】证明多点共圆【题型一】证明多点共圆例例 1、已知矩形 ABCD，如图所示，试说明：矩形 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断【题型二】相关概念说法的正误判断例例 1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（）A.4 个B.3 个C.3 个D.2 个例例 2、下列说法中，错误的是（）A.直径是弦B.半圆是弧C.圆内最长的弦是直径D.弧小于半圆例例 3、下列命题中，正确的是（）A三角形的三个顶点在同一个圆上B过圆心的线段叫做圆的直径C大于劣弧的弧叫优弧D圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径例例 4、下列四个命题：经过任意三点可以作一个圆；三角形的外心在三角形的内部；等腰三角形的外心必在底边的中线上；菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（）A.4 个B.3 个C.3 个D.2 个【题型三】点和圆的位置关系的判断【题型三】点和圆的位置关系的判断例例 1、O 的半径为 5，圆心 O 在坐标原点上，点 P 的坐标为（4，2），则点 P 与O 的位置关系是（）7、圆周角定理8、圆周角定理的推论9、圆锥的侧面积与全面积-第 3 页DBCOAENMBAA点 P 在O 内B点 P 在O 上C点 P 在O 外例例 2、已知矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，若以 A 点为圆心作A，使 B、C、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则A 的半径 r 的取值范围是【题型四【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用的应用如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点例例 1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为【题型五】圆中角的求解【题型五】圆中角的求解如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，AB、CD 的延长线交于点 E，已知 AB=2DE，E=18，求AOC的度数温 馨 提温 馨 提醒醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的 2 倍；（2）圆中常用半径相等来构造 等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。巩巩固固练练习习1、如图，一根 5m 长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草 地 上活动），请画出羊的活动区域。2、如果O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 7，最小距离为 1，那么此圆的半径为3、如图，点 A、D、G、M 在半圆上，四边形 ABOC，DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b，NH=c，则 a，b，c 的大小关系是4、已知O 的半径为 1，点 P 与圆心 O 的距离为 d，且方程 x2-2x+d=0 有实数根，则点 P 在O 的5、如图，MN 所在的直线垂直平分线段 AB，利用这样的工具，最少使用次就可以找到圆形工件的圆心6、若线段 AB=6，则经过 A、B 两点的圆的半径 r 的取值范围是7、在 RtABC 中，C=90，两直角边 a、b 是方程 x2-7x+12=0 的两根，则ABC 的外接圆面积为8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点 A、B、C，其中 B 点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为9、已知圆上有 3 个点，以其中两个点为端点的弧共有条【课本相关知识点】【课本相关知识点】1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线，直线两旁的部分能够，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。2、圆是轴对称图形，都是它的对称轴3、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分3m第 3 题第 5 题-第 4 页BOAP4、分一条弧成的点，叫做这条弧的中点。5、的距离叫做弦心距。6、垂径定理的逆定理 1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理 2：平分弧的直径【典型例题典型例题】【题型一】应用垂径定理计算与证明【题型一】应用垂径定理计算与证明例例 1、如图所示，直径 CE 垂直于弦 AB，CD=1，且 AB+CD=CE，求圆的半径。例例 2、如图所示，已知线段 AB 交O 于 C、D 两点，OA、OB 分别交O 于 E、F 两点，且 OA=OB，求证：AC=BD温馨提醒温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。【题型二】垂径定理的实际应用【题型二】垂径定理的实际应用例例 1、某居民区内一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为 60cm，水面至管道顶部距离为 10cm，问：修理人员应准备内径多大的管道？温馨提醒温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。例例 2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图所示，则这个小孔的直径 AB 是【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用例例 1、如图，已知 M 是AB的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设O 的半径为4cm，MN=43cm。（1）求圆心 O 到弦 MN 的距离（2）求ACM 的度数【题型四】应用垂径定理把弧【题型四】应用垂径定理把弧 2 等份，等份，4 等份等等份等巩巩固固练练习习1、下列说法正确的是（）A.每一条直径都是圆的对称轴B.圆的对称轴是唯一的C.圆的对称轴一定经过圆心D.圆的对称轴与对称中心重合2、下列命题：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦的直径垂直于弦；垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个3、如图，O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，P 是弦 AB 上一点，若 OP 的长是整数，则满足条件的点 P 有（）个A.2B.3C.4D.54、半径为 5cm 的圆内有两条互相平行的弦，长度分别为 6cm 和 8cm，则这两弦之间的距离为cm5、圆的半径等于 23cm，圆内一条弦长 23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于6、如图，矩形 ABCD 与O 相交于 M、N、F、E，如果 AM=2，DE=1，EF=8，那么 MN 的长为7、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦。若 AB=10cm，CD=6cm，那么 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为8、如图，半径为 5 的P 与 y 轴交于点 M（0，-4）、N（0，-10），函数y=kx（x2CDB.ABCD，OMAB，ONCD，M、N 为垂足，那么 OM、ON 的关系是（）A.OMONB.OM=ONC.OMOND.无法确定9、如图所示，已知 AB 为O 的弦，从圆上任一点引弦 CDAB，作OCD 的平分线交O 于点 P，连续 PA、PB。求证：PA=PB10、如图所示，M、N 为 AB、CD 的中点，且 AB=CD。求证：AMNCNM11、如图，MONO，过 MN 的中点 A 作 ABON，交MN于点 B，试求BN的度数【课本相关知识点】【课本相关知识点】1、顶点在上，且两边的角叫圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的3、圆周角定理推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90的圆周角所对的弦是4、拓展一下、拓展一下：圆内接四边形的对角5、圆周角定理推论 2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等【典型例题典型例题】【题型一】圆周角定理的应用【题型一】圆周角定理的应用例例 1、ABC 为O 的内接三角形，BOC=100，求BAC 的度数。【题型二】圆周角定理推论的应用【题型二】圆周角定理推论的应用例例 1、如图所示，点 A、B、C、D 在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求 AD 的长。例例 2、如图所示，A、B、C 三点在O 上，CE 是O 的直径，CDAB 于点 D。（1）求证：ACD=BCE；（2）延长 CD 交O 于点 F，连接 AE、BF，求证：AE=BF【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题例例 1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上，点 A、B 的读数分别为 86，30，则ACB 的大小为例例 2 2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤（要求写出两种测量方案）第 5 题第 6 题第 7 题第 8 题-第 7 页DPABOC解法解法一一：如图（1），把角尺顶点 A 放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点 B，另一边交于点 C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点 C），度量 BC 长即为直径；解法解法二二：如图（2），把角尺当直尺用，量出 AB 的长度，取 AB 中点 C，然后把角尺顶点与 C 点重合，有一边与 CB重合，让另一边与井盖边缘交于 D 点，延长 DC 交井盖边于 E，度量 DE 长度即为直径；巩巩固固练练习习1、图中圆周角有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2、如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在 AB 上，则DPC=.3、如图，已知 EF 是O 的直径，把A 为 60的直角三角板 ABC 的一条直角边 BC 放在直线 EF 上，斜边 AB与O 交于点 P，点 B 与点 O 重合，将三角板 ABC 沿 OE 方向平移，使得点 B 与点 E 重合为止设POF=x，则x 的取值范围是（）A30 x60B30 x90C30 x120D60 x1204、如图，PB 交O 于点 A、B，PD 交O 于点 C、D，已知DQ的度数为 42，BQ度数为 38，则P+Q=5、如图，AB 是O 的直径，C,D,E 都是O 上的点，则12=.6、如图，AB 是O 的直径，AD=DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与BCE 相等的角有（）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个7、已知，如图，AB 为O 的直径，AB=AC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC=45。给出下列四个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE是DE的 2 倍；AE=BC。其中正确结论的序号是8、如图，O 的半径为 1cm，弦 AB、CD 的长度分别为2cm，1cm，则弦 AC、BD 所夹的锐角为9、如图，AB,AC 是O 的两条弦，且 AB=AC 延长 CA 到点 D 使 AD=AC，连结 DB 并延长,交O 于点 E 求证：CE 是O 的直径10、如图，在O 中 AB 是直径，CD 是弦，ABCD.(1)P 是CAD上一点（不与 C,D 重合）求证：CPD=COB；(2)点 P在劣弧 CD 上（不与 C,D 重合）时，CP/D 与COD 有什么数量关系？请证明你的结论11、（1）如图（1）已知，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 交 AB、AC 于 D、E求证：ODE 是等边三角形；（2）如图（2）若A=60，ABAC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由12、如图所示，直径 AB、CD 互相垂直，P 是 OC 的中点，过点 P 的弦 MNAB，试判断MBC 与MBA 的大小关系。13、如图，AB 为O 的直径，弦 DA、BC 的延长线相交于点 P，且BC=PC，求证：（1）AB=AP（2）BCCD【课本相关知识点】【课本相关知识点】第 1 题第 3 题第 4 题第 5 题第 2 题第 6 题第 7 题第 8 题图形 1图形 2答案：-第 8 页DBAC1、弧长公式：在半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=2、在弧长公式中，有 3 个变量：，已知其中的任意两个，都可以求出第 3 个变量。我们只需要记住一个公式即可。（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要）3、扇形面积公式 1：半径为 R，圆心角为 n的扇形面积为。这里面涉及 3 个变量：，已知其中任意两个，都可以求出第 3 个变量。我们中需要记住一个公式即可。4、扇形面积公式 2：半径为 R，弧长为l的扇形面积为5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。【典型例题典型例题】【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算【例【例 1】、如图所示，在ABC 中，ACB=90，B=15，以 C 为圆心，CA 的长为半径的圆交 AB 于点 D。若 AC=6，求AD的长【例【例 2】、如图，菱形 ABCD 中，AB=2，C=60，菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转 60叫一次操作，则经过 36 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径总长为【题型二】求阴影部分的面积问题【题型二】求阴影部分的面积问题【例【例 1】、如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB=2，以 B 为圆心，以 BA 为半径作圆弧，交 CB 的延长线于点 E，连接 DE。求图中阴影部分的面积。【例例 2】、如图所示，分别以 n 边形的顶点为圆心，以单位 1 为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为【例【例 3】、如上图，RtABC 中，ACB=90，CAB=30，BC=2，O、H 分别为边 AB、AC 的中点，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 120到A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A77338B47338CD433【例【例 4】、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积。【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题【例【例 1】、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆 AB 与雨刷 CD 在 B 处固定连接（不能转动），当杆 AB 绕 A 点转动 90时，雨刷 CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得 CD=80cm、DBA=20，端点 C、D 与点A 的距离分别为 115cm、35cm 他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷 CD 扫过的面积为cm2（取 3.14）【例例 2】、如图是一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm，当重物上升 10cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取 3.14，结果精确到 1）巩巩固固练练习习AHBOC1O1H1A1C例 2例 3-第 9 页1、如果一条弧长等于14r，它的半径是 r，那么这条弧所对的圆心角度数为2、如果一条弧长为l，它的半径为 R，这条弧所对的圆心角增加 1，则它的弧长增加3、扇形的弧长为 20cm，半径为 5cm，则其面积为cm24、一个扇形的弧长是 20cm，面积是 240cm2，那么扇形的圆心角是5、图中 4 个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（）A.0B.2C.3D.46、如图所示，扇形 AOB 的圆心角为 90，分别以 OA、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和 Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么 P 和 Q 的大小关系是7、如图，AB=12，C、D 是以 AB 为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为8、如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，BC=2，分别以 AC、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）（到了初中阶段，其实即使不说，结果也要保留，这是一个基本常识）9、如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，AB=2将ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至ABC的位置，B，A，C三点共线，则线段 BC 扫过的区域面积为10、（2013 年温州中考题）在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作，如图所示，若 AB=4，AC=2，421 SS，则43SS 的值是（）A.429B.423C.411D.4511、如图，O 的半径为 R，AB 与 CD 是O 的两条互相垂直的直径，以 B 为圆心，BC 为半径为CD,交 AB 于点 E，求圆中阴影部分的面积。12、如图，已知矩形 ABCD 中，BC=2AB，以 B 为圆心，BC 为半径的圆交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F，设 AB=1，求阴影部分的面积.13、如图，在ABC 中，已知 AB=4cm，B=30，C=45，若以 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F。（1）求CE的长（2）求 CF 的长【课本相关知识点】【课本相关知识点】1、圆锥可以看做是直角三角形绕旋转一周所成的图形。旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。另一条直角边旋转而成的面叫做。圆锥的和的和叫做圆锥的全面积（或表面积）。2、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的3、圆锥的侧面积：；圆锥的全面积：4、圆锥的母线长l，高 h，底面圆半径 r 满足关系式5、已知圆锥的底面圆半径 r 和母线长l，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为6、圆锥的侧面展开图的圆心角 x 的取值范围为第 6 题第 7 题第 8 题第 9 题第 10 题-第 10 页ACB【典型例题典型例题】【题型一】与圆锥有关的计算（主要是算面积）【题型一】与圆锥有关的计算（主要是算面积）【例 1】如图所示，在ABC 中，BAC=30，AC=2a，BC=b，以 AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（）A.2aB.abC.3a2+abD.a（2a+b）【例 2】如图，有一圆心角为 120，半径长为 6cm 的扇形，若将 OA、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A.42cmB.35C.2 6D.2 3【例 3】如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 120（如图），则 r 与 R 之间的关系是【题【题型二】与圆锥型二】与圆锥有关的方案设计题有关的方案设计题【例 1】在一个边长为 a 的正方形材料上截取一扇形，围成母线长为 a 的圆锥（1）试设计两种不同的截法（要求每一种截法尽量减少浪费的材料），并 把 截 法在图上表示出来（2）分别求出（1）中两种不同截法所得的圆锥底面的半径和高（3）（1）中哪一种截法所得的圆锥侧面积较大？【题型三】与圆锥有关的最短距离问题【题型三】与圆锥有关的最短距离问题【例 1】如图,圆锥底面半径为 r,母线长为 3r，底面圆周上有一蚂蚁位于 A 点，它从 A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径。巩巩固固练练习习1、一个圆锥形零件的底面半径为 4，母线长为 12，那么这个零件侧面展开图的圆心角为2、一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于3、如图，扇形 OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 1cm，则这个圆锥的底面半径为4、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为5、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm，母线 OE（OF）长为 10cm在母线OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣，且 FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到 A 点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm6、如图所示，有一直径为 1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为 90的最大扇形 ABC（1）求被剪后阴影部分的面积（2）用所得的扇形铁皮围成一个小圆锥，则该圆锥的底面半径是多少？7、卷一个底面半径为 2，高为 235的圆锥侧面，有以下 4 个扇形纸片可供选择。如果要使材料浪费最少，你认为选哪一个最合理？请说明理由。8、在一次科学探究实验中，小明将半径为 5cm 的圆形滤纸片按图 1 所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形。（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线 OB 长为 6cm，开口圆的直径为 6cm。当滤纸片重叠部分为三层，且每层为14圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；例 1例 2例 3第 3 题第 4 题第 5 题-第 11 页（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为 6cm，开口圆的直径为 7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁问重叠部分每层的面积为多少？第三章第三章 圆的基本性质的知识点及典型例题圆的基本性质的知识点及典型例题知识框图知识框图1、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。过三点可作个圆。过四点可作个圆。2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理的逆定理 1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理 2：平分弧的直径3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。注解注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求AB，那么所求的是弧长4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角定理推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90的圆周角所对的弦是圆周角定理推论 2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等5、拓展一下、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为6、弧长公式：在半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=7、扇形面积公式 1：半径为 R，圆心角为 n的扇形面积为。这里面涉及 3 个变量：，已知其中任意两个，都可以求出第 3 个变量。我们中需要记住一个公式即可。扇形面积公式 2：半径为 R，弧长为l的扇形面积为8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的9、圆锥的侧面积：；圆锥的全面积：10、圆锥的母线长l，高 h，底面圆半径 r 满足关系式11、已知圆锥的底面圆半径 r 和母线长l，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为12、圆锥的侧面展开图的圆心角 x 的取值范围为考点一考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）考点二考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式考点三考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理考点四考点四、求圆心角、圆周角考点五考点五、求阴影部分的面积考点六考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状圆圆概念圆、圆心、半径、直径弧、弦、弦心距、等弧圆心角、圆周角三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形圆的基本性质圆周角定理及2个推论圆的相关计算弧可分为劣弧、半圆、优弧在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧等弧点和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆圆的轴对称性垂径定理及其2个逆定理圆的中心对称性和旋转不变性圆心角定理及逆定理求半径、弦长、弦心距求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积圆的相关证明求不规则阴影部分的面积证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系证明弧度之间的数量关系；证明多边形的形状；证明两线垂直圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等-第 12 页?G?E?D?A?C?F?O?B考点七考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题考点八考点八、方案设计题，求最大扇形面积考点九考点九、将圆锥展开，求最近距离练习练习一、选择题1、下列命题中：任意三点确定一个圆；圆的两条平行弦所夹的弧相等；任意一个三角形有且仅有一个外接圆；平分弦的直径垂直于弦；直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个2、如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿OAABBO的路径运动一周设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）3、如图所示，在ABC 中，BAC=30，AC=2a，BC=b，以 AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（）A.2aB.abC.3a2+abD.a（2a+b）4、如图，有一圆心角为 120，半径长为 6cm 的扇形，若将 OA、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）A.42cmB.35C.2 6D.2 35、如图所示，长方形 ABCD 中，以 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F，过 F 作一直线与AB平行，且交 DE 于 G 点。求AGF=（）(A)110(B)120(C)135(D)150。6、如图，AB 是O 的直径，AD=DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与BCE 相等的角有（）A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个7、如图，弧 BD 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧 BD 上任意一点，若 AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（）A 15B20C15+5 2D15+5 58、如图，已知O 的半径为 5，点到弦的距离为 3，则O 上到弦所在直线的距离为 2 的点有（）A1 个B2 个C3 个D4 个9、如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交O 于 D、E 两点，且ACD=45，DFAB 于点 F,EGAB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是ABCD10、如图 5，AB 是O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8，若弦 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交，记点 A、B 到 MN 的距离分别为 h1，h2，则|h1h2|等于（）A、5B、6C、7D、811、如上图，RtABC 中，ACB=90，CAB=30，BC=2，O、H 分别为边 AB、AC 的中点，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 120到A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A77338B47338CD433第 5 题第 7 题第 6 题第 8 题AHBOC1O1H1A1CPAOBstOsOtOstOstABCD第 4 题第 3 题-第 13 页12、（2013 年温州中考题）在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作，如图所示，若 AB=4，AC=2，421 SS，则43SS 的值是（）A.429B.423C.411D.45二、填空题1、如图，O 是等腰三角形的外接圆，为O 的直径，连结，则，2、如图，为O 的直径，点在O 上，则3、如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D，连结 BD、BC。AB=5，AC=4，则 BD=4、如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，E 为BC上一点，若CEA=28，则ABD=.5、在半径为 5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为 6cm 和 8cm，则这两条弦之间的距离为6、在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 分别是3和2，则BAC 的度数为_7、如图，扇形 OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 1cm，则这个圆锥的底面半径为8、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为9、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 EF 长为 10cm，母线 OE（OF）长为 10cm在母线OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣，且 FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到 A点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm10、如图，AB是O的直径，弦CDAB若65ABD，则ADC11、如图,AB 是O 的直径，点 C 在O 上，BAC=30，点 P 在线段 OB 上运动.设ACP=x，则 x 的取值范围是12、如图，AB是O的直径，CDE、是O上的点，则12 13、以半圆 O 的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC 折叠后与直径 AB 交于点 D。若 AD=4，DB=6，那么 AC 的长为14、如图，菱形 ABCD 中，AB=2，C=60，菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转 60叫一次操作，则经过 36 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径总长为15、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆 AB 与雨刷 CD 在 B 处固定连接（不能转动），当杆 AB 绕 A 点转动 90时，雨刷 CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得 CD=80cm、DBA=20，端点 C、D 与点 A 的距离分别为115cm、35cm他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷 CD 扫过的面积为cm2（取 3.14）三、解答题1、如图所示，AB 是O 的一条弦，ODAB，垂足为 C，交O 于点 D，点 E 在O 上。（1）若AOD=52，求DEB 的度数；（2）若 OA=5，OC=3，求 AB 的长2、如图，在一个横截面为 RtABC 的物体中，ACB=90，CAB=30，BC=1 米工人师傅先将 AB 边放在地面（直线 l）上。（1）请直接写出 AB，AC 的长；（2）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点 B 翻转到A1BC1位置（BC1在 l 上），最后沿 BC1的方向平移到A2B2C2的位置，其平移的距离为线段 AC 的长度（此时 A2C2恰好靠在墙边），画出在搬动此物的整个过程 A 点所经过的路径，并求出该路径的长度。ABCDEO12第 12 题OBACD（第 10 题）?E?D?A?C?O?B第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题第 7 题第 8 题第 9 题第 11 题第 13 题第 14 题第 15 题-第 14 页（3）若没有墙，像（2）那样翻转，将ABC 按顺时针方向绕点 B 翻转到A1BC1位置为第一次翻转，又将A1BC1按顺时针方向绕点 C1翻转到A2B1C1（A2C1在 l 上）为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程点 A 经过路径的长度3、如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点 A、B、C。（1）用尺规作图法，找出弧 ABC 所在圆的圆心 O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）设ABC 是等腰三角形，底边 BC=8，AB=5，求圆片的半径 R4、如图，ABC 是O 的内接三角形，ACBC，D 为O 中AB上一点，延长 DA 至点 E，使 CECD.（1）求证：AEBD（2）若 ACBC，求证：AD+BD=2CD5、已知一个圆锥的高 h=33，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）锥角的大小（锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角）；（3）圆锥的全面积6、如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，且 CDAB，垂足为 H（1）如果O 的半径为 4，CD=43，求 AC 的长（2）若点 E 为为ADB的中点，连接 OE、CE，求证：CE 平分OCD（3）在（1）的条件下，圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有多少个？并说明理由。7、如下图所示，点 P 在O 外，过点 P 作两射线，分别与O 相交于点 A、B、C、D，猜想AB的度数、CD的度数与P 之间的数量关系，并进行证明。、当点 P 在圆内时，猜想AC的度数、BD的度数与APC 之间的数量关系，并进行证明。文字叙述：顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半；顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其对顶角所截弧度数和的一半。8、在一次科学探究实验中，小明将半径为 5cm 的圆形滤纸片按图 1 所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形。（1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线 OB 长为 6cm，开口圆的直径为 6cm。当滤纸片重叠部分为三层，且每层为14圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；（2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为 6cm，开口圆的直径为 7.2cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁问重叠部分每层的面积为多少？1、如图，AD 是O 的直径(1)如图，垂直于 AD 的两条弦 B1C1，B2C2把圆周 4 等分，则B1的度数是，B2的度数是；(2)如图，垂直于 AD 的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3把圆周 6 等分，分别求B1，B2，B3的度数；图（1）图（2）-第 15 页(3)如图，垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1，B2C2，B3C3，BnCn把圆周 2n 等分，请你用含 n 的代数式表示Bn的度数(只需直接写出答案)2、如图 9，在平面直角坐标系中，以点为圆心，2 为半径作圆，交轴于两点，开口向下的抛物线经过点，且其顶点在C 上（1）求的大小；（2）写出两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由如图，在平面直角坐标系中，以点 C（1，1）为圆心，2 为半径作圆，交 x 轴于 A，B 两点，开口向下的抛物线经过点 A，B，且其顶点 P 在C 上（1）求ACB 的大小；（2）写出 A，B 两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点 D，使线段 OP 与 CD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由分享到：2015-01-10 18:01提问者采纳提问者采纳解：（1）作 CHx