数理方程与特殊函数精选PPT.ppt

关于数理方程与特殊函数1第1页，讲稿共33张，创作于星期二2 常用物理规律常用物理规律(二二)1、热传导定律、热传导定律定义热流密度：定义热流密度：第2页，讲稿共33张，创作于星期二32、牛顿冷却定律、牛顿冷却定律单位时间内流过单位面积放出的热量为：单位时间内流过单位面积放出的热量为：3、比热公式、比热公式第3页，讲稿共33张，创作于星期二44、高斯定律、高斯定律第4页，讲稿共33张，创作于星期二5(一一)、热传导方程、热传导方程 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。(1)、细杆的热传导问题、细杆的热传导问题xx+dxLu(x,t)xn第5页，讲稿共33张，创作于星期二6在dt时间内流入微元的热量为：在dt时间内放出微元的热量为：在dt时间内微元吸收的净热量为：第6页，讲稿共33张，创作于星期二7由比热公式：由比热公式：由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：一维齐次热传导方程一维齐次热传导方程第7页，讲稿共33张，创作于星期二8 设均匀且各向同性的导热体设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中置于温度比它高的热场中,求物体中温度求物体中温度u(x，y，z,t)的分布的规律。的分布的规律。(2)、三维空间中的热传导问题、三维空间中的热传导问题导热体导热体热场热场第8页，讲稿共33张，创作于星期二9分析：分析：(1)、t1,t2时间里流入导热体的热量时间里流入导热体的热量Q1计算计算 先要给出在先要给出在t1,t2时间里流入导热体的热量，然后时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。dSn流入流入dS的热量微元为：的热量微元为：第9页，讲稿共33张，创作于星期二10在在t1,t2时间里流入时间里流入S的热量为：的热量为：第10页，讲稿共33张，创作于星期二11(2)、t1,t2 里导热体升温需要的热量里导热体升温需要的热量Q2计算计算导热体微元导热体微元dV在在dt时间升温需要的热量为：时间升温需要的热量为：t1,t2 里导热体升温需要的热量里导热体升温需要的热量Q2为：为：第11页，讲稿共33张，创作于星期二12由热量守恒定律：由热量守恒定律：Q1=Q2于是得到：于是得到：三维齐次热传导方程三维齐次热传导方程第12页，讲稿共33张，创作于星期二13 如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为：如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为：其中，其中，f(M,t)被称为自由项。被称为自由项。物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。也称为扩散方程。第13页，讲稿共33张，创作于星期二14(二）、稳态场方程二）、稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。所研究的物理量不随时间而变化。1、稳定温度分布、稳定温度分布三维齐次热传导方程为：三维齐次热传导方程为：热传导达到稳定状态时有：热传导达到稳定状态时有：称后一方程为稳态场中的称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程拉普拉斯方程.第14页，讲稿共33张，创作于星期二15由静电场的高斯公式：由静电场的高斯公式：如果设：如果设：2、静电场中的电势分布规律、静电场中的电势分布规律可以得到：可以得到：第15页，讲稿共33张，创作于星期二16静电场是保守场，于是存在势函数静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)u(x,y,z)满足：满足：把把(2)(2)代入代入(1)(1)得：得：这就是静电场中电势满足的这就是静电场中电势满足的泊松方程泊松方程如果如果=0=0，则，则泊松方程泊松方程变为变为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。泊松方程泊松方程与与拉普拉斯方程拉普拉斯方程称为稳态场方程称为稳态场方程。第16页，讲稿共33张，创作于星期二171 1、波动方程：、波动方程：三类典型物理方程总结三类典型物理方程总结2 2、热传导方程：、热传导方程：3 3、稳态场方程、稳态场方程(泊松方程泊松方程)：第17页，讲稿共33张，创作于星期二181 1、不含初值条件、不含初值条件带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；稳态场方程的定解条件问题稳态场方程的定解条件问题2 2、边界条件、边界条件带第二类边界条件：牛曼问题；带第二类边界条件：牛曼问题；带第三类边界条件：洛平问题。带第三类边界条件：洛平问题。稳态场方程求解将在第六章讨论！稳态场方程求解将在第六章讨论！第18页，讲稿共33张，创作于星期二19(三）、影响物理系统的其它条件三）、影响物理系统的其它条件1、衔接条件、衔接条件反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。条件。例例1、写出由两种不同材料、写出由两种不同材料,等截面积杆连接成的杆的纵振动的等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为衔接条件。连接处为 x=x0分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)第19页，讲稿共33张，创作于星期二20所以，衔接条件为：所以，衔接条件为：例例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件、讨论静电场中电介质表面的衔接条件设设1，2与与u1,u2分分别别表示两种介表示两种介质质的介的介电电常数与常数与电势电势；f 表表示分界面示分界面S上上电电荷面密度。荷面密度。第20页，讲稿共33张，创作于星期二21(1)、在界面处，两种介质中的电势应相等、在界面处，两种介质中的电势应相等事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：于是，若假定于是，若假定E为为p1p2上的平均上的平均电场强度电场强度(显然它有限显然它有限)，则：，则：两边对两边对L L取极限得取极限得：第21页，讲稿共33张，创作于星期二22(2)、在界面处，可以导出如下等式：、在界面处，可以导出如下等式：事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。Q Qf f是面是面S S内的总电荷内的总电荷有介质高斯公式为：有介质高斯公式为：第22页，讲稿共33张，创作于星期二23取一个包含取一个包含S S的上下底平行的高为的上下底平行的高为h h的扁平盒：的扁平盒：由于由于h可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！于是由高斯公式有：于是由高斯公式有：而而:第23页，讲稿共33张，创作于星期二24所以所以：说明：如果说明：如果u1为导体的电势，为导体的电势，u2是绝缘体电势，那么，因为是绝缘体电势，那么，因为导体是等势体，所以有：导体是等势体，所以有：2、周期性条件、周期性条件 在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理量常满足周期性条件，即：量常满足周期性条件，即：第24页，讲稿共33张，创作于星期二25(1)(1)、在极坐标中：、在极坐标中：(2)(2)、在柱坐标中：、在柱坐标中：(3)(3)、在球坐标中：、在球坐标中：第25页，讲稿共33张，创作于星期二26例如，在静电场中，由电势的唯一性有：例如，在静电场中，由电势的唯一性有：3、有界性条件、有界性条件 在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在坐标原点处有界。坐标原点处有界。例如，在静电场中，电势在原点例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有界；在无电荷）有界；在温度场中，中心温度有界等！温度场中，中心温度有界等！4、无穷远条件、无穷远条件或者在无穷远处或者在无穷远处u有渐进行为有渐进行为f(r,t)(已知函数）已知函数）第26页，讲稿共33张，创作于星期二27例例3、半径为、半径为r0的球面，在的球面，在0/2/2的半球上电势为的半球上电势为u u0 0，在，在另一半球上为另一半球上为-u-u0 0,写出定解问题。写出定解问题。分析：空间中的电势分布分球内分析：空间中的电势分布分球内(u1)与球外与球外(u2),由于是静由于是静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中没有电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。第27页，讲稿共33张，创作于星期二28所以：所以：其它条件：其它条件：第28页，讲稿共33张，创作于星期二29定解问题的简要总结定解问题的简要总结 对于一个具体物理问题，写出其定解问题，应该分如下对于一个具体物理问题，写出其定解问题，应该分如下三步进行：三步进行：1、根据问题背景写出物理方程、根据问题背景写出物理方程(泛定方程泛定方程);2、如果有边界条件，要根据物理背景写出边界条件，即考、如果有边界条件，要根据物理背景写出边界条件，即考虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔接条件。虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔接条件。第29页，讲稿共33张，创作于星期二30 除边界条件外，由于物理上合理性的需要，有时还需要对方程中的除边界条件外，由于物理上合理性的需要，有时还需要对方程中的未知函数加以一些限制。这些限制包括：未知函数加以一些限制。这些限制包括：周期性限制周期性限制;有界性限制；无穷远限制等。有界性限制；无穷远限制等。上面限制条件称为自然边界条件。上面限制条件称为自然边界条件。3、初始条件、初始条件 如果物理问题涉及时间变量，则需写出初始条件。如果物理问题涉及时间变量，则需写出初始条件。如果方程中对时间的导数为如果方程中对时间的导数为n阶，则需要阶，则需要n个初始条件表个初始条件表达式。达式。第30页，讲稿共33张，创作于星期二31作业作业P26习题习题2.2第第1，2，3，4；P30习题习题2.3第第1，2，4。第31页，讲稿共33张，创作于星期二32Thank You!第32页，讲稿共33张，创作于星期二2022/10/2感感谢谢大大家家观观看看第33页，讲稿共33张，创作于星期二