常微分方程第五章微分方程组总结(5页).doc

-第 1 页常微分方程第五章常微分方程第五章微分方程组总结微分方程组总结-第 2 页一线性微分方程组的一般理论一线性微分方程组的一般理论1.1.线性微分方程组一般形式为：线性微分方程组一般形式为：记：非齐次线性方程组表示为：齐次线性方程组表示为：2.2.齐次线性方程组的一般理论齐次线性方程组的一般理论(1)(1)定理定理(叠加原理叠加原理)如果12(),(),()nx tx txt是齐次方程组()xA t x 的k 个解，则它们的线性组合1212()()()nnc x tc x tc xt也是齐次方程组的解，这里12,nc cc是任意常数(2)(2)向量函数线性相关性向量函数线性相关性定义在区间,ba上的函数12(),(),()nx tx txt，如果存在不全为零的常数kccc,21使得在,ba上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。(3)Wronsky(3)Wronsky 行列式行列式由定义在,ba上 n 个向量函数12(),(),()nx tx txt所作成的行列式称为该向量函数组的 Wronskiy 行列式，也写作 W(t)W(t).(4)(4)定理定理 3 3若向量函数组12(),(),()nx tx txt在区间bta上线性相关，则在,ba上它们的 Wronskiy 行列式0)(tW。(5)(5)定理定理 4 4如果齐次线性微分方程组的解12(),(),()nx tx txt在区间bta上线性无关，则12(),()()nW x tx txt在这个区间的任何点上都不等于零，即0)(0tW(bta).-第 3 页由方程(4.2)的n个解构成的 Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。(6)(6)定 理定 理 5 5 齐 次 线 性 微 分 方 程 组 一 定 存 在n个 线 性 无 关 的 解12(),(),()nx tx txt。(7)(7)通解的结构通解的结构如果12(),(),()nx tx txt是齐次微分方程组的n个线性无关的解，则方程的任意一个解可表为其中nccc,21是任意常数。（8 8）以上的结果写成矩阵形式：以上的结果写成矩阵形式：a.如果矩阵()t的每一列都是齐次方程组的解，则称()t为解矩阵。b.如果解矩阵的列线性无关,称为基解矩阵.定理定理：齐次方程组一定有基解矩阵()t，如果()t是方程组的解，则有定理定理：一个解矩阵式基解矩阵的充分必要条件是det()0,()tatb，而且如果某个00,det()0ta bt，则有det()0,()tatb。推论推论:如果()t是微分方程在区间a,b上的基解矩阵，C 是一个非奇异的常数矩阵，那么()t C也是基解矩阵。推论推论:如果(),()tt是微分方程在区间a,b上的基解矩阵，则存在一个非奇异的常数矩阵 C，使得()(),tt C。-第 4 页3.3.非齐次微分方程组的一般理论非齐次微分方程组的一般理论非齐次线性方程组非齐次线性方程组(1)(1)解的性质解的性质性质性质 1 1 如果()t是非齐次方程组的解，而()t是对应的齐线性方程组的解，则()()tt是非齐次方程组的解.性质性质 2 2非齐次方程组的任意两个解()t()t之差()()tt是对应齐次方程组的解。（2 2）非齐次方程组解的结构：）非齐次方程组解的结构：设()t是基解矩阵，()t是非齐次方程一个特解，则非齐次方程组的任意解()t都可以表示为：()()()tt ct(3)(3)解的求法解的求法(常数变易法常数变易法)定理定理:若()t为齐次方程基解矩阵，则对应的非齐次方程的解，且满足初始条件如果要求满足一般的初始条件0()t的解()t则，二二矩阵指数的定义及性质矩阵指数的定义及性质1 1.矩阵指数的定义：A 是n阶方阵2 2.矩阵()exp()tAt是方程xAx 的基解矩阵，且(0)E三基解矩阵的计算公式三基解矩阵的计算公式定理定理：A 有 n 个线性无关的特征向量12,.nv vv他们对应的特征值分别为12,n，那么矩阵是常系数微分方程组xAx 的基解矩阵定理：定理：如果j是jk重特征根，则方程组有jk个形如-第 5 页的线性无关解，其中向量011,jk R RR由矩阵方程所确定。