中考数学几何模型7：轴对称最值模型.pdf

中考数学几何模型中考数学几何模型 7 7：轴对称最值模型轴对称最值模型名师点睛名师点睛拨开云雾拨开云雾开门见山开门见山12AABPDBQC3典题探究典题探究启迪思维启迪思维探究重点探究重点4例题例题 1. 1. 如图，在矩形ABCD 中，AB10，AD6，动点 P 满足 SPABS矩形ABCD，则点 P到 A，B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为变式练习变式练习 1如图 RtABC 和等腰ACD 以 AC 为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足 ADAB，过点D 作 DEAC 于点 F，DE 交 AB 于点 E，已知AB5，BC3，P 是射线 DE上的动点，当PBC 的周长取得最小值时，DP 的值为（）ABCD例题例题 2. 2. 如图所示，凸四边形ABCD 中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点 M、N 分别为边 CD，AD 上的动点，求BMN 的周长的最小值.5变式练习变式练习 2如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB40，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（）A140例题例题 3.3. 如图， 在ABC 中， C90， CBCA4， A 的平分线交 BC 于点 D， 若点 P、Q 分别是 AC 和 AD 上的动点，则 CQ+PQ 的最小值是6B100C50D40变式练习变式练习 3如图，已知等边ABC 的面积为 4PR+QR 的最小值是（），P、Q、R 分别为边 AB、BC、AC 上的动点，则A3B2CD4例题例题 4.4.如图，MON30，A 在 OM 上，OA2，D 在 ON 上，OD4，C 是 OM 上任意一点，B 是ON 上任意一点，则折线 ABCD 的最短长度为7变式练习变式练习 4. 如图，在长方形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，P 是 AB 上任意一点，Q 是 OC 上任意一点，已知：AC2，BC1（1）求折线 OPQB 的长的最小值；（2）当折线 OPQB 的长最小时，试确定Q 的位置例题例题 5.5. 如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ3，当 CQ时，四边形 APQE 的周长最小8变式练习变式练习 5如图，已知A（3，1）与 B（1，0） ，PQ 是直线 yx 上的一条动线段且 PQP 的下方） ，当 AP+PQ+QB 最小时，Q 点坐标为（）（Q 在A （，）B （，）C （0，0）D （1，1）例题例题 6.6. 如图，点 E、F 是正方形 ABCD 的边 BC 上的两点（不与 B、C 两点重合） ，过点 B作 BGAE 于点 G，连接 FG、DF，若 AB2，求 DF+GF 的最小值为.9变式练习变式练习 6如图， 平面直角坐标系中， 分别以点 A（2，3） 、点 B（3，4）为圆心， 1、3 为半径作A、B， M， N 分别是A、 B 上的动点， P 为 x 轴上的动点， 则 PM+PN 的最小值为 （）A5例题例题 7.7. 如图，AD 为等边ABC 的高，E、F 分别为线段 AD、AC 上的动点，且 AECF，1 04B1C62D当 BF+CE 取得最小值时，AFB（）A112.5变式练习变式练习 7如图，等边 ABC 中，AD 为 BC 边上的高，点M、N 分别在 AD、AC 上，且AMCN，连 BM、BN，当 BM+BN 最小时，MBN度B105C90D82.5例题例题 8.8. （1）如图 ，RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D 是 AB 边上任意一1 1点，则 CD 的最小值为（2）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 M、点N 分别在 BD、BC 上，求CM+MN的最小值（3）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是BC 边上的任意一点， 把BEF 沿 EF 翻折， 点 B 的对应点为 G， 连接 AG、 CG， 四边形 AGCD的面积是否存在最小值， 若存在， 求这个最小值及此时BF 的长度 若不存在， 请说明理由1 2达标检测达标检测领领悟提升悟提升强化落实强化落实1. 1. 如图，矩形 ABCD 中，AB5，AD10，点 E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G 为动点，若要使得AFCH，BEDG，则四边形EFGH 周长的最小值为（）A5B10C15D102. 2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3） ，B（3，4）为圆心，以1、2 为半径作A、B，M、N 分别是A、B 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 PM+PN 的最小值等于3. 3. 如图，已知直线 yx+4 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，C 的圆心坐标为 （2，0） ，半径为 2，若D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值和最大值分别是4. 4. 正方形 ABCD，AB4，E 是 CD 中点，BF3CF，点 M，N 为线段 BD 上的动点，MN，求四边形 EMNF 周长的最小值1 35. 5. 如图，已知点 D，E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，BC6，点 F 是 AD边上的动点，则 BF+EF 的最小值为6. 6. 如图，在边长为 1 正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，3AEEB，有一只蚂蚁从 E 点出发，经过 F、G、H，最后回到 E 点，则蚂蚁所走的最小路程是7. 7. 如图，在ABC 中，ACBC，B30，点 E，F 是线段 AC 的三等分点，点 P 是线段 BC 上的动点，点 Q 是线段 AC 上的动点，若 AC3，则四边形 EPQF 周长的最小值是8. 8. 如图， 长为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动 C （0， 1） 、 D （0， 2） ， 则 AC+BD 的最小值是1 49. 9. 在矩形 ABCD 中，AB8，BC10，G 为 AD 边的中点如图，若E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF4，当四边形 CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为10.10. 如图，矩形ABCO 的边 OC 在 x 轴上，边OA 在 y 轴上，且点C 的坐标为（8，0） ，点A的坐标为（0，6） ，点 E、F 分别足 OC、BC 的中点，点 M，N 分别是线段 OA、AB 上的动点（不与端点重合） ，则当四边形 EFNM 的周长最小时，点 N 的坐标为11.11. 如图，在正方形 ABCD 中，AB8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC边上，且 BM6P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为1 512.12. 如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC16，B 到 MN 的距离 BD10，CD8，点 P 在直线 MN 上运动，则|PAPB|的最大值等于11.11. 如图ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 边的中点，P 是 BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点， 当 P、 Q 的位置在何处时， 才能使DPQ 的周长最小？并求出这个最值12.12. 如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC已知 AB5，DE1，BD8，设 CDx（1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长；（2）请问 AC+CE 的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式值为+的最小1 6中考数学几何模型中考数学几何模型 7 7：轴对称最值模轴对称最值模型型名师点睛名师点睛拨拨开云雾开云雾开门见山开门见山1 71 8AABPDBQC1 9典题探究典题探究启启迪思维迪思维探究重点探究重点2 0例题例题 1.1. 如图，在矩形ABCD 中，AB10，AD6，动点 P 满足 SPABS矩形ABCD，则点 P到 A，B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为2【解答】解：设ABP 中 AB 边上的高是 hSPABS矩形ABCD，ABhABAD，hAD4，动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点E，连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离在 RtABE 中，AB10，AE4+48，BE2，即 PA+PB 的最小值为 2故答案为：2变式练习变式练习 1如图 RtABC 和等腰ACD 以 AC 为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足 ADAB，过点D 作 DEAC 于点 F，DE 交 AB 于点 E，已知AB5，BC3，P 是射线 DE上的动点，当PBC 的周长取得最小值时，DP 的值为（）ABCD【解答】解：连接 PB、PC、PA，要使得PBC 的周长最小，只要 PB+PC 最小即可，PB+PCPA+PBAB，当 P 与 E 重合时，PA+PB 最小，ADCD，DEAC，2 1AFCF，ACB90，EFBC，AEBEAB2.5，EFBC1.5，ADAB，AEFDEA，DE故选：B例题例题 2.2. 如图所示，凸四边形ABCD 中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点 M、N 分别为边 CD，AD 上的动点，求BMN 的周长的最小值.【解答】解：作点 B 关于 CD、AD 的对称点分别为点 B和点 B，连接 BB交 DC 和 AD 于点 M 和点 N，DB，连接 MB、NB；再 DC 和 AD 上分别取一动点 M和 N（不同于点 M 和 N） ，连接 MB，MB，NB 和 NB，如图 1 所示：BBMB+MN+NB，BMBM，BNBN，BM+MN+BNBB，又BBBM+MN+NB，MBMB，NBNB，NB+NM+BMBM+MN+BN，C BMNNB+NM+BM 时周长最小；连接 DB，过点 B作 BHDB于 BD 的延长线于点 H，如图示 2 所示：在 RtABD 中，AD3，AB，2，230，530，DBDB，又ADC1+260，130，2 2730，DBDB，BDB1+2+5+7120，DBDBDB2，又BDB+6180，660，HD，HB3，在 RtBHB中，由勾股定理得：CBMNNB+NM+BM6，变式练习变式练习 2如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB40，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（）6A140B100C50【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O，根据轴对称的性质，可得MPP1M，PNP2N，则PMN 的周长的最小值P1P2，P1OP22AOB80，等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1100，MPNOPM+OPNOP1M+OP2N100，故选：B例题例题 3.3. 如图， 在ABC 中， C90， CBCA4， A 的平分线交 BC 于点 D， 若点 P、D402 3Q 分别是 AC 和 AD 上的动点，则 CQ+PQ 的最小值是2【解答】解：如图，作点P 关于直线 AD 的对称点 P，连接 CP交 AD 于点 Q，则CQ+PQCQ+PQCP根据对称的性质知APQAPQ，PAQPAQ又AD 是A 的平分线，点 P 在 AC 边上，点 Q 在直线 AD 上，PAQBAQ，PAQBAQ，点 P在边 AB 上当 CPAB 时，线段 CP最短在ABC 中，C90，CBCA4，AB4，且当点 P是斜边 AB 的中点时，CPAB，即 CQ+PQ 的最小值是 2此时 CPAB2故填：2变式练习变式练习 3如图，已知等边ABC 的面积为 4PR+QR 的最小值是（），P、Q、R 分别为边 AB、BC、AC 上的动点，则A3B2CD4【解答】解：如图，作ABC 关于 AC 对称的ACD，点 E 与点 Q 关于 AC 对称，连接ER，则 QRER，当点 E，R，P 在同一直线上，且 PEAB 时，PR+QR 的最小值是 PE 的长，设等边ABC 的边长为 x，则高为等边ABC 的面积为 4xx4，x，解得 x4，x2，等边ABC 的高为即 PE2，故选：B2 4例题例题 4.4.如图，MON30，A 在 OM 上，OA2，D 在 ON 上，OD4，C 是 OM 上任意一点，B 是ON 上任意一点，则折线 ABCD 的最短长度为2【解答】解：作 D 关于 OM 的对称点 D，作 A 作关于 ON 的对称点 A，连接 AD与 OM，ON的交点就是 C，B 二点此时 AB+BC+CDAB+BC+CDAD为最短距离连接 DD，AA，OA，ODOAOA，AOA60，OAAOAA60，ODD是等边三角形同理OAA也是等边三角形ODOD4，OAOA2，DOA90AD2变式练习变式练习 4. 如图，在长方形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，P 是 AB 上任意一点，Q 是 OC 上任意一点，已知：AC2，BC1（1）求折线 OPQB 的长的最小值；（2）当折线 OPQB 的长最小时，试确定Q 的位置【解答】解： （1）作点 B 关于 AC 的对称点 B，作点 O 关于 AB 的对称点 O，连接 AB，QB，AO，PO，BO，则 QBQB，OPOP，折线 OPQB 的长OP+PQ+QBOP+PQ+QB，折线 OPQB 的长的最小值BO在长方形 ABCD 中，ABC90，在ABC 中，AC2，BC1，ABC90，BAC30，点 B、B关于 AC 对称，点 O、O关于 AB 对称，BAC30，ABAB，OAB30，AOAO1，BAO90，BO，2 5折线 OPQB 的长的最小值2；（2）设 BO交 AC 于点 Q，在 RtAOB中，AO1，BO2，ABO30，则AOB60，在AOQ中，QAOQAB+BAO60，AOQ是等边三角形，AQAO1AO，点 Q就是 AC 的中点 O当折线 OPQB 的长最小时，点Q 在 AC 的中点例题例题 5.5. 如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC8，E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 上两个动点，且 PQ3，当 CQ时，四边形 APQE 的周长最小【解答】解：点 A 向右平移 3 个单位到 M，点 E 关于 BC 的对称点 F，连接 MF，交 BC于 Q，此时 MQ+EQ 最小，PQ3，DECE2，AE2，要使四边形 APQE 的周长最小，只要AP+EQ 最小就行，即 AP+EQMQ+EQ，过 M 作 MNBC 于 N，设 CQx，则 NQ83x5x，MNQFCQ，MNAB4，CFCE2，CQx，QN5x，解得：x，则 CQ故答案为：2 6变式练习变式练习 5如图，已知A（3，1）与 B（1，0） ，PQ 是直线 yx 上的一条动线段且 PQP 的下方） ，当 AP+PQ+QB 最小时，Q 点坐标为（）（Q 在A （，）B （，）C （0，0）D （1，1）【解答】解：作点 B 关于直线 yx 的对称点 B（0，1） ，过点 A 作直线 MN，使得 MN平行于直线 yx，并沿 MN 向下平移单位后得 A（2，0）连接 AB交直线 yx 于点 Q，如图理由如下：AAPQ，AAPQ四边形 APQA是平行四边形APAQAP+PQ+QBBQ+AQ+PQ 且 PQ当 AQ+BQ 值最小时，AP+PQ+QB 值最小根据两点之间线段最短，即A，Q，B三点共线时 AQ+BQ 值最小B（0，1） ，A（2，0）直线 AB的解析式 yx+1xx+1，即 xQ 点坐标（，）故选：A例题例题 6.6. 如图，点 E、F 是正方形 ABCD 的边 BC 上的两点（不与 B、C 两点重合） ，过点 B作 BGAE 于点 G，连接 FG、DF，若 AB2，求 DF+GF 的最小值为.【解答】解：取 AB 的中点 O，点 O、G 关于 BC 的对称点分别为 O、G，G 与 G关于 BC 对称，FGFG，FG+DFFG+DF，当 G（也就是 G）固定时，取 DG与 BC 的交点 F，此时能够使得 FG+FD 最小，2 7且此时 FG+DF 的最小值是 DG，现在再移动点 E（也就是移动 G） ，BGAE，AGB90，当点 E 在 BC 上运动时，点 G 随着运动的轨迹是以O 为圆心，OA 为半径的 90的圆弧，点 G随着运动的轨迹是以 O为圆心，OB 为半径的 90的圆弧当取 DO与交点为 G时，能够使得 DG达到最小值，11，且 DG的最小值DOOG即 DF+GF 的最小值为故选：A变式练习变式练习 16如图， 平面直角坐标系中， 分别以点 A（2，3） 、点 B（3，4）为圆心， 1、3 为半径作A、B， M， N 分别是A、 B 上的动点， P 为 x 轴上的动点， 则 PM+PN 的最小值为 （）A54B1C62D【解答】解：作A 关于 x 轴的对称A，连接 BA分别交A和B 于 M、N，交x 轴于 P，如图，则此时 PM+PN 最小，点 A 坐标（2，3） ，点 A坐标（2，3） ，点 B（3，4） ，AB5，4，MNABBNAM5315PM+PN 的最小值为 54故选：A2 8例题例题 7.7. 如图，AD 为等边ABC 的高，E、F 分别为线段 AD、AC 上的动点，且 AECF，当 BF+CE 取得最小值时，AFB（）A112.5B105C90D82.5【解答】解：如图，作 CHBC，且 CHBC，连接 BH 交 AD 于 M，连接 FH，ABC 是等边三角形，ADBC，ACBC，DAC30，ACCH，BCH90，ACB60，ACH906030，DACACH30，AECF，AECCFH，CEFH，BF+CEBF+FH，当 F 为 AC 与 BH 的交点时，如图 2，BF+CE 的值最小，此时FBC45，FCB60，AFB105，故选：B变式练习变式练习 7如图，等边 ABC 中，AD 为 BC 边上的高，点M、N 分别在 AD、AC 上，且AMCN，连 BM、BN，当 BM+BN 最小时，MBN30度【解答】解：如图 1 中，作 CHBC，使得 CHBC，连接 NH，BHABC 是等边三角形，ADBC，CHBC，DACDAB30，ADCH，HCNCADBAM30，AMCN，ABBCCH，ABMCHN（SAS） ，BMHN，BN+HNBH，2 9B，N，H 共线时，BM+BNNH+BN 的值最小，如图 2 中，当 B，N，H 共线时，ABMCHN，ABMCHBCBH45，ABD60，DBM15，MBN451530，当 BM+BN 的值最小时，MBN30，故答案为 30例题例题 8.8. （1）如图，RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D 是 AB 边上任意一点，则 CD 的最小值为（2）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 M、点N 分别在 BD、BC 上，求CM+MN的最小值（3）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是BC 边上的任意一点， 把BEF 沿 EF 翻折， 点 B 的对应点为 G， 连接 AG、 CG， 四边形 AGCD的面积是否存在最小值， 若存在， 求这个最小值及此时BF 的长度 若不存在， 请说明理由【解答】解： （1）如图，过点 C 作 CDAB 于 D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时 CD 最小，在 RtABC 中，AC3，BC4，根据勾股定理得，AB5，ACBCABCD，CD故答案为；，（2）如图，作出点 C 关于 BD 的对称点 E，过点 E 作 ENBC 于 N，交 BD 于 M，连接 CM，此时 CM+MNEN 最小；四边形 ABCD 是矩形，BCD90，CDAB3，根据勾股定理得，BD5，CEBC，BDCFBCCD，CF，由对称得，CE2CF，在 RtBCF 中，cosBCFsinBCF，3 0在 RtCEN 中，ENCEsinBCE即：CM+MN 的最小值为；（3）如图 3，四边形 ABCD 是矩形，CDAB3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5，AB3，AE2，点 F 在 BC 上的任何位置时，点G 始终在 AC 的下方，设点 G 到 AC 的距离为 h，S四边形AGCDSACD+SACGADCD+ACh43+5hh+6，要四边形 AGCD 的面积最小，即：h 最小，点 G 是以点 E 为圆心，BE1 为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，EGAC 时，h 最小，由折叠知EGFABC90，延长 EG 交 AC 于 H，则 EHAC，在 RtABC 中，sinBAC，在 RtAEH 中，AE2，sinBACEHAE，hEHEG1，S四边形AGCD最小h+6+6过点 F 作 FMAC 于 M，EHFG，EHAC，四边形 FGHM 是矩形，FMGH，FCMACB，CMFCBA90，CMFCBA，CF1BFBCCF4133 1达标检测达标检测领领悟提升悟提升强化落实强化落实1. 1. 如图，矩形 ABCD 中，AB5，AD10，点 E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G 为动点，若要使得AFCH，BEDG，则四边形EFGH 周长的最小值为（）A5B10C15D10【解答】 解： 作点 F 关于 CD 的对称点 F， 连接 FH 交 CD 于点 G， 此时四边形 EFGH周长取最小值，过点 H 作 HHAD 于点 H，如图所示AFCH，DFDF，HFAD10，HHAB5，FH5，C四边形EFGH2FH10故选：D2. 2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3） ，B（3，4）为圆心，以1、2 为半径作A、B，M、N 分别是A、B 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 PM+PN 的最小值等于3【解答】解：作A 关于 x 轴的对称A，连接 BA分别交A和B 于 M、N，交x 轴于 P，如图，则此时 PM+PN 最小，点 A 坐标（2，3） ，点 A坐标（2，3） ，3 2点 B（3，4） ，AB，3，MNABBNAM21PM+PN 的最小值为3故答案为33. 如图，已知直线 yx+4 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，C 的圆心坐标为 （2，0） ，半径为 2，若D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则ABE 面积的最小值和最大值分别是82和 8+2【解答】解：yx+4，当 x0 时，y4，当 y0 时，x4，OA4，OB4，ABE 的边 BE 上的高是 OA，ABE 的边 BE 上的高是 4，要使ABE 的面积最大或最小，只要BE 取最大值或最小值即可，过 A 作C 的两条切线，如图，当在 D 点时，BE 最小，即ABE 面积最小；当在 D点时，BE 最大，即ABE 面积最大；x 轴y 轴，OC 为半径，EE是C 切线，AD是C 切线，OEED，设 EOEDx，AC4+26，CD2，AD是切线，ADC90，由勾股定理得：AD4sinCAD，解得：x，BE4+，BE4，）482，ABE 的最小值是（43 3最大值是：（4+）48+2，故答案为：82和 8+24. 4. 正方形 ABCD，AB4，E 是 CD 中点，BF3CF，点 M，N 为线段 BD 上的动点，MN，求四边形 EMNF 周长的最小值+【解答】解：作点 E 关于 BD 的对称点 G，则点 G 在 AD 上，连接 GM，过G 作 BD 的平行线，截取GHMN，连接HN，则四边形GHNM 是平行四边形，HNGMEM，过 H 作 PQBC，交 AD 于 P，交 BC 于 Q，则HPGHQF90，PQAB4，PGHADB45，HPPG1，HQ413，由轴对称的性质，可得DGED2，AP4211，BQ1，又BF3CF，BC4，CF1，QF4112，当点 H、N、F 在同一直线上时，HN+NFHF（最短） ，此时 ME+NF 最短，RtHQF 中，FH即 ME+NF 最短为，又RtCEF 中，EFME+NF+MN+EF+，四边形 EMNF 周长的最小值为+故答案为：+5. 5. 如图，已知点 D，E 分别是等边三角形 ABC 中 BC，AB 边的中点，BC6，点 F 是 AD边上的动点，则 BF+EF 的最小值为33 4【解答】解：过C 作 CEAB 于 E，交AD 于 F，连接BF，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短） ，由于 C 和 B 关于 AD 对称，则 BF+EFCF，等边ABC 中，BDCD，ADBC，AD 是 BC 的垂直平分线（三线合一） ，C 和 B 关于直线 AD 对称，CFBF，即 BF+EFCF+EFCE，ADBC，CEAB，ADBCEB90，在ADB 和CEB 中，（AAS） ，CEAD，BC6，BD3，AD3，即 BF+EF3故答案为：36. 如图，在边长为 1 正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，3AEEB，有一只蚂蚁从 E 点出发，经过 F、G、H，最后回到 E 点，则蚂蚁所走的最小路程是，ADBCEB【解答】解：延长 DC 到 D，使 CDCD，G 对应位置为 G，则 FGFG，同样作 DACD，DADA，H 对应的位置为 H，则 GHGH，再作 ABDA，E 的对应位置为 E，3 5则 HEHE容易看出，当 E、F、G、H、E在一条直线上时路程最小，最小路程为 EE27. 7. 如图，在ABC 中，ACBC，B30，点 E，F 是线段 AC 的三等分点，点 P 是线段 BC 上的动点，点 Q 是线段 AC 上的动点，若 AC3，则四边形 EPQF 周长的最小值是8【解答】 解： 过 E 点作 E 点关于 BC 的对称点 E， 过 F 点作 F 点关于 AC 的对称点 F，在ABC 中，ACBC，B30，AC3，AB6，点 E，F 是线段 AC 的三等分点，EF2，EFAB6，四边形 EPQF 周长的最小值是 6+28故答案为：88. 8. 如图， 长为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动C （0， 1） 、 D （0， 2） ， 则 AC+BD 的最小值是3 6【解答】解：如图所示，以 AB，BD 为边构造平行四边形ABDE，作点 C 关于 x 轴的对称点 F，连接 AF，则 DEy 轴，OFOC1，四边形 ABDE 是平行四边形，BDAE，DEAB1，AB 垂直平分线 CF，ACAF，AC+BDAE+AF，如图，当点 E，A，F 在同一直线上时，AE+AFEF（最短） ，此时，RtDEF 中，DE1，DF2+13，EF，AC+BD 的最小值是故答案为：9. 在矩形 ABCD 中，AB8，BC10，G 为 AD 边的中点如图，若E、F 为边 AB 上的两个动点，且 EF4，当四边形 CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为【解答】解：E 为 AB 上的一个动点，如图，作G 关于 AB 的对称点 M，在CD 上截取 CH4，然后连接 HM 交 AB 于 E，接着在 EB 上截取 EF4，那么 E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小在矩形 ABCD 中，AB8，BC10，G 为边 AD 的中点，AGAM5，MD15，而 CH4，DH4，而 AECD，AEMDHM，3 7AE：HDMA：MD，AEAF4+故答案为：10.10. 如图，矩形ABCO 的边 OC 在 x 轴上，边OA 在 y 轴上，且点C 的坐标为（8，0） ，点A的坐标为（0，6） ，点 E、F 分别足 OC、BC 的中点，点 M，N 分别是线段 OA、AB 上的动点（不与端点重合） ，则当四边形EFNM 的周长最小时，点N 的坐标为（4，6），【解答】解：如图所示：作点F 关于 AB 的对称点 F，作点 E 关于 y 轴的对称点 E，连接 EF交 AB 与点 NC 的坐标为（8，0） ，点 A 的坐标为（0，6） ，点 E、F 分别足 OC、BC 的中点，OEOE4，FBCF3，EC12，CF9ABCE，FNBFEC，即，解得 BN4，AN4N（4，6） 故答案为： （4，6） 11.11. 如图，在正方形 ABCD 中，AB8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC边上，且 BM6P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为2【解答】解：如图所示，作以BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN，MN，根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN，3 8当 P，M，N三点共线时，取“” ，正方形边长为 8，ACAB，O 为 AC 中点，AOOC，N 为 OA 中点，ON，ONCN，AN，BM6，CMABBM862，PMABCD，CMN90，NCM45，NCM 为等腰直角三角形，CMMN2，即 PMPN 的最大值为 2，故答案为：212.12. 如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC16，B 到 MN 的距离 BD10，CD8，点 P 在直线 MN 上运动，则|PAPB|的最大值等于10【解答】解：延长 AB 交 MN 于点 P，PAPBAB，AB|PAPB|，当点 P 运动到 P点时，|PAPB|最大，BD10，CD8，AC16，过点 B 作 BEAC，则 BECD8，AEACBD16106，AB10，|PAPB|的最大值等于 10，故答案为：1011.11. 如图ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 边的中点，P 是 BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点， 当 P、 Q 的位置在何处时， 才能使DPQ 的周长最小？并求出这个最值3 9【解答】解：作 D 关于 BC、AC 的对称点 D、D，连接 DD，DQ，DPDQDQ，DPDP，DPQ 的周长为 PQ+DQ+DPPQ+DQ+DPDD，根据两点之间线段最短，DD的长即为三角形周长的最小值AB60，BEDAFD90，906030，DDD1803030120，D 为 AB 的中点，DFADcos301，AF，易得ADFQDF，QFAF，AQ1，BP1，Q、P 为 AC、BC 的中点DD同理，DD22，DDD为等腰三角形，30，3DDDD2DDcos30212. 如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC已知 AB5，DE1，BD8，设 CDx（1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长；（2）请问 AC+CE 的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式值为25+的最小【解答】解： （1）由线段的和差，得 BC（8x） 由勾股定理，得AC+CE+；（2）当 A、C、E 在同一直线上，AC+CE 最小；4 0当 A、C、E 在同一直线上时，延长 AB，作 EFAB 于点 F，AB5，DE1，AF6，ABD90，FBD90，BDEBFE90，四边形 BFED 是矩形，BDEF8，AE10；（3）如下图所示：作 BD24，过点B 作 ABBD，过点D 作 EDBD，使AB3，ED4，连接AE 交 BD于点 C，当 BCx，x+y24，y24x，AE 的长即为代数式的最小值，过点 A 作 AFBD 交 ED 的延长线于点 F，得矩形 ABDF，则 ABDF3，AFBD24，所以 AE即代数式故答案为：25+25，的最小值为 25，4 1