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第一节阶行列式的定义第一节阶行列式的定义第1页，本讲稿共30页第二章第二章 行行 列列 式式第2页，本讲稿共30页二阶行列式的定义1三阶行列式的定义 2排列及逆序数3n 阶行列式的定义4第一节 行列式的定义第3页，本讲稿共30页设二元线性方程组设二元线性方程组用消元法求解用消元法求解.(1)一、二阶行列式的定义第4页，本讲稿共30页方程组的解为方程组的解为由方程组的由方程组的四个系数四个系数确定确定.第5页，本讲稿共30页 由四个数排成两行两列（由四个数排成两行两列（横排称行、竖排称横排称行、竖排称列列）并定义为）并定义为记为记为的式子的式子叫做叫做二阶行列式二阶行列式.第6页，本讲稿共30页主对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算第7页，本讲稿共30页类似地，类似地，(2)式的分子也可写成二阶行列式：式的分子也可写成二阶行列式：那么那么(2)式可写成式可写成第8页，本讲稿共30页三元线性方程组的解问题类似得到：当系数行列式类似得到：当系数行列式D不等于不等于0 0时，解是唯一的时，解是唯一的.第9页，本讲稿共30页并称它为并称它为三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.记记为为：行标定义定义定义定义1 1 二、三阶行列式的定义列标第10页，本讲稿共30页三阶行列式的计算方法三阶行列式的计算方法对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则列的三个元素的乘积再冠以正负号列的三个元素的乘积再冠以正负号.三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项,每一项均为位于不同行、不同每一项均为位于不同行、不同第11页，本讲稿共30页沙路法沙路法沙路法沙路法(或沙流氏规则）或沙流氏规则）或沙流氏规则）或沙流氏规则）：注意注意注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号素的乘积冠以负号第12页，本讲稿共30页例例例例计算三阶行列式计算三阶行列式第13页，本讲稿共30页一个n元线性方程组问题：问题：问题：问题：1、D？（？（n阶行列式如何求？）阶行列式如何求？）、D不等于不等于0 0时，解是唯一的？时，解是唯一的？3、解的表达式为？第14页，本讲稿共30页由组成的一个有序数组称为一个一个n阶排列阶排列.所有排列的种数，通常用由组成的表示表示.显然是其中的一个排列，自然顺序，就是按从小到大的顺序排起来的；其它自然顺序，就是按从小到大的顺序排起来的；其它定义定义定义定义2 2这个排列具有这个排列具有的排列都或多或少地破坏了自然顺序的排列都或多或少地破坏了自然顺序.列标三、排列及逆序数第15页，本讲稿共30页在一个排列中，如果一个大数排在一在一个排列中，如果一个大数排在一n阶阶排列排列的逆序数的逆序数.简记为简记为列中，逆序的总数称为这个排列的列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数逆序数逆序数.个小数之前，就称这两个数构成一个逆序个小数之前，就称这两个数构成一个逆序.记为记为定义定义定义定义3 3一个排一个排计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法:分别计算出排列中每个元素后面比它小的（或前分别计算出排列中每个元素后面比它小的（或前面比它大的）数码个数之和，这每个元素的逆序数面比它大的）数码个数之和，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.第16页，本讲稿共30页逆序数为奇数的逆序数为奇数的n阶排列称为阶排列称为奇排列奇排列.逆序数为偶数的逆序数为偶数的n阶排列称为阶排列称为偶排列偶排列;在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，叫做叫做对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换定义定义定义定义 4 4第17页，本讲稿共30页对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性证明证明设排列为设排列为对换 与当 时，的逆序数增加1;经对换后 的逆序数不变,经对换后 的逆序数减少1，的逆序数不变.当 时，显然这些元素的逆序数经过对换并不改变，并不改变，先证相邻对换的情形：先证相邻对换的情形：两个元素的逆序数将改变为：而定理定理定理定理1 1 1 1第18页，本讲稿共30页次相邻对换次相邻对换次相邻对换再证一般对换的情形：再证一般对换的情形：设排列为设排列为因此对换相邻两个元素，排列的奇偶性相反因此对换相邻两个元素，排列的奇偶性相反.第19页，本讲稿共30页奇排列调成标准排列的对换次数为奇数；奇排列调成标准排列的对换次数为奇数；对换对换对换对换一个排列中的任意两个元素，其奇偶性一个排列中的任意两个元素，其奇偶性一个排列中的任意两个元素，其奇偶性一个排列中的任意两个元素，其奇偶性改变改变改变改变.偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.推论推论推论推论2 2 2 2n 阶排列中，奇偶排列各占一半阶排列中，奇偶排列各占一半.推论推论推论推论1 1 1 1第20页，本讲稿共30页个数,称称为阶行列式，它表示数值为其中的一个排列，为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数.(3)定义定义定义定义5 5(3)式简记为四、n阶行列式的定义第21页，本讲稿共30页注意注意(1)(1)行列式是一个算式行列式是一个算式；第22页，本讲稿共30页1.1.三角行列式三角行列式（1）下三角行列式下三角行列式下三角行列式下三角行列式一些特殊的行列式一些特殊的行列式第23页，本讲稿共30页例例例例第24页，本讲稿共30页（2）上三角行列式上三角行列式上三角行列式上三角行列式第25页，本讲稿共30页（3）次三角行列式次三角行列式次三角行列式次三角行列式第26页，本讲稿共30页第27页，本讲稿共30页2.对角（次对角）行列式对角（次对角）行列式对角（次对角）行列式对角（次对角）行列式第28页，本讲稿共30页1.已知思考与练习第29页，本讲稿共30页解解解解含 的项有两项,即对应于对应于第30页，本讲稿共30页
