复变函数四讲稿.ppt

复变函数四复变函数四1 1第一页，讲稿共二十八页哦定义定义如果如果收敛，收敛，则称级数则称级数绝对收敛绝对收敛，如果如果收敛，而收敛，而发散，发散，则称则称条件收敛条件收敛。2 2第二页，讲稿共二十八页哦第二节第二节 幂级数幂级数一一 幂级数的概念幂级数的概念称为称为的幂的幂级数级数的幂级数的幂级数称为称为对于前者，对于前者，如果令如果令就可以转化为对后者进就可以转化为对后者进行行的讨论。的讨论。3 3第三页，讲稿共二十八页哦定理一定理一（阿贝尔（阿贝尔（Abel)Abel)定理）定理）如果级数如果级数在在处收敛，处收敛，级数级数必绝对必绝对收敛，收敛，如果级数在如果级数在处发散，处发散，则对满足则对满足级数必发散。级数必发散。的的则对满足则对满足的的根剧阿贝尔定理，如果幂根剧阿贝尔定理，如果幂级数有非零的收敛点，又有级数有非零的收敛点，又有发散点，发散点，则必存在正数则必存在正数R，使使得幂级数在得幂级数在绝对收敛，绝对收敛，在在上发散。上发散。称称R 为幂级数为幂级数的为幂级数为幂级数的收敛半径收敛半径。4 4第四页，讲稿共二十八页哦1 1）对所有的实数都是收敛的，对所有的实数都是收敛的，幂级数收敛半径幂级数收敛半径2 2）对除对除外的所有实数都是发散的，外的所有实数都是发散的，数的收敛半径为数的收敛半径为收敛圆盘为收敛圆盘为此时幂级此时幂级称称为收敛圆盘，为收敛圆盘，规定：规定：收敛圆盘为整个复平面收敛圆盘为整个复平面根据收敛半径的定义可知：根据收敛半径的定义可知：如果幂级数如果幂级数在在处条件收敛，处条件收敛，则其收敛则其收敛半径半径5 5第五页，讲稿共二十八页哦如果幂级数如果幂级数在在处收敛，处收敛，在在处发散，处发散，且且则其半径则其半径例例1 设幂级数设幂级数在在处条件收敛，处条件收敛，幂级数幂级数收敛半径收敛半径分析：分析：由于幂级数由于幂级数在在处条件收敛，处条件收敛，所以幂级数所以幂级数在在处条件收敛，处条件收敛，即幂级数即幂级数在在处条件收敛，处条件收敛，所以幂级数所以幂级数的收的收敛半径为敛半径为8.则则6 6第六页，讲稿共二十八页哦二二 收敛半径的求法收敛半径的求法定理二定理二（比值法）（比值法）在幂级数在幂级数中，中，如果如果且且（包括（包括）则幂级数的收敛半径为则幂级数的收敛半径为或或（包括（包括）7 7第七页，讲稿共二十八页哦例例2 2求下列幂级数的收敛圆和收敛半径。求下列幂级数的收敛圆和收敛半径。1 1）2 2）3 3）解解1 1）且且因此收敛半径因此收敛半径收敛圆盘收敛圆盘2 2）且且因此收敛半径因此收敛半径收敛圆盘为收敛圆盘为8 8第八页，讲稿共二十八页哦3 3）且且收敛半径收敛半径收敛圆盘为收敛圆盘为例例3 3求下列幂级数的收敛半径与收敛圆盘求下列幂级数的收敛半径与收敛圆盘1 1）解解当当时，时，幂级数绝对收敛，幂级数绝对收敛，当当幂级数一定发散，幂级数一定发散，时，时，即收敛半径即收敛半径收敛圆盘收敛圆盘9 9第九页，讲稿共二十八页哦2 2）解解由于由于因此，因此，当当时，时，幂级数绝对收敛，幂级数绝对收敛，当当即即时，时，即即时，时，时，时，幂级数一定发散，幂级数一定发散，所以，所以，幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径收敛圆盘为收敛圆盘为1010第十页，讲稿共二十八页哦三三 幂级数的运算幂级数的运算定理四定理四设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为和函和函数为数为幂级数幂级数的收敛半径为的收敛半径为和函数为和函数为则当则当时，时，有有1111第十一页，讲稿共二十八页哦定理五定理五设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为和函和函数为数为又设当又设当时，时，解析，且解析，且则当则当时，时，)()(0 =nnnzgazgf定理六定理六设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为和函数为和函数为则则1 1）是是上的解析函数，上的解析函数，且且1212第十二页，讲稿共二十八页哦2 2）为为上可积函数，上可积函数，且对且对上的任一条曲线上的任一条曲线有有特别当特别当时，时，1313第十三页，讲稿共二十八页哦第三节第三节 泰勒级数泰勒级数几个重要函数的幂级数及收敛圆盘几个重要函数的幂级数及收敛圆盘幂级数在收敛圆盘内的运算性质幂级数在收敛圆盘内的运算性质1414第十四页，讲稿共二十八页哦例例1 1将下列函数展开成将下列函数展开成 z 的级数，的级数，1 1）解解将此式将此式中的中的换成换成我们有我们有因此因此由于由于1515第十五页，讲稿共二十八页哦2 2）解解利用利用因此因此1616第十六页，讲稿共二十八页哦例例2 2将将展开成展开成的幂级数。的幂级数。解解由于由于利用幂级数在收敛圆盘内可以逐项求导可得利用幂级数在收敛圆盘内可以逐项求导可得1717第十七页，讲稿共二十八页哦例例3 3将将展开成展开成的幂级数。的幂级数。解解由于由于而而利用幂级数在收敛圆盘内可逐项积分可得利用幂级数在收敛圆盘内可逐项积分可得1818第十八页，讲稿共二十八页哦例例4 4将将展开成展开成的幂级数。的幂级数。解解由于由于所以所以1919第十九页，讲稿共二十八页哦例例5 5将将展开成展开成的幂级数。的幂级数。解解2020第二十页，讲稿共二十八页哦第四节第四节 洛朗级数洛朗级数如果函数如果函数在以在以为心的圆环域为心的圆环域内解析，内解析，在圆环域在圆环域 洛朗级数的形洛朗级数的形 式为式为 其中其中 是与是与z 无关的数。无关的数。2121第二十一页，讲稿共二十八页哦例例1 1将函数将函数在下列圆环域内在下列圆环域内展开成洛朗级数。展开成洛朗级数。1 1）解解因此得因此得在圆环域在圆环域的洛朗展开式为的洛朗展开式为2222第二十二页，讲稿共二十八页哦2 2）解解当当时，时，由于由于所以所以由于在圆环域由于在圆环域的洛朗展开式为的洛朗展开式为2323第二十三页，讲稿共二十八页哦3 3）当当时，时，解解所以所以在圆环域在圆环域内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为2424第二十四页，讲稿共二十八页哦4）解解所以所以在圆环域在圆环域内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为2525第二十五页，讲稿共二十八页哦例例2 2将函数将函数在圆环域在圆环域内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。解解由于由于所以所以在圆环域在圆环域所以的洛朗展开式为所以的洛朗展开式为所以所以2626第二十六页，讲稿共二十八页哦例例3 3将函数将函数在下列圆环域内展在下列圆环域内展开成洛朗级数。开成洛朗级数。1 1）解解当当时，时，所以所以在圆环域在圆环域内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为由于由于2727第二十七页，讲稿共二十八页哦2 2）当当时，时，解解所以所以2828第二十八页，讲稿共二十八页哦