2021届高三精准培优专练十二数列求和(文)学生版.docx

b bn培优点十二数列求和一、分组求和法二、裂项相消法2021 届高三好教育精准培优专练例 1：设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且S3 9，a1,a2,a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设b 2n a，求数列b的前n项和Tnnnn例2：设数列an的前n项和为Sn，且S4120，3an1 an（1）求数列an的通项公式；b log a1（2）设n1n5，求数列的前n项和T 3n n1三、错位相减法例 3：在数列a中，有a 1，a1a；在数列b中，有前n项和S n2 nn1n12nnn（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Tn对点增分集训一、选择题1已知各项不为的等差数列a满足a a22a 0，则前项和S（）0n5781313A19B29C39D492已知递增的等比数列an的前n项和为Sn，若4a1,a3,2a2成等差数列，且a4S31，S10（）A2047B2047C1023D10233设数列an是首项为a1，公差为2的等差数列，Sn为其前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则S100（）A10000B10000C10100D101004已知等比数列a 的各项均为正数，且3a1，a3，a成等差数列，令它的前n项和为S，则S8S4n（）242nA82B81C17D16113155数列a按如下规律排列，3，则它的前n项和S（）n22843232nA2n 22nB2n 22nC2n 22nD2n2n6数列a 的通项公式为a 1，则数列a 的前n项和S（）nnlg102n1lg102n1nnSnSn1nnnnnnAnn 1Bn2n 1Cn2n 1Dnn 17已知数列an的前n项和为Sn，a11，当n2时，an2Sn1n，则S2019的值为（）A1008B1009C1010D10118已知等差数列a 中，a 3，a 7，b 1(n Z)，则使b b 成立的最大n2n的值为（）nanA97B98C99D100二、填空题9已知数列a的通项公式为a 3n3n，则它的前n项和S 10等差数列a中，a 4，a a 20，则数列1的前2020项和为n219a ann111已知数列a中，a，a 0，前n项和为S若a，(nN*,n 2)，n1nnn则数列1的前15项和为anan112等比数列a的前n项和S 2n1，则数列na的前n项和T 三、解答题13已知数列a的各项均为正数，对任意nN*，它的前n项和S满足S1a1a 2，n并且a2，a4，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；nn6nn（2）设b 1n1a a，T为数列b的前n项和，求Tnnn1nn2n b 99n100n6n1214已知公差不为零的等差数列an满足S880，且a1，a4，a13成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若b 2，且数列b的前n项和为T，求证：T 1na 1a 1nnn2nnnn15在等比数列an与等差数列bn中，a1 1，b1 2，a2 b2 3，a3 b3 4（1）求数列an与数列bn的通项公式；（2）若cn an bn，求数列cn的前n项和Sn16已知数列a的前n项和为S n2 2n（1）求这数列an的通项公式；（2）若b 2na，求数列b的前n项和Tnnnn215221培优点十二数列求和 答案例 1：【答案】（1）an 2n1；（2）Tn 2n1 2 n2【解析】（1）由题意S3 9，可求得a2 3，a2 a a，公差为d，即9(3d)(33d)，解得d 0（舍）或d 2，所以a11，an a1(n1)d 2n1（2）Tn(21)(2 3)(2 5)(2 2n 1)23n(2 22 23例 2：【答案】（1）an35n；（2）Tnn 12(2n1)n(12n 1)n1212n2【解析】（1）3an1 an，an是公比q1为的等比数列，3a 114又S4()1311 120，解得a1 81，3a 811n是 以为首项，公比为的等比数列，3通项公式为an a qn1 35nb log a log 35(n5)log3n n（2）n1n513，331111，bnbn1n(n1)nn1数列1的前n项和T(11)(11)(11)11nb bn223nn1n1n 1n n1例 3：【答案】（1）a(1)n1，b 2n；（2）T 8 2n 4n2nn2n1【解析】（1）由已知得数列a11a 1n1()，n为首项为，公比为的等比数列，n2n)(1352n1)n22在数列b中，当n 2时，有b S S n2 n(n 1)2(n 1)2n，nnnn12n12n1S1S41当n 1时，b1 S1 2，上式也成立，所以bn 2n（2）Tn a1b1 a2b2a3b3 anbn，T 214161，n2221T 2141(2n 2)12n 1，2n2222n12n两式相减有1T 22(1111)2n 1，2n222232n12nT 44(1111)2n1n222232n12n111 4 422n 2n 1112n1282n 42n1一、选择题1【答案】C【解析】由题意可得：a a22aa 2d a2 2a d3a a2 0，57877777a 0，a 3，则S13(a1a13)13a 39772【答案】C1327【解析】因为4a,a,2a成等差数列，所以2a 4a 2a，即2a q2 4a2a q，132312化简得q2q20，解得q 1(舍)或q2，111a(qn1)1(2101)又8a1a12a14a11，所以a11，S101023q1213【答案】A【解析】S,S,S成等比数列，S2，即(2a2)2 a(4a 12)，1242111解得a 1，a a(n1)d 2n1，a199，S100(1199)100001n11001002n2n1111 111 114n4【答案】A【解析】设公比为q，由3a1，a3，a成等差数列，可得3a1 a a3，3aa q22422222所 以1 a1q 1，则q22a(q81)2q 3 0，解q 1(舍去)或q 3所以S8q1 q4182故选 ASa(q41)q 15【答案】A【解析】观察数列发现它的通项公式为an2n，S 123n，1S 123，n222232n2n222324两式相减可得1S1111n，2n222232n2n1S 11111n2n 2n222232n12n2n6【答案】B【解析】由题意得，数列a 的通项公式为a 11(11)，nn(2n1)(2n1)2 2n12n1a 11111，n4n212n 12n 122n12n1所以数列an的前n项和Sn()()1)1(11)n7【答案】C2 132 352n122n12n1【解析】当n2时，an2Sn1n，故an12Snn1，由得，an1an2SnSn11，即an1an1n 2，所以S2019 a1a2a3a4a5a2018a20191010，故选 C8【答案】B【解析】设等差数列a 的公差为d，则d a6 a27 3 1，n6241(12 2n 1Snna 2，a 2(n1)n1，b 1111，1nnnann(n 1)nn1b1 b21)(11)11，223n 1由1199，解得n 99，n1100又在数列中n为整数，最大n的值为98故选 B二、填空题9【答案】3n13(1 n n2)22【解析】数列a的通项公式为a 3n 3n，nnS (3131)(3232)(3333)(3n3n)(3 32 333(3n1)n(3 3n)3n13(1 n n2)3122210【答案】5052021【解析】在等差数列an中，a2 4，a1a9 20，可得a2a8 20，a816，所以数列的公差d 2，a1 2，所以an 2n，111(11)，anan12n(2n2)4 nn1则数列1的前2020项和a ann1S1 11)1(11)1)1(11)5052020(4 124 23202142021202111【答案】1531【解析】因为an,(n N*,n 2)，b 1n(1(11nn13n)(332333n)1(14 2020Sn1SnS1a1SnSn11a15a16111)(11)2 1335(11)1(112931231nn所以11SnSn1SnSn1an所以Sn1=1，SnSn1an又 1，所以 Sn是首项为1，公差为1的等差数列，则 n，所以an nn1 2n1,(nN,n 2)，*又a 1也满足，所以a 2n 1,(n N*)，1所以1n11(11)anan1(2n1)(2n1)2 2n12n11所以数列a a的前15项和为n n11115a1a2a2a312【答案】(n1)2n1)31【解析】当n 2时，a S S 2n1，a S 2 1 1，符合通项公式annnn111 2n1，012n1所以有Tn12 22 32 n2，可有2T 121222323n2n，两式相减可得Tn1202122n 2n(2n1)n 2n，所以T (n 1)2n1三、解答题13【答案】（1）an3n2，nN*；（2）T 18n2 6n【解析】（1）依题意，当a 1时，有S a 1a 1a 2，解得a 1或2，116111SnSn1Sn 2n12n11nn1对任意nN*，有S 1a 1a 2，n6nn当n2时，有S1a1a 2，n16n1n1两式相减并整理得anan1anan130，而数列an的各项均为正数，anan13，当a 1时，a 1 3n 1 3n 2，此时a2 a a成立；1n42 9当a 2时，a 23n13n1，此时a2 a a舍去1n42 9an3n2，nN*（2）T2n b1 b2a1a2 a2a3 a3a4a4a5a2na2n1a2a1a3a4a3a5a2na2n1a2n1 6a26a4 6a a a 6n46n2 18n26n242n214【答案】（1）an 2n1；（2）证明见解析【解析】（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d(d 0)S 8087d 80由题意得8a2 a a，则8a12，41 13(a 3d)2 a(a 12d)111化简得2a1 7d 20，解得a1 3，2a 3dd 21所以an32n1 2n1（2）证明：b 2211(11)，n(a 1)(a 1)2n(2n2)2n(n1)2nn1所以Tnn1(1111)1(11)1n22232n1215【答案】（1）an2n 1，b 3n1；（2）Sn2n3n21n 1 b2n 6a2nn22n212n2【解析】（1）设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为d，由a 1，b 2，a b 3，a b 4，可得q2d 3，112233q22 2d 4解得q2，d 3，a2n 1，b 2 3n 1 3n 1（2）由（1）知：c a b 2n1 3n 1，nnnS (20 2)(21 5)(2n13n1)(253n1)(122n1)n(2 1 3n)1 2nn3n21n 12122216【答案】（1）an 2n1；（2）Tn2n12n12【解析】（1）当n 2且nN*时，an Sn Sn1 n2 2n(n 1)2 2(n 1)2n 1，当n 1时，a S 12 21 3，也满足上式，11数列an的通项公式为an 2n1（2）由（1）知：b 2na2n12n，Tn2Tnnn325227232n12n12n12n，3225237242n12n2n12n1，两式相减有Tn3222222322n2n12n13n162n12n1 2n12n12，1 2Tn2n12n12n