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职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 1 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 中职数学基础知识汇总中职数学基础知识汇总 预备知识：预备知识： 1.完全平方和（差）公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) 3.立方和（差）公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 第一章第一章 集合集合 1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、描述法、图像法（文氏图） 。 3. 常用数集：N（自然数集） 、Z（整数集） 、Q（有理数集） 、R（实数集） 、N+（正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“”与“”的关系。 （2） 集合与集合是“” “” “=” “/”的关系。 注：注： （1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 （做题时多考虑是否满足题意） （2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有 2n个，真子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2 个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1） |ABx xAxB=挝 且：A与B的公共元素组成的集合 （2） |ABx xAxB=挝 或：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次） 。 （3）ACU：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。 注：注：=()UUUCABC AC B ()UUUCABC AC B= 6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p是q的条件 p是条件，q是结论 如果 pq，那么 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件. 如果 pq，那么 p 是 q 的充要条件 第二章第二章 不等式不等式 1. 不等式的基本性质： （略） 注：注： （1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！ ！ （3）同向同向的不等式可以相加加（不能相减） ，同正的同向同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要重要的不等式： （1）abba222+，当且仅当ba =时，等号成立。 （2）),(2+Rbaabba，当且仅当ba =时，等号成立。 （3） 注：2ba +（算术平均数）ab（几何平均数） 3. 一元一次不等式的解法（略） 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法） ，目的是求根： 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 2 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 （3） 定解： （口诀）大于取两边，小于取中间。 5. 绝对值不等式的解法 若0a，则axaxaxaxaax或| 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为 0. 第三章第三章 函数函数 1. 函数 （1）定义：设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对 A 内任一个元素 x,在 B 中总有一个且只有一个值 y 与它对应,则称f是集合 A 到 B 的函数函数, ,可记为:f:AB,或f:xy.其中 A 叫做函数f的定义域.函数f在ax =的函数值,记作)(af,函数值的全体构成的集合 C(CB),叫做函数的值域. （2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法图像法、解析法。 注：注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则三要素：定义域、值域、对应法则 （1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x的取值范围 主要依据：分母不能为 0，偶次根式的被开方式0， 特殊函数定义域：0,0=xxy Rxaaayx=),10( ,且 0),10( ,log=xaaxya且 （2） 值域的求法：y的取值范围 正比例函数：kxy = 和 一次函数：bkxy+=的值域为R 二次函数：cbxaxy+=2的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像 反比例函数：xy1=的值域为0|yy 另求值域的方法：换元法换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 （3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法换元法、构造法、待定系数法等。 3. 函数图像的变换 （1） 平移 )()(axfyaxfy+=个单位向左平移 )()(axfyaxfy=个单位向右平移 axfyaxfy+=)()(个单位向上平移 axfyaxfy=)()(个单位向下平移 （2） 翻折 )()(xfyxxfy=上、下对折轴沿 | )(|)(xfyxxfy=下方翻折到上方轴上方图像保留 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 3 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 4. 函数的奇偶性 （1） 定义域关于原点对称 （2） 若)()(xfxf=奇 若)()(xfxf=偶 注：若奇函数在0=x处有意义，则0)0(=f 常值函数axf=)(（0a）为偶函数 0)(=xf既是奇函数又是偶函数 5. 函数的单调性 对于,21baxx 、且21xx ，若上为减函数在称上为增函数在称,)(),()(,)(),()(2121baxfxfxfbaxfxfxf 增函数：x值越大，函数值越大；x值越小，函数值越小。 减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。 6. 二次函数 （1）二次函数的三种解析式 一般式：cbxaxxf+=2)(（0a） 顶点式：hkxaxf+=2)()( （0a） ，其中),(hk为顶点 两根式：)()(21xxxxaxf= （0a） ，其中21xx、是0)(=xf的两根 （2）图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： 开口 0a开口向上 0a开口向下 对称轴：abx2= 顶点坐标：)44,2(2abacab 与x轴的交点：=无交点交点有有两交点0100 根与系数的关系： （韦达定理）=+acxxabxx2121 cbxaxxf+=2)(为偶函数的充要条件为0=b 二次函数（二次函数恒大（小）于 0） 0)(xf轴上方图像位于xa00 轴下方图像位于xaxf000)( 若二次函数对任意x都有)()(xtfxtf+=，则其对称轴是tx =。 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1. 指数幂的性质与运算 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 4 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 （1）根式的性质： n为任意正整数，nna)(a= 当n为奇数时，aann=；当当n为偶数时，为偶数时，| aann= 零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂：10=a )0( a （3） 负数指数幂：nnaa1= ), 0(*Nna （4） 分数指数幂：nmnmaa= ) 1, 0(+nNnma且 （5） 实数指数幂的运算法则：), 0(Rnma nmnmaaa+= mnnmaa=)( nnnbaba= )( 2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n次方。 3. 幂函数+=+=）上单调递减，在（时，当）上单调递增，在（时，当0000aaaxyaxyaxy 4. 指数与对数的互化：bNNaab=log ) 10(aa且 、 )0(N 5. 对数基本性质： 1log=aa 01log=a NaNa=log NaNa=log 互为倒数与abbaloglogababbabalog1log1loglog= bmnbanamloglog= 6. 对数的基本运算： NMNMaaaloglog)(log+= NMNMaaalogloglog= 7. 换底公式：aNNbbalogloglog= ) 10(bb且 8. 指数函数、对数函数的图像和性质 指数函数 对数函数 定 义 )1, 0(的常数=aaayx )1, 0(log的常数=aaxya 图 像 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 5 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 性 质 (1) 0,yRx (2) 图像经过) 1 , 0(点 （3）上为减函数。在上为增函数；在RayaRayaxx=, 10, 1 (1) Ryx , 0 (2) 图像经过)0 , 1 (点 （3）上为减函数在上为增函数；在), 0(log, 10), 0(log, 1+=+=xyaxyaaa 9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值 0，1 来过渡。 10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化 同底法 换元法 取对数法 注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。 第五章第五章 数列数列 等差数列 等比数列 定 义 每一项与前一项之差为同一个常数 每一项与前一项之比为同一个常数 =12aadaaaann=123 qaaaaaann=12312)0( q 注：当公差0=d时，数列为常数列 注：等比数列各项及公比均不能为 0； 当公比为 1 时，数列为常数列 通项公式 dnaan) 1(1+= 11=nnqaa 推 论 （1）mnaadmn= （2）dmnaamn)( += （3）若qpnm+=+，则qpnmaaaa+=+ （1）mnmnaaq= （2）mnmnqaa= （3）若qpnm+=+，则qpnmaaaa= 中项公式 三个数cba、成等差数列，则有 22cabcab+=+= 三个数cba、成等比数列，则有 acb =2 前n项和公式 dnnnaaanSnn2) 1(2)(11+=+= qqaaqqaSnnn=11)1 (11（1q） 1. 已知前n项和nS的解析式，求通项na =11nnnSSSa )2() 1(=nn 2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n项和公式的证明方法。 （见教材） 第六章第六章 三角函数三角函数 1. 弧度和角度的互换 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 6 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 =o180弧度 1801=o弧度01745. 0弧度 1弧度1857)180(oo= 2. 扇形弧长公式和面积公式 r|=扇L 2|2121rLrS=扇 （记忆法：与ahSABC21=类似） 3. 任意三角函数的定义： 斜边对边=sin=ry 斜边邻边=cos =rx 邻边对边=tan=xy 4. 特殊三角函数值 000 = 0306= 0454= 0603= 0902= sin 20 21 22 23 24 cos 24 23 22 21 20 tan 0 33 1 3 不存在 5. 三角函数的符号判定 （1） 口诀：一全二正弦，三切四余弦。 （三角函数中为正的，其余的为负） （2） 图像记忆法 6. 三角函数基本公式 cossintan= （可用于化简、证明等） 1cossin22=+ （可用于已知sin求cos；或者反过来运用） 7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。 解释：指)(2Zkk+，若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变。 7. 已知三角函数值求角: (1) 确定角所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角; (3) 写出满足条件的20的角; (4) 加上周期（同终边的角的集合） 8. 和角、倍角公式 和角公式：sincoscossin)sin(= 注意正负号相同 sinsincoscos)cos(= 注意正负号相反 tantan1tantan)tan(= 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 7 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 二倍角公式： cossin22sin= 2222sin211cos2sincos2cos= 2tan1tan22tan= 半角公式： 2cos12sin= 2cos12cos+= 9. 三角函数的图像与性质 函数 图像 性 质 定义域 值域 同期 奇偶性 单调性 xysin= Rx 1 , 1 2=T 奇 +22 ,22kk +232 ,22kk xycos= Rx 1 , 1 2=T 偶 2 ,2kk + 2 ,2kk 9. 正弦型函数)sin(+=xAy )0, 0(A (1)定义域R，值域,AA （2）周期：2=T （3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x的系数提出来，再看是怎样平移的。 （4）xbxaycossin+=)sin(22+=xba 10. 正弦定理 RCcBbAa2sinsinsin= （R为ABC的外接圆半径） 其他形式： （1）ARasin2= BRbsin2= CRcsin2=（注意理解记忆，可只记一个） （2）CBAcbasin:sin:sin:= 11. 余弦定理 Abccbacos2222+= bcacbA2cos222+= （注意理解记忆，可只记一个） 12. 三角形面积公式 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 8 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 BacAbcCabSABCsin21sin21sin21= （注意理解记忆，可只记一个） 13. 海伦公式：)()(cPbPaPPSABC=（其中P为ABC的半周长，2cbaP+=） 第七章第七章 平面向量平面向量 1. 向量的概念 （1） 定义：既有大小又有方向大小又有方向的量。 （2） 向量的表示：书写时一定要加箭头！书写时一定要加箭头！另起点为 A，终点为 B 的向量表示为AB。 （3） 向量的模（长度） ：|aAB 或 （4） 零向量：长度为 0，方向任意。 单位向量：长度为 1 的向量。 向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。 反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。 2. 向量的运算 （1） 图形法则 三角形法则 平形四边形法则 （2）计算法则 加法：ACBCAB=+ 减法：CAACAB= （3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律 3. 数乘向量：a （1）模为：|a （2）方向：为正与a相同；为负与a相反。 4. AB的坐标：终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。 ),(ABAByyxxAB= 5. 向量共线（平行） ：唯一实数，使得ba=。 （可证平行、三点共线问题等） 6. 平面向量分解定理：如果21,ee是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，都存在唯一的一对实数21,xx，使得2211exexa+=。 7. 注意ABC中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点） 、内心（内切圆圆心：三角平分线交点） 、垂心（三高线的交点） 8. 向量的内积（数量积） （1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围, 0。 （2） 内积公式：=bababa,cos| 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 9 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 9. 向量内积的性质： （1）|,cosbababa= （夹角公式） （2）ab0=ba （3）aaaaaa=|2或 （长度公式） 10. 向量的直角坐标运算： （1）),(ABAByyxxAB= （2）设),(),(2211yxbyxa=，则 ),(2121yyxxba= ),(11yxa= 2121yyxxba+= 11.中点坐标公式：若 A11( ,)x y,B22(,)xy,点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则1212,22xxyyxy+= 12.向量平行、垂直的充要条件：设),(),(2211yxbyxa=，则 ab2121yyxx= （相对应坐标比值相等） ab=0ba02121=+yyxx （两个向量垂直则它们的内积为 0） 11. 长度公式 （1） 向量长度公式：设),(yxa =，则22|yxa+= （2） 两点间距离公式：设点),(),(2211yxByxA，则 212212)()(|yyxxAB+= 12. 向量平移 （1） 平移公式：点),(yxP平移向量) , ( ),(21yxPaaa到=，则+=+=21ayyaxx 记忆法： “新=旧+向量” （2）图像平移：)(xfy =的图像平移向量),(21aaa =后得到的函数解析式为：)(12axfay= 第八章第八章 平面解析几何平面解析几何 1. 曲线C上的点与方程0),(=yxF之间的关系： （1） 曲线C上点的坐标都是方程0),(=yxF的解； （2） 以方程0),(=yxF的解),(yx为坐标的点都在曲线C上。 则曲线C叫做方程0),(=yxF的曲线，方程0),(=yxF叫做曲线C的方程。 2. 求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x，y） ；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用yx,的关系式表示这个条件列出的方程； （4） 化简方程（不需要的全部约掉） ； （5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。 4. 直线： 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 10 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 (1) 倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是范围是), 0 (2) 斜率：倾斜角为090的直线没有斜率；tan=k（倾斜角的正切） 经过两点),(),(222111yxPyxP的直线的斜率1212xxyyK= )(21xx (3) 直线的方程 两点式：121121xxxxyyyy= 斜截式：bkxy+= 点斜式：)(00 xxkyy= 一般式：0=+CByAx 注：1.若直线l 方程为 3x+4y+5=0，则与l平行平行的直线可设为 3x+4y+C=0；与l垂直垂直的直线可设为 4X-3Y+C=0 2.求直线的方程最后要化成一般式。 (4) 两条直线的位置关系 111:bxkyl+= 222:bxkyl+= 0:1111=+CxBxAl 0:2222=+CxBxAl 1l与2l平行 2121bbkk=且 222121CCBBAA= 1l与2l重合 2121bbkk=且 222121CCBBAA= 1l与2l相交 21kk 2121BBAA 1l2l 121=kk 02121=+BBAA 注：系数为 0 的情况可画图像来判定。 (5)点到直线的距离 点),(00yxP到直线0=+CByAx的距离：2200|BACByAxd+= 5. 圆的方程 （1） 标准方程：222)()(rbyax=+（0r）其中圆心),(ba，半径r。 （2） 一般方程：022=+FEyDxyx（0422+FED） 圆心（2,2ED） 半径：2422FEDr+= （4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较。 相交 rd； 相切= rd； 相离 rd 6. 椭圆 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 11 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 几何定义 动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数a2 aPFPF2|21=+ 标准方程 12222=+byax（焦点在x轴上） 12222=+aybx（焦点在y轴上） 图像 cba,的关系 222cba+= 注意：通常题目会隐藏这个条件 对称轴与对称中心 x轴：长轴长a2；y轴：短轴长b2；)0 , 0(O 顶点坐标 )0 ,( a ), 0(b 焦点坐标 )0 ,( c 焦距c2 注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率 1122=abace 7. 双曲线 几何定义 动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数a2 aPFPF2|21= 标准方程 12222=byax（焦点在x轴上） 12222=bxay（焦点在y轴上） 图像 cba,的关系 222bac+= 注意：通常题目会隐藏这个条件 对称轴与对称中心 x轴：实轴长a2；y轴：虚轴长b2；)0 , 0(O 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 12 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 顶点坐标 )0 ,( a 焦点坐标 )0 ,( c 焦距c2 注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率 1122+=abace 渐近线 xaby=（焦点在x轴上） xbay=（焦点在y轴上） 注：等轴双曲线： （1）实轴长和虚轴长相等ba =（2）离心率2=e（3）渐近线xy= 8. 抛物线 几何定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 dMF = |（d为抛物线上一点M到准线的距离） 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 图像 标准方程 pxy22=)0(p pxy22=)0(p pyx22=)0(p pyx22=)0(p 焦点坐标 )0 ,2(pF )0 ,2(pF )2, 0(pF )2, 0(pF 准线方程 2px= 2px = 2py= 2py = 顶点 )0 , 0(O 对称轴 x轴 y轴 离心率 1=e 注： （1）p的几何意义表示焦点到准线的距离。 （2） 掌握焦点在哪个轴上的判断方法 （3）圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式弦长公式：2122124)(1|xxxxkAB+= （4）圆锥曲线中最重要的是它本身的定义定义！ ！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！ 第九章第九章 立体几何立体几何 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 13 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 1. 空间的基本要素：点、线、面 注：用集合符号表示空间中点（元素） 、线（集合） 、面（集合）的关系 2. 平面的基本性质 （1） 三个公理： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （2） 三个推论： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3. 两条直线的位置关系： （1） 相交：有且只有一个公共点，记作“Aba=” （2） 平行：. a过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。 . b平行于同一条直线的两条直线平行 （3） 异面： 定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于2的角。注意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。 4. 直线和平面的位置关系： （1） 直线在平面内：l （2） 直线与平面相交：Al= （3） 直线与平面平行 定义：没有公共点，记作：l 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。 5. 两个平面的位置关系 （1） 相交：l= （2） 平行： 定义：没有公共点，记作： “” 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行 性质： . a两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行 . b平行于同一平面的两个平面平行 . c夹在两平行平面间的平行线段相等 .d两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例 6. 直线与平面所成的角： （1） 定义：直线与它在平面内的射影所成的角 （2） 范围：2, 0 7. 直线与平面垂直 （1） 判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 14 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 （2） 性质： 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线； 垂直于同一平面的两直线平行； 垂直于同一直线的两平面平行。 8. 两个平面垂直 （1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。 （2） 性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 9. 二面角 （1） 定义：过二面角l的棱上一点O，分别在两半平面内引棱l的垂线OBOA、，则AOB为二面角的平面角 （2） 范围：, 0 （3） 二面角的平面角构造： 按定义，在棱上取一点O，分别在两半平面内引棱的垂线OBOA、，则AOB即是 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OBOA、，AOB即是 第十章第十章 排列、组合与二项式定理排列、组合与二项式定理 1.分类用加法：nmmmN+=21 分步用乘法：nmmmN=21 2.有序为排列：)!(!) 1()2)(1(mnnmnnnnPmn=+= 无序为组合：)!( !) 1()2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn=+= 阶乘：123)2)(1(!=nnnnPnn 规定：1! 0 = 10=nC 注： （1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！ （2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。 3.组合数的两个性质： （1）mnnmnCC= （2）11+=mnmnmnCCC 4.二项式定理： nnnnnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCbaCba011111100)(+=+ 通项：rrnrnrbaCT+=1，其中rnC叫做第1+r项的二项式系数。 注： （1）二项展开式中第1+r项的系数系数与第1+r项的二项式系数二项式系数rnC是两个不同的概念。 （2）杨辉三角 1. 二项式系数的性质 （1） 除每行两端的 1 以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即11+=rnrnrnCCC 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 15 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 （2） 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即rnnrnCC= （3） n为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大； （第12+n项） n为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。 （第21+n项和后一项） 7. nnnnnCCC2Cmn10=+ 15314202=+=+nnnnnnnCCCCCC 第十一章第十一章 概率与统计概率与统计 一、概率一、概率. 1. 概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率nmP(A) =. 3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率，等于事件 A、B 分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)。 对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于 1：1)AP(A)AP(P(A)=+=+. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 相互独立事件：事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A B)=P(A) P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率 P（AB）等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为独立事件. 独立重复试验：若 n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率：knkknnP)(1PC(k)P=. 二、随机变量二、随机变量. 1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 设离散型随机变量 可能取的值为：,21ixxx 取每一个值), 2 , 1(1=ix的概率iipxP=)(，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列. 1x 2x ix P 1p 2p ip 有性质, 2 , 1, 01=ip； 121=+ippp. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：5 , 0即可以取 05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. 离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 knkknnqpCkP= )(， （k0,1,2,，n，pq=1） 职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 16 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 于是得到随机变量 的概率分布如下： 0 1 k n P nnqpC00 111nnqpC knkknqpC 0qpCnnn 由于knkknqpC恰好是二项展开式 011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn+=+ 中的各项的值，所以称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B(n，p)，其中 n，p 为参数，并记knkknqpCb(k；n，p) 二项分布的判断与应用. 二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 三、数学期望与方差三、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为 1x 2x ix P 1p 2p ip 则称+=nnpxpxpxE2211为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. 二项分布的数学期望：npE = 其分布列为),(pnB.（P 为发生的概率） 3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义 ： 当 已 知 随 机 变 量的 分 布 列 为), 2 , 1()(=kpxPkk时 ， 则 称+=nnpExpExpExD2222121)()()(为 的方差。 显然0D，故.D=为 的根方差或标准差。随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小. 4.二项分布的方差：npqD= 5. 期望与方差的关系：22)(EED= 四、正态分布四、正态分布.（基本不列入考试范围基本不列入考试范围） 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，位于 x 轴上方， 落在任一区间),ba内的概率等于它与 x 轴.直线ax =与直线bx =所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫 的密度曲线，以其作为 图像的函数)(xf叫做 的密度函数，由于“),(+x” 是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. 正态分布与正态曲线： 如果随机变量 的概率密度为：222)(21)(=xexf. （,Rx为常数， 且0） ，称 服从参数为,的正态分布，用),(2N表示.)(xf的表达式可简记为),(2N，它的密度曲线简称为正态曲线. 正态分布的期望与方差：若),(2N，则 的期望与方差分别为：=E，2=D 正态曲线的性质. 曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交. 曲线关于直线=x对称. yxaby=f(x)职 教 单 招 数 学 总 复 习 第 17 页 共 17 页 慈溪锦堂职业高中 当=x时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. 当x时，曲线上升；当x时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近. 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. 标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为)(21)(22+= xexx，则称 服从标准正态分布. 即) 1 , 0(N有)()(xPx=，)(1)(xx=求出，而 P（ab）的计算则是)()()(abbaP=. 注意：当标准正态分布的)(x的 X 取 0 时，有5 . 0) 0(=，当)(x的 X 取大于 0 的数时，有5 . 0)(x，如图. 正态分布与标准正态分布间的关系：若),(2N则 的分布函数通 常用)(xF表示，且有)x(F(x)x)P(=. 4.“3”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2N.确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(+.做出判断：如果)3,3(+a，接受统计假设. 如果)3,3(+a，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. “3”原则的应用： 若随机变量 服从正态分布),(2N则 落在)3,3(+内的概率为 99.7 亦即落在)3,3(+之外的概率为 0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即 不服从正态分布） 。 xya标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+SS
