2017_2018学年度上学期期末考试九年级数学试卷(含答案).doc

.1/172017201820172018 学年度上学期期末考试九年级数学学年度上学期期末考试九年级数学试卷试卷一一、选择题（选择题（每小题每小题 3 3 分，分，共共 3030 分分）1下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A20axbxcB212xxC2221xxxD220 x2若、为方程22510 xx 的两个实数根，则2235的值为（）A13B12C14D153袋装有标号分别为 1、2、3、4 的 4 个小球，从袋随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是 3 的倍数的概率为（）A14B516C716D124由所有到已知点 O 的距离大于或等于 3，并且小于或等于 5 的点组成的图形的面积为（）A4B9C16 D255已知函数2(3)21ykxx的图象与x轴有交点，则k的取值围是（）Ak4 且k3Bk4 且k3Ck4 Dk46如图，矩形 OABC 中，A（1，0），C（0，2），双曲线(02)kykx的图象分别交 AB，CB 于点 E，F，连接 OE，OF，EF，SOEF=2SBEF，则k值为（）A23B1C43D27如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6cm，BC=2cm，点 P 在边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值是（）A20cmB18cm C2 5cmD3 2cm8如图，抛物线2(0)yaxbxc a的对称轴为直线2x ，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：40ab；0c；30ac；242abatbt（t为实数）；点19)2y（，25)2y（，31)2y（，是该抛物线上的点，则y1y2y3，正确的个数有（）A4 个B3 个 C2 个 D1 个第 6 题图第 7 题图第 8 题图9如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为（1，0），半径为 1，点 P 是直线3yx 上的一个动点，点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是（）A3B5C7D310如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连接 BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：BE=2AE；DFPBPH；PFDPDB；DP2=PHPC，其中正确的是（）.2/17A BCD第 9 题图第 10 题图二二、填空题（填空题（每小题每小题 3 3 分，分，共共 1818 分分）11经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是_12若抛物线2241yxpxp中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为13如图，在ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边 AC 上，使得ADP 与ABC 相似，则线段 AP 的长为14如图，在平面直角坐标系中，OCB 的外接圆与y轴交于 A（0，2），OCB=60，COB=45，则 OC=15 如图 在等边ABC 中，AC=8，点 D、E、F 分别在三边 AB、BC、AC 上，且 AF=2，FDDE，DFE=60，则 AD 的长为第 13 题图第 14 题图第 15 题图16在平面直角坐标系中，点 C 沿着某条路径运动，以点 C 为旋转中心，将点 A（0，4）逆时针旋转90到点 B（m，1），若5m5，则点 C 运动的路径长为三三、解答题（解答题（17-2017-20 题每题题每题 8 8 分，分，2121、2222 题每题题每题 9 9 分，分，2323 题题 1010 分，分，2424 题题 1212 分分）17解方程：（1）5x（x+1）=2（x+1）；（2）x23x1=018关于x的方程22(21)230 xkxkk有两个不相等的实数根（1）数k的取值围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得125xx？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由19阅读材料，回答问题：材料：题 1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率题 2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题 1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球问题：（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题 2，请简要说明你的方案（3）请直接写出题 2 的结果.3/1720如图，M、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算 M、N 两点之间的直线距离，选择测量点 A、B、C，点 B、C 分别在 AM、AN 上，现测得 AM=1 千米、AN=1.8 千米，AB=54 米、BC=45 米、AC=30 米，求M、N 两点之间的直线距离21如图，ABD 是O 的接三角形，E 是弦 BD 的中点，点 C 是O 外一点且DBC=A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长22一块三角形废料如图所示，A=30，C=90，AB=12用这块废料剪出一个矩形 CDEF，其中，点 D、E、F 分别在 AC、AB、BC 上要使剪出的矩形 CDEF 面积最大，点 E 应选在何处？23某公司产销一种产品，为保证质量，每个周期产销商品件数控制在 100 以，产销成本 C 是商品件数x的二次函数，调查数据如表：产销商品件数（x/件）102030产销成本（C/元）120180260商品的销售价格（单位：元）为13510Px（每个周期的产销利润=PxC）（1）直接写出产销成本 C 与商品件数x的函数关系式（不要求写出自变量的取值围）（2）该公司每个周期产销多少件商品时，利润达到 220 元？（3）求该公司每个周期的产销利润的最大值24如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线2yxbxc经过 A，B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角ABC 斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作x轴的垂线交抛物线于点 F，.4/17当线段 EF 的长度最大时，求点 E、F 的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2017201820172018 学年度上学期期末考试学年度上学期期末考试九年级数学试卷九年级数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题（共选择题（共 1010 小题）小题）1下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A20axbxcB212xxC2221xxxD220 x【分析】只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断【解答】解：A、当a=0 时，边上一元二次方程，不符合题意；B、为分式方程，不符合题意；C、不是关于x的一元二次方程，不符合题意；D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，二次项系数不为 0，是一元二次方程，符合题意；故选 D【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，为整式方程；特别注意二次项系数不为 02若、为方程22510 xx 的两个实数根，则2235的值为（）A13 B12C14D15【分析】根据一元二次方程解的定义得到22510，即22=51，则2235可表示为531（），再根据根与系数的关系得到5=2，1=2，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：为22510 xx 的实数根，22510，即22=51，2235=5135=531（），、为方程22510 xx 的两个实数根，5=2，1=2，251235=531=1222 （）故选 B【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程200axbxca（）的两根时，12=bxxa，12=cx xa也考查了一元二次方程解的定义3袋装有标号分别为 1、2、3、4 的 4 个小球，从袋随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是 3 的倍数的概率为（）.5/17A14B516C716D12【分析】画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出所成的两位数是 3 的倍数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 16 种等可能的结果数，其中所成的两位数是 3 的倍数的结果数为 5，所以成的两位数是 3 的倍数的概率=516故选 B【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率4由所有到已知点 O 的距离大于或等于 3，并且小于或等于 5 的点组成的图形的面积为（）A4B9C16 D25【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可【解答】解：由所有到已知点 O 的距离大于或等于 3，并且小于或等于 5 的点组成的图形的面积是以 5 为半径的圆与以 3 为半径的圆组成的圆环的面积，即5232=16，故选：C【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键5已知函数2(3)21ykxx的图象与x轴有交点，则k的取值围是（）Ak4 且k3Bk4 且k3Ck4 Dk4【分析】由于不知道函数是一次函数还是二次函数，需对k进行讨论当k=3 时，函数=21yx 是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k3，函数2(3)21ykxx是二次函数，当0 时，二次函数与x轴都有交点，解0，求出k的围【解答】解：当k=3 时，函数=21yx 是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k3，函数2(3)21ykxx是二次函数，当=224（k3）0，即k4 时，函数的图象与x轴有交点综上k的取值围是k4故选 D【点评】本题考察了二次函数、一次函数的图象与 x 轴的交点、一次不等式的解法解决本题的关键是对 k 的值分类讨论6如图，矩形 OABC 中，A（1，0），C（0，2），双曲线(02)kykx的图象分别交 AB，CB 于点 E，F，连接 OE，OF，EF，SOEF=2SBEF，则k值为（）A23B1C43D2.6/17【分析】设 E 点坐标为（1，m），则 F 点坐标为（2m，2），根据三角形面积公式得到 SBEF=（12m）（2m），根据反比例函数k的几何意义得到 SOFC=SOAE=12m，由于 SOEF=S矩形 ABCOSOCFSOEASBEF，列方程即可得到结论【解答】解：四边形 OABC 是矩形，BAOA，A（1，0），设 E 点坐标为（1，m），则 F 点坐标为（2m，2），则 SBEF=（12m）（2m），SOFC=SOAE=m，SOEF=S矩形 ABCOSOCFSOEASBEF=212m12m（12m）（2m），SOEF=2SBEF，212m12m（12m）（2m）=2（12m）（2m），整理得232204mm（），解得m1=2（舍去），m2=23，E 点坐标为（1，23），k=23故选 A【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义和矩形的性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积7如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6cm，BC=2cm，点 P 在边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值是（）A20cm B18cm C2 5cmD3 2cm【分析】根据已知条件得到 CP=6t，得到22222(6)2(3)18PQPCCQttt，于是得到结论【解答】解：AP=CQ=t，CP=6t，22222(6)2(3)18PQPCCQttt，0t2，当t=2 时，PQ 的值最小，线段 PQ 的最小值是2 5故选 C【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键8如图，抛物线2(0)yaxbxc a的对称轴为直线2x ，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：40ab；0c；30ac；242abatbt（t 为实数）；点19)2y（，25)2y（，31)2y（，是该抛物线上的点，则y1y2y3，正确的个数有（）.7/17A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据抛物线的对称轴可判断，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断，由1x 时y0 可判断，由2x 时函数取得最大值可判断，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线2x 知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断【解答】解：抛物线的对称轴为直线22bxa ，40ab，所以正确；与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，由抛物线的对称性知，另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即 c0，故正确；由知，1x 时y0，且4ba，430abcaacac，所以正确；由函数图象知当2x 时，函数取得最大值，242abcatbtc，即242abatbt（t为实数），故错误；抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=2，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，y1y3y2，故错误；故选：B【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数2(0)yaxbxc a，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0 时，抛物线向上开口；当a0 时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右 常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：=b24ac0 时，抛物线与x轴有 2 个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有 1 个交点；=b24ac0 时，抛物线与x轴没有交点9 如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心 A 的坐标为（1，0），半径为 1，点 P 是直线3yx 上的一个动点，点 P 作A 的切线，切点为 Q，则切线长 PQ 的最小值是（）A3B5C7D3【分析】连接 AP，PQ，当 AP 最小时，PQ 最小，当 AP直线3yx 时，PQ 最小，根据相似三角形的性质得到 AP，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：如图，作 AP直线3yx ，垂足为 P，作A 的切线 PQ，切点为 Q，当 APBC时，此时切线长 PQ 最小，A 的坐标为（1，0），设直线与x轴，y轴分别交于 B，C，B（0，3），C（3，0），OB=3，AC=4，BC=3 2，在APC 与BOC 中，APC=BOC=90，ACP=OCB，APCOBC，APACOBBC，.8/17AP=2 2，227PQAPAQ，故选 C【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题10如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、F，连接 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论：BE=2AE；DFPBPH；PFDPDB；DP2=PHPC，其中正确的是（）A BCD【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论【解答】解：BPC 是等边三角形，BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60，在正方形 ABCD 中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90ABE=DCF=30，BE=2AE；故正确；PC=CD，PCD=30，PDC=75，FDP=15，DBA=45，PBD=15，FDP=PBD，DFP=BPC=60，DFPBPH；故正确；FDP=PBD=15，ADB=45，PDB=30，而DFP=60，PFDPDB，PFD 与PDB 不会相似；故错误；PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD，DPPHPCDP，DP2=PHPC，故正确；故选 C【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理二填空题（共二填空题（共 6 6 小题）小题）11经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的 50 元降到 32 元，设该药品平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程是50（1x）2=32【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来 50 元降到 32 元，平均每次降价的百分率为 x，可以列出相应的方程即可.9/17【解答】解：由题意可得，50（1x）2=32，故答案为：50（1x）2=32【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程12若抛物线2241yxpxp中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为 0 时，不管 p 取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标【解答】解：2241yxpxp可化为22(4)1yxp x，分析可得：当x=4 时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断13如图，在ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，D 是边 AB 的中点，现有一点 P 位于边 AC 上，使得ADP 与ABC 相似，则线段 AP 的长为 4 或254【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，再分ADPABC 与ADPACB 两种情况进行讨论即可【解答】解：在ABC 中，C=90，AC=8，BC=6，2286=10AB D 是边 AB 的中点，AD=5当ADPABC 时，ADAPABAC，即5108AP，解得 AP=4；当ADPACB 时，ADAPACAB，即5810AP，解得 AP=254故答案为：4 或254【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解14 如图，在平面直角坐标系中，OCB 的外接圆与y轴交于 A（0，2），OCB=60，COB=45，则 OC=13【分析】连接 AB，由圆周角定理知 AB 必过圆心 M，RtABO 中，易知BAO=OCB=60，已知OA=2，即可求得 OB 的长；过 B 作 BDOC，通过解直角三角形即可求得 OD、BD、CD 的长，进而由 OC=OD+CD 求出 OC 的长【解答】解：连接 AB，则 AB 为M 的直径RtABO 中，BAO=OCB=60，332=6OBOA过 B 作 BDOC 于 D.10/17RtOBD 中，COB=45，则2=32ODBDOBRtBCD 中，OCB=60，则3=13CDBDOC=CD+OD=13故答案为：13【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键15如图在等边ABC 中，AC=8，点 D、E、F 分别在三边 AB、BC、AC 上，且 AF=2，FDDE，DFE=60，则 AD 的长为3【分析】根据三角形的角和定理列式求出2=3，再根据等边三角形的三个角都是 60求出A=C，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似求出ADF 和CFE 相似，根据相似三角形对应边成比例可得ADDFCFEF，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得12DFEF，然后代入数据进行计算即可得解【解答】解：DFE=60，1+2+60=180，2=1201，在等边ABC 中，A=C=60，A+1+3=180，3=180A1=1201，2=3，又A=C，ADFCFE，ADDFCFEF，FDDE，DFE=60，DEF=9060=30，12DFEF，又AF=2，AC=8，CF=82=6，162AD，解得 AD=3故答案为：3【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半，根据平角等于 180和三角形的角和定理求出2=3 是解题的关键，也是本题的难点.11/1716在平面直角坐标系中，点 C 沿着某条路径运动，以点 C 为旋转中心，将点 A（0，4）逆时针旋转 90到点 B（m，1），若5m5，则点 C 运动的路径长为5 2【分析】在平面直角坐标系中，在y轴上取点 P（0，1），过 P 作直线lx轴，作 CMOA 于 M，作 CNl于 N，构造 RtBCNRtACM，得出 CN=CM，若连接 CP，则点 C 在BPO 的平分线上，进而得出动点 C 在直线 CP 上运动；再分两种情况讨论 C 的路径端点坐标：当m=5 时，当m=5 时，分别求得 C（1，0）和 C1（4，5），而 C 的运动路径长就是 CC1的长，最后由勾股定理可得 CC1的长度【解答】解：如图 1 所示，在y轴上取点 P（0，1），过 P 作直线lx轴，B（m，1），B 在直线l上，C 为旋转中心，旋转角为 90，BC=AC，ACB=90，APB=90，1=2，作 CMOA 于 M，作 CNl于 N，则 RtBCNRtACM，CN=CM，若连接 CP，则点 C 在BPO 的平分线上，动点 C 在直线 CP 上运动；如图 2 所示，B（m，1）且5m5，分两种情况讨论 C 的路径端点坐标，当 m=5 时，B（5，1），PB=5，作 CMy轴于 M，作 CNl于 N，同理可得BCNACM，CM=CN，BN=AM，可设 PN=PM=CN=CM=a，P（0，1），A（0，4），AP=3，AM=BN=3+a，PB=a+3+a=5，a=1，C（1，0）；当m=5 时，B（5，1），如图 2 中的 B1，此时的动点 C 是图 2 中的 C1，同理可得 C1（4，5），C 的运动路径长就是 CC1的长，由勾股定理可得，2214(1)5505 2CC 【点评】本题主要考查了旋转图形的坐标、全等三角形的判定与性质以及轨迹的运用，解题时注意：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质，求出旋转后的点的坐标三三、解答题（共解答题（共 8 8 小题）小题）17解方程：（1）5x（x+1）=2（x+1）；（2）x23x1=0【分析】（1）先移项得到 5x（x+1）2（x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用求根公式法解方程【解答】解：（1）5x（x+1）2（x+1）=0，（x+1）（5x2）=0 x+1=0 或 5x2=0，.12/17所以x1=1，x2=25；（2）=（3）24（1）=13，3132 1x，所以13132x，23132x【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了公式法解一元二次方程18关于x的方程22(21)230 xkxkk有两个不相等的实数根（1）数k的取值围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得125xx？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知1221xxk，221223(1)20 x xkkk，将原式两边平方后把12xx，12x x代入得到关于k的方程，求解可得【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，22=(21)4(23)4110kkkk，解得：114k；（2）存在，1221xxk，221223(1)20 x xkkk将125xx两边平方可得22112225xx xx，即21212()45xxx x，代入得：22(21)4(23)5kkk，4k11=5，解得：k=4【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键19阅读材料，回答问题：材料：题 1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率题 2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁（一把钥匙只能开一把锁），第三把钥匙不能打开这两把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题 1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球问题：（1）事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？（2）设计一个“袋中摸球”的试验模拟题 2，请简要说明你的方案（3）请直接写出题 2 的结果【分析】题 1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；题 2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一.13/17次打开锁的情况数，即可求出所求的概率；问题：（1）绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球；（2）写出方案；（3）直接写结果即可【解答】解：题 1：画树状图得：一共有 27 种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有 7 种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，则至少有两辆车向左转的概率为：727题 2：列表得：锁 1锁 2钥匙 1（锁 1，钥匙 1）（锁 2，钥匙 1）钥匙 2（锁 1，钥匙 2）（锁 2，钥匙 2）钥匙 3（锁 1，钥匙 3）（锁 2，钥匙 3）所有等可能的情况有 6 种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的 2 种，则2163P 问题：（1）至少摸出两个绿球；（2）一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”；（3）13【点评】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解20如图，M、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算 M、N 两点之间的直线距离，选择测量点 A、B、C，点 B、C 分别在 AM、AN 上，现测得 AM=1 千米、AN=1.8 千米，AB=54 米、BC=45 米、AC=30 米，求 M、N 两点之间的直线距离.14/17【分析】先根据相似三角形的判定得出ABCANM，再利用相似三角形的性质解答即可【解答】解：在ABC 与AMN 中，305549ACAB，1000518009AMAN，ACAMABAN，又A=A，ABCANM，BCACMNAM，即45301000MN，解得：MN=1500 米，答：M、N 两点之间的直线距离是 1500 米；【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键21如图，ABD 是O 的接三角形，E 是弦 BD 的中点，点 C 是O 外一点且DBC=A，连接OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长【分析】（1）连接 OB，由垂径定理的推论得出 BE=DE，OEBD，=12，由圆周角定理得出BOE=A，证出OBE+DBC=90，得出OBC=90即可；（2）由勾股定理求出 OC，由OBC 的面积求出 BE，即可得出弦 BD 的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图所示：E 是弦 BD 的中点，BE=DE，OEBD，=12，BOE=A，OBE+BOE=90，DBC=A，BOE=DBC，OBE+DBC=90，OBC=90，即 BCOB，BC 是O 的切线；（2）解：OB=6，BC=8，BCOB，2210OCOBBC，OBC 的面积=12OCBE=12OBBC，.15/176 84.810OB BCBEOC，BD=2BE=9.6，即弦 BD 的长为 9.6【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键22一块三角形废料如图所示，A=30，C=90，AB=12用这块废料剪出一个矩形 CDEF，其中，点 D、E、F 分别在 AC、AB、BC 上要使剪出的矩形 CDEF 面积最大，点 E 应选在何处？【分析】首先在 RtABC 中利用A=30、AB=12，求得 BC=6、AC 的长，然后根据四边形 CDEF是矩形得到 EFAC 从而得到BEFBAC，设 AE=x，则 BE=12x利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有关x的二次函数，然后求二次函数的最值即可【解答】解：在 RtABC 中，A=30，AB=12，BC=6，AC=ABcos30=3126 32四边形 CDEF 是矩形，EFACBEFBACEFBEACBA设 AE=x，则 BE=12x6 3(12)3=(12)122xEFx在 RtADE 中，1122DEAEx矩形 CDEF 的面积 S=DEEF=2133(12)=3 3(012)224xxxxx当3 36232()4bxa 时，S 有最大值点 E 应选在 AB 的中点处【点评】本题考查了相似三角形的应用及二次函数的应用，解题的关键是从几何问题中整理出二次函数模型，并利用二次函数的知识求最值23某公司产销一种产品，为保证质量，每个周期产销商品件数控制在 100 以，产销成本 C 是商品件数x的二次函数，调查数据如表：产销商品件数（x/件）102030产销成本（C/元）120180260商品的销售价格（单位：元）为13510Px（每个周期的产销利润=PxC）（1）直接写出产销成本 C 与商品件数 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值围）（2）该公司每个周期产销多少件商品时，利润达到 220 元？（3）求该公司每个周期的产销利润的最大值【分析】（1）根据题意设出 C 与x的函数关系式，然后根据表格中的数据即可解答本题；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；.16/17（3）根据题意可以得到利润与销售价格的关系式，然后化为顶点式即可解答本题【解答】解：（1）设2Caxbxc，则2221010=1202020=1803030=260abcabcabc，解得，=0.1=3=80abc，即产销成本 C 与商品件数x的函数关系式是：2138010Cxx；（2）依题意，得211(35)(380)2201010 x xxx；解得，x1=10，x2=150，每个周期产销商品件数控制在 100 以，x=10即该公司每个周期产销 10 件商品时，利润达到 220 元；（3）设每个周期的产销利润为 y 元，2221111(35)(380)3280(80)1200101055yx xxxxxx ，当x=80 时，函数有最大值，此时y=1200，即当每个周期产销 80 件商品时，产销利润最大，最大值为 1200 元【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件24如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线2yxbxc经过 A，B 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角ABC 斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作x轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E、F 的坐标；（3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据 AC=BC，求出 BC 的长，进而得到点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，用含m的式表示出 E，F 的坐标，求出 EF 的长度最大时m的值，即可求得 E，F 的坐标；（3）分两种情况：E=90和F=90，分别得到点 P 的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点 P 的值【解答】解：（1）OA=1，OC=4，AC=BC，BC=5，A（1，0），B（4，5），抛物线2yxbxc经过 A，B 两点，1=0164=5bcbc，解得：23bc ，223yxx；（2）设直线 AB 解析式为：ykxb，直线经过点 A，B 两点，.17/17=04=5kbkb，解得：=1=1kb，直线 AB 的解析式为：1yx，设点 E 的坐标为（m，m+1），则点 F（m，m22m3），EF=22232512334()24mmmmmm ，当 EF 最大时，m=32，点 E（32，52），F（32，154）；（3）存在当FEP=90时，点 P 的纵坐标为52，即x22x3=52，解得：12262x，22262x，点 P1（2262，52），P2（2262，52），当EFP=90时，点 P 的纵坐标为154，即x22x3=154，解得：112x，232x（舍去），点 P3（12，154），综上所述，P1（2262，52），P2（2262，52），P3（12，154）【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（3）小题要注意分类讨论，分E=90和F=90两种情况