2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.1函数及其表示理.doc
.1/14第二章第二章 函数与基本初等函数函数与基本初等函数 I I 2.12.1 函数与其表示函数与其表示 理理1函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2/14知识拓展求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1；(5)正切函数ytanx，xk2(kZ Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求思考辨析判断以下结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)映射是特殊的函数()(4)若AR R，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()1函数y 2x31x3的定义域为()A32，)B(，3)(3，)C32，3)(3，)D(3，)答案C解析由题意知2x30，x30，解得x32且x3.2(教材改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是().3/14答案B解析A 中函数的定义域不是2,2，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是0,2，应选B.3(2016全国甲卷)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y10lgx的定义域和值域相同的是()AyxBylgxCy2xDy1x答案D解析函数y10lgx的定义域为x|x0，值域为y|y0，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y1x，应选 D.4设函数f(x)1log22x，x1，2x1，x1，则f(2)f(log212)等于()A3B6C9D12答案C解析因为21，log212log2831，所以f(2)1log22(2)1log243，22log 12-1log 12121log 122221262f，故f(2)f(log212)369，应选 C.5设f(x)x，x，a，x2，xa，.若f(2)4，则a的取值围为_答案(，2解析因为f(2)4，所以 2a，)，所以a2，则a的取值围为(，2.题型一函数的概念例 1有以下判断：f(x)|x|x与g(x)1x01x0表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1 的交点最多有 1 个；.4/14f(x)x22x1 与g(t)t22t1 是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f f120.其中正确判断的序号是_答案解析对于，由于函数f(x)|x|x的定义域为x|xR R 且x0，而函数g(x)1x0，1x0 时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是.5/14函数图象，应选 B.(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中yx0的x不能取 0；C 中两函数的对应关系不同应选D.题型二函数的定义域问题命题点 1求函数的定义域例 2(1)函数f(x)12x1x3的定义域为()A(3,0B(3,1C(，3)(3,0D(，3)(3,1(2)若函数yf(x)的定义域为0,2，则函数g(x)f2xx1的定义域是_答案(1)A(2)0,1)解析(1)由题意得12x0，x30，解得3x0.所以函数f(x)的定义域为(3,0(2)由 02x2，得 0 x1，又x10，即x1，所以 0 x1，即g(x)的定义域为0,1)引申探究本例(2)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2”改为“函数yf(x1)的定义域为0,2”，则函数g(x)f2xx1的定义域为_答案12，1)(1，32解析由函数yf(x1)的定义域为0,2，得函数yf(x)的定义域为1,3，令12x3，x10，得12x32且x1，g(x)的定义域为12，1)(1，32命题点 2已知函数的定义域求参数围例 3(1)若函数22()21xax af x的定义域为 R R，则a的取值围为_(2)若函数yax1ax22ax3的定义域为 R R，则实数a的取值围是_答案(1)1,0(2)0,3).6/14解析(1)因为函数f(x)的定义域为 R R，所以2221 0 xaxa对xR R 恒成立，即22022xaxa，恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.(2)因为函数yax1ax22ax3的定义域为 R R，所以ax22ax30 无实数解，即函数yax22ax3 的图象与x轴无交点当a0 时，函数y3 的图象与x轴无交点；当a0 时，则(2a)243a0，解得 0a3.综上所述，a的取值围是0,3)思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解(1)已知函数f(x)的定义域为3,6，则函数12(2)log(2)fxyx的定义域为()A32，)B32，2)C(32，)D12，2)(2)若函数ymx1mx24mx3的定义域为 R R，则实数m的取值围是()A(0，34B(0，34)C0，34D0，34)答案(1)B(2)D解析(1)要使函数12(2)log(2)fxyx有意义，.7/14需满足12326,log(2)0 xx32x3，02x132x0，4m24m30，m4m30或m0，0，即m0，m4m30.解得 0m1)(2)2x7(3)23x13解析(1)(换元法)令t2x1(t1)，则x2t1，f(t)lg2t1，即f(x)lg2x1(x1)(2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17，不论x为何值都成立，a2，b5a17，解得a2，b7，f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f(1x)x1 中，用1x代替x，得f(1x)2f(x)1x1，.8/14将f(1x)2fxx1 代入f(x)2f(1x)x1 中，可求得f(x)23x13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f1x或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)(1)已知f(x1x)x21x2，求f(x)；(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x)4x1，求f(x)；(3)已知f(x)3f(x)2x1，求f(x)解(1)设x1xt，则x21x2(x1x)22，f(t)t22，f(x)x22.(2)设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k2xkbb，k24，kbb1，k2，b13或k2，b1.故f(x)2x13或f(x)2x1.(3)以x代替x得f(x)3f(x)2x1，f(x)3f(x)2x1，代入f(x)3f(x)2x1 可得f(x)x14.2分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a0，函数f(x)2xa，x0 时，1a1，由f(1a)f(1a)，可得 2(1a)a(1a)2a，解得a32，不合题意当a1,1a1，由f(1a)f(1a)，可得(1a)2a2(1a)a，解得a34，符合题意(2)由f(f(a)2f(a)，得f(a)1.当a1 时，有 3a11，a23，23a1，x2，解得 1x2 或 2x10，所以函数f(x)的定义域为(1,2)(2,103若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()Ag(x)2x23xBg(x)3x22xCg(x)3x22xDg(x)3x22x答案B解析(待定系数法)设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，abc1，abc5，c0，解得a3，b2，c0，g(x)3x22x，应选 B.4(2017调研)函数f(x)sinx2，1x0，ex1，x0满足f(1)f(a)2，则a所有可能的值为()A1 或22B22C1D1 或22答案A解析f(1)e111 且f(1)f(a)2，f(a)1，当1a0 时，f(a)sin(a2)1，0a21，0a2，.11/14a22a22；当a0 时，f(a)ea11a1.5(2016六校联考)已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为()A2B2C2 或 2D.2答案B解析当x0 时，f(x)x2，f(x0)4，即x204，解得x02.当x0 时，f(x)x2，f(x0)4，即x204，无解，所以x02，应选 B.*6.(2016期末)已知f(x)12ax3a，x0，ln 112a3a，a12，a1，1a12.即a的取值围是1，12)7已知函数yf(x21)的定义域为3，3，则函数yf(x)的定义域为_答案1,2解析yf(x21)的定义域为 3，3，x 3，3，x211,2，yf(x)的定义域为1,2.12/148设函数113e,1(),1xxf xxx，则使得f(x)2 成立的x的取值围是_答案(，8解析当x1 时，由 ex12 得x1ln 2，x1；当x1 时，由132x 得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值围是x8.9(2015)已知函数f(x)x2x3，x1，lgx21，x1，则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案02 23解析f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当x1 时，f(x)x2x32 23，当且仅当x 2时，取等号，此时f(x)min2 230；当x1 时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0 时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为 2 23.*10.具有性质：f1xf(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，以下函数：f(x)x1x；f(x)x1x；f(x)x，0 x1.其中满足“倒负”变换的函数是_答案解析对于，f(x)x1x，f1x1xxf(x)，满足；对于，f1x1xxf(x)，不满足；.13/14对于，f1x1x，01x1，即f1x1x，x1，0，x1，x，0 x1，故f1xf(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.11已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，2abb1，ab1，解得a12，b12.f(x)12x212x.12已知f(x)fx1，2x0，数a的值解(1)由题意，得f(32)f(321)f(12)f(121)f(12)21212.(2)当 0a2 时，由f(a)2a14，得a32，当a2 时，由f(a)a214，得a 5或a 5(舍去)，.14/14综上所述，a32或a 5.
