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振动分析基础课件第1页，共122页，编辑于2022年，星期六 引引 言言 振动振动振动振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动往复运动往复运动往复运动。物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的物理学中研究质点的物理学中研究质点的物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。构件和工程结构的振动。构件和工程结构的振动。构件和工程结构的振动。振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题已知主动力求运已知主动力求运已知主动力求运已知主动力求运动。动。动。动。第2页，共122页，编辑于2022年，星期六 振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动与分析其他动力学问题相类似：力学问题相类似：选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；分析运动；分析运动；分析运动；分析运动；分析受力；分析受力；分析受力；分析受力；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。积分常数。积分常数。积分常数。第3页，共122页，编辑于2022年，星期六 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同与分析其他动力学问题不同与分析其他动力学问题不同与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，的是：一般情形下，的是：一般情形下，的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的都选择平衡位置作为广义坐标的都选择平衡位置作为广义坐标的都选择平衡位置作为广义坐标的原点。原点。原点。原点。研究振动问题所用的动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的 动量定理；动量定理；动量定理；动量定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动能定理；动能定理；动能定理；动能定理；达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。分析动力学基础中的分析动力学基础中的分析动力学基础中的分析动力学基础中的 拉格朗日方程。拉格朗日方程。拉格朗日方程。拉格朗日方程。第4页，共122页，编辑于2022年，星期六 按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：振动问题的分类振动问题的分类 自由振动自由振动自由振动自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。参激振动参激振动参激振动参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。自激振动自激振动自激振动自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。励下发生的振动。励下发生的振动。励下发生的振动。受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。第5页，共122页，编辑于2022年，星期六 按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：线性振动线性振动线性振动线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。非非非非线性振动线性振动线性振动线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：单自由度单自由度单自由度单自由度振动振动振动振动一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。多自由度多自由度多自由度多自由度振动振动振动振动两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。连续系统连续系统连续系统连续系统振动振动振动振动连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。自由度。自由度。自由度。第6页，共122页，编辑于2022年，星期六 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 自由度数自由度数:完全确定系统运动所需的独立坐标完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。数目称为自由度数。刚体在空间有刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；个方向的转动，如飞机、轮船；质点在空间有质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；尔夫球；质点在平面有质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。约束则成为单自由度。第7页，共122页，编辑于2022年，星期六19-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动l l0 0m mk kk kx xO Ox xl l0 0st stF FWW1.1.自由振动微分方程自由振动微分方程自由振动微分方程自由振动微分方程l l0 0弹簧原长；弹簧原长；弹簧原长；弹簧原长；k k弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；st st弹簧的静变形；弹簧的静变形；弹簧的静变形；弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，x x 向下为正，则有：向下为正，则有：向下为正，则有：向下为正，则有：单自由度无阻尼自由振动方程单自由度无阻尼自由振动方程第8页，共122页，编辑于2022年，星期六 A A振幅；振幅；振幅；振幅；n n固有频率；固有频率；固有频率；固有频率；（n n+）相位；相位；相位；相位；初相位。初相位。初相位。初相位。第9页，共122页，编辑于2022年，星期六系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系行振动的方式都毫无关系 不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。单自由度无阻尼自由振动单自由度无阻尼自由振动第10页，共122页，编辑于2022年，星期六 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程物理学基础的扩展物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式第11页，共122页，编辑于2022年，星期六第12页，共122页，编辑于2022年，星期六例例例例 题题题题 1 1m mv v 提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截面积面积面积面积A A2.892.8910104 4mm2 2，材料的弹性，材料的弹性，材料的弹性，材料的弹性模量模量模量模量E E200GPa200GPa。重物的质量重物的质量重物的质量重物的质量m m6 6000kg000kg，以匀速，以匀速，以匀速，以匀速 v v 0.25m/s 0.25m/s 下降。下降。下降。下降。当重物下降到当重物下降到当重物下降到当重物下降到 l l 25m25m 时，钢丝绳时，钢丝绳时，钢丝绳时，钢丝绳上端突然被卡住。上端突然被卡住。上端突然被卡住。上端突然被卡住。l l求求求求：（：（：（：（1 1）重物的振动规律；重物的振动规律；重物的振动规律；重物的振动规律；（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。解解解解：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统物块系统物块系统物块系统,弹簧的刚度为弹簧的刚度为弹簧的刚度为弹簧的刚度为第13页，共122页，编辑于2022年，星期六m mk k静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置O Ox x 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t t0 0，这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移x x作为作为作为作为广义坐标，则系统的振动方程为广义坐标，则系统的振动方程为广义坐标，则系统的振动方程为广义坐标，则系统的振动方程为方程的解为方程的解为方程的解为方程的解为利用初始条件利用初始条件利用初始条件利用初始条件求得求得求得求得第14页，共122页，编辑于2022年，星期六m mk k静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置O Ox xm mx xWWF FT T（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象取重物为研究对象取重物为研究对象取重物为研究对象绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和动张力之和 ：动张力几乎是静张力的一半 动张力表达式：为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 分析2 第15页，共122页，编辑于2022年，星期六l l固定端固定端固定端固定端 均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为 l l,弯曲刚度为弯曲刚度为弯曲刚度为弯曲刚度为EIEI。梁的自由端放置。梁的自由端放置。梁的自由端放置。梁的自由端放置一质量为一质量为一质量为一质量为m m的物块。若不计梁的的物块。若不计梁的的物块。若不计梁的的物块。若不计梁的质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运动微分方程。动微分方程。动微分方程。动微分方程。例例例例 题题题题 2 2m mEIEIl l固定端固定端固定端固定端y yst stO Oy y 考察梁和物块所组成的考察梁和物块所组成的考察梁和物块所组成的考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的系统。以物块铅垂方向的系统。以物块铅垂方向的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标位移作为广义坐标位移作为广义坐标位移作为广义坐标 q=yq=y,坐坐坐坐标原点标原点标原点标原点O O设在梁变形后的设在梁变形后的设在梁变形后的设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用y yst st表表表表示。示。示。示。第16页，共122页，编辑于2022年，星期六 分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置(坐标为坐标为坐标为坐标为y y)时，物块的受力：时，物块的受力：时，物块的受力：时，物块的受力：应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律WW=m=mg gF F 分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置(坐标坐标坐标坐标为为为为y y)时，梁的自由端位移与力之间时，梁的自由端位移与力之间时，梁的自由端位移与力之间时，梁的自由端位移与力之间的关系的关系的关系的关系EIEIl l固定端固定端固定端固定端FFy yy yst stm mEIEIl l固定端固定端固定端固定端O Oy y第17页，共122页，编辑于2022年，星期六此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程第18页，共122页，编辑于2022年，星期六例：例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EI求：求：梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度mh0l/2l/2例例例例 题题题题 3 3第19页，共122页，编辑于2022年，星期六解：解：由材料力学由材料力学：自由振动频率为自由振动频率为：取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系坐标系静变形静变形mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置第20页，共122页，编辑于2022年，星期六撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有：则自由振动振幅为则自由振动振幅为：梁的最大扰度：梁的最大扰度：mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置第21页，共122页，编辑于2022年，星期六例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置作为角位移的起点位置扭振固有频率扭振固有频率为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：例例例例 题题题题 4 4第22页，共122页，编辑于2022年，星期六由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振动直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置第23页，共122页，编辑于2022年，星期六从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元惯性元件件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。固有频率增大。第24页，共122页，编辑于2022年，星期六串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度k k1 1k k2 2m mg gk k1 1m mg gk k2 21.1.串串串串 联联联联第25页，共122页，编辑于2022年，星期六k k1 1k k2 2m mk k1 1k k2 2m mm mg gF F1 1F F2 22.2.并并并并 联联联联第26页，共122页，编辑于2022年，星期六k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1m m 图示系统中有四根铅直弹簧，它图示系统中有四根铅直弹簧，它图示系统中有四根铅直弹簧，它图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为 k k1 1、k k2 2 、k k3 3 、k k4 4 且且且且k k1 1=2=2 k k2 2 =3=3 k k3 3=4=4 k k4 4。假设质量为的物。假设质量为的物。假设质量为的物。假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。例例 题题 5试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。解解解解：（：（：（：（1 1）计算）计算）计算）计算3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度（2 2）计算）计算）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度第27页，共122页，编辑于2022年，星期六k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1m m解解解解：（：（：（：（1 1）计算）计算）计算）计算3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度（2 2）计算）计算）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度（3 3）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度（4 4）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率第28页，共122页，编辑于2022年，星期六？1m mk kO O在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点O O 固定后，固定后，固定后，固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比值为值为值为值为 。k kk km ml l 在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为频率为频率为频率为 n0n0，现将物块改移至距上端处，则，现将物块改移至距上端处，则，现将物块改移至距上端处，则，现将物块改移至距上端处，则其固有频率其固有频率其固有频率其固有频率=n0 n0。？2第29页，共122页，编辑于2022年，星期六m mk ka al l例例 题题 6 图示结构中，杆在水平位置图示结构中，杆在水平位置图示结构中，杆在水平位置图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若处于平衡，若处于平衡，若处于平衡，若k k、m m、a a、l l 等均等均等均等均为已知。为已知。为已知。为已知。求：求：求：求：系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率m mg gF F解：解：解：解：取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得由动量矩定理，得由动量矩定理，得由动量矩定理，得在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有第30页，共122页，编辑于2022年，星期六m mk ka al lm mg gF F在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项置上，方程中就不会出现重力项置上，方程中就不会出现重力项置上，方程中就不会出现重力项 。第31页，共122页，编辑于2022年，星期六l能量法能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。频率。无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势能和势能 V 之之和保持不变和保持不变，即：，即：或：或：固有频率计算固有频率计算第32页，共122页，编辑于2022年，星期六2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法m mk k静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置O Ox x物块的动能为物块的动能为物块的动能为物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有第33页，共122页，编辑于2022年，星期六物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒第34页，共122页，编辑于2022年，星期六m mk ka al l 解：解：解：解：设设设设OAOA杆作自由振动时，杆作自由振动时，杆作自由振动时，杆作自由振动时，其摆角其摆角其摆角其摆角 的变化规律为的变化规律为的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大势能为系统的最大势能为系统的最大势能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有例例 题题 7由能量法解由能量法解 例题例题6第35页，共122页，编辑于2022年，星期六例例 题题 8 半径为半径为半径为半径为r r、质量为、质量为、质量为、质量为 m m的均质的均质的均质的均质圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为 R R 的刚性的刚性的刚性的刚性圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动 。求：求：求：求：1 1、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；2 2、微振动固有频率。、微振动固有频率。、微振动固有频率。、微振动固有频率。RCO第36页，共122页，编辑于2022年，星期六RCO 解：解：解：解：取摆角取摆角取摆角取摆角 为广义坐标为广义坐标为广义坐标为广义坐标由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：系统的动能系统的动能系统的动能系统的动能系统的势能系统的势能系统的势能系统的势能拉氏函数为拉氏函数为拉氏函数为拉氏函数为第37页，共122页，编辑于2022年，星期六RCO 第38页，共122页，编辑于2022年，星期六RCO 第39页，共122页，编辑于2022年，星期六RCO例例 题题 9由能量法求固有频率由能量法求固有频率由能量法求固有频率由能量法求固有频率 解：解：解：解：设摆角设摆角设摆角设摆角 的变化规律为的变化规律为的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为第40页，共122页，编辑于2022年，星期六RCO 由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有第41页，共122页，编辑于2022年，星期六例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 求求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率lmak/2k/2第42页，共122页，编辑于2022年，星期六解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能势能势能平衡位置平衡位置1零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2第43页，共122页，编辑于2022年，星期六解法解法2：平衡位置平衡位置2动能动能势能势能零平衡位置零平衡位置2lmak/2k/2第44页，共122页，编辑于2022年，星期六例：均质圆柱例：均质圆柱质量质量m，半径，半径R与地面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB第45页，共122页，编辑于2022年，星期六解：解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，由柯希尼圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：定理，动能：C点为运动瞬心点为运动瞬心势能：势能：CA点速度：点速度：B点速度：点速度：第46页，共122页，编辑于2022年，星期六解：解：k1abRk1k2k2AB动能：动能：势能：势能：C第47页，共122页，编辑于2022年，星期六l瑞利法利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。率明显偏高。mkx0第48页，共122页，编辑于2022年，星期六例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能:系统最大动能：系统最大动能：系统最大势能：系统最大势能：若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0第49页，共122页，编辑于2022年，星期六第50页，共122页，编辑于2022年，星期六教学内容l l无阻尼自由振动l l能量法l l瑞利法l l等效质量和等效刚度l l阻尼自由振动l l等效粘性阻尼单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动第51页，共122页，编辑于2022年，星期六拉格朗日方程拉格朗日方程 本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基础。对动力学问题的出发点，因此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。第52页，共122页，编辑于2022年，星期六达朗伯原理达朗伯原理 设由设由n个质点组成的质点系，在质点系运动的任一瞬时，任一质点个质点组成的质点系，在质点系运动的任一瞬时，任一质点 上作用的主动力上作用的主动力 ，约束反力，约束反力 及其惯性力及其惯性力 三者构成形式上的平衡力系三者构成形式上的平衡力系第53页，共122页，编辑于2022年，星期六第54页，共122页，编辑于2022年，星期六第55页，共122页，编辑于2022年，星期六第56页，共122页，编辑于2022年，星期六第57页，共122页，编辑于2022年，星期六 （4）对拉格朗日方程的评价）对拉格朗日方程的评价 拉氏方程的特点（优点）：拉氏方程的特点（优点）：是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。单。拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。其他物理学分支相联系的桥梁。拉氏方程的价值拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。第58页，共122页，编辑于2022年，星期六l等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：当当 、分别取最大值时：分别取最大值时：则可得出：则可得出：Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等分别相等 第59页，共122页，编辑于2022年，星期六等效质量：等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量效质量 第60页，共122页，编辑于2022年，星期六动能动能势能势能零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2第61页，共122页，编辑于2022年，星期六k1abRk1k2k2AB动能动能势能势能第62页，共122页，编辑于2022年，星期六l阻尼自由振动前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学模型是最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼粘性阻尼。在流体中低速运动或。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系C C粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数第63页，共122页，编辑于2022年，星期六2.2.振动微分方程振动微分方程振动微分方程振动微分方程m mk km mc cO Ox xF F Fk kkF F Fc ccv v取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。根据牛顿定律，物块的运动微分方程为根据牛顿定律，物块的运动微分方程为根据牛顿定律，物块的运动微分方程为根据牛顿定律，物块的运动微分方程为固有频率固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数相对阻尼系数相对阻尼系数第64页，共122页，编辑于2022年，星期六本征方程本征方程本征方程本征方程本征值本征值本征值本征值本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为其通解为其通解为其通解为其通解为第65页，共122页，编辑于2022年，星期六3.3.小阻尼情形小阻尼情形小阻尼情形小阻尼情形 当当当当 n n 11)情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼(1 1)情形情形情形情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减衰减衰减衰减11x xO Ot t非周期蠕动，没有振动发生非周期蠕动，没有振动发生 临界阻尼系数临界阻尼系数第70页，共122页，编辑于2022年，星期六tx(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运