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第7章曲线和曲面本讲稿第一页，共四十二页6-1 曲线 一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类 曲线可以看作是由以下三种方式形成的：曲线可以看作是由以下三种方式形成的：1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。不断改变方向的点连续运动的轨迹。2.曲面立体表面的交线。曲面立体表面的交线。3.直线族或曲线族的包络。直线族或曲线族的包络。点的运动轨迹点的运动轨迹曲表面的交线曲表面的交线包络曲线包络曲线本讲稿第二页，共四十二页 曲线的分类：曲线的分类：可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面等高线是不规则曲线；等高线是不规则曲线；又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面上的曲线叫空间曲线。圆上的曲线叫空间曲线。圆柱螺旋线就是空间曲线的柱螺旋线就是空间曲线的例子。例子。本讲稿第三页，共四十二页 二、曲线的投影二、曲线的投影 画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。曲线的投影性质：曲线的投影性质：曲线的投影性质：曲线的投影性质：1.1.1.1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线；化成直线；化成直线；化成直线；本讲稿第四页，共四十二页 2.2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投影仍为切点；切点的投影仍为切点；切点的投影仍为切点；切点的投影仍为切点；3.3.3.3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。本讲稿第五页，共四十二页 平面曲线的投影，其形状视平面曲线的投影，其形状视平面曲线的投影，其形状视平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定，平面与投影面的倾斜状态而定，平面与投影面的倾斜状态而定，平面与投影面的倾斜状态而定，当平面平行于投影面时，曲线的当平面平行于投影面时，曲线的当平面平行于投影面时，曲线的当平面平行于投影面时，曲线的投影反映曲线的实形；当平面垂投影反映曲线的实形；当平面垂投影反映曲线的实形；当平面垂投影反映曲线的实形；当平面垂直于投影面时，曲线的投影退化直于投影面时，曲线的投影退化直于投影面时，曲线的投影退化直于投影面时，曲线的投影退化为直线；当平面倾斜于投影面时，为直线；当平面倾斜于投影面时，为直线；当平面倾斜于投影面时，为直线；当平面倾斜于投影面时，曲线的投影为变了形的曲线。曲线的投影为变了形的曲线。曲线的投影为变了形的曲线。曲线的投影为变了形的曲线。反映实形反映实形退化成直线退化成直线变了形的曲线变了形的曲线本讲稿第六页，共四十二页（1 1）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；）当圆平面平行于投影面时，其投影反映其实形圆；（2 2）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；）当圆平面垂直于投影面时，其投影积聚为一直线；返回返回返回返回圆及其投影特性圆及其投影特性本讲稿第七页，共四十二页OoABCDbadc返回返回返回返回（3 3）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影）当圆平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆，且投影 椭椭圆的长轴为过圆心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴圆的长轴为过圆心的一条投影面平行线，而投影椭圆的短轴为过圆心的一条最大倾斜线。为过圆心的一条最大倾斜线。本讲稿第八页，共四十二页ababcddcoo返回返回返回返回【例题】在四边形平面上，以【例题】在四边形平面上，以O O为圆心，半径为圆心，半径R=30R=30，作圆的，作圆的两面投影。两面投影。本讲稿第九页，共四十二页6-2 曲面概述 一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类一、曲面的形成和分类 曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线母线母线母线，曲面，曲面，曲面，曲面上任意位置的母线称为上任意位置的母线称为上任意位置的母线称为上任意位置的母线称为素线素线素线素线。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面，称为。控制母线运动的线或面，称为导线导线导线导线或或或或导面导面导面导面。本讲稿第十页，共四十二页 由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。本讲稿第十一页，共四十二页 根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。母线旋转生成的叫旋转曲线面。本讲稿第十二页，共四十二页 二、曲面的投影二、曲面的投影 平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线外形轮廓线外形轮廓线外形轮廓线，简称，简称，简称，简称外形线外形线外形线外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若干条素线。有时还需同时画出曲面上若干条素线。有时还需同时画出曲面上若干条素线。有时还需同时画出曲面上若干条素线。本讲稿第十三页，共四十二页 外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的分界线。本讲稿第十四页，共四十二页 三、曲面上点的投影三、曲面上点的投影 曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。曲面上点的投影在曲面的同面投影上。这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的投影称为素线法素线法素线法素线法。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这种方法求点的投影称为纬圆法纬圆法纬圆法纬圆法。本讲稿第十五页，共四十二页返回返回返回返回1 1、圆柱体的投影圆柱体的投影本讲稿第十六页，共四十二页12341(3)2(4)a(a)a1234在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。返回返回返回返回圆柱体表面上的线和点圆柱体表面上的线和点本讲稿第十七页，共四十二页返回返回返回返回2 2、圆锥体的投影、圆锥体的投影本讲稿第十八页，共四十二页aaa返回返回返回返回用素线法在锥面上定点用素线法在锥面上定点本讲稿第十九页，共四十二页aaa返回返回返回返回用纬圆法在锥面上定点用纬圆法在锥面上定点本讲稿第二十页，共四十二页返回返回返回返回abcabc(a)(b)c112323321圆锥体表面上的线和点圆锥体表面上的线和点本讲稿第二十一页，共四十二页返回返回返回返回3 3、圆台的投影、圆台的投影本讲稿第二十二页，共四十二页返回返回返回返回4 4、圆球体的投影、圆球体的投影本讲稿第二十三页，共四十二页m(m)mabc(a)(b)(c)ab(c)返回返回返回返回圆球面上的线和点圆球面上的线和点nnnnnnnnn n n n本讲稿第二十四页，共四十二页返回返回返回返回5 5、圆环体、圆环体本讲稿第二十五页，共四十二页(a)a(a)返回返回返回返回环面上的线和点环面上的线和点本讲稿第二十六页，共四十二页返回返回返回返回6 6、单单叶叶双双曲曲回回转转面面本讲稿第二十七页，共四十二页返回返回返回返回1 1、柱、柱 面面2 2、锥、锥 面面3 3、双曲抛物面、双曲抛物面4 4、柱、柱 状状 面面5 5、锥、锥 状状 面面 常用的非回转直纹面常用的非回转直纹面本讲稿第二十八页，共四十二页 直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，称为柱面。称为柱面。称为柱面。称为柱面。椭圆柱斜圆柱曲导线L1直导线L2母线返回返回返回返回1 1、柱、柱 面面本讲稿第二十九页，共四十二页 直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动后所形成的直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动后所形成的曲面称为锥面。曲面称为锥面。椭圆锥斜圆锥曲导线母线导点返回返回返回返回2 2、锥、锥 面面本讲稿第三十页，共四十二页 直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动后直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动后直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动后直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。VHADBCbacd返回返回返回返回3 3、双曲抛物面、双曲抛物面本讲稿第三十一页，共四十二页返回返回返回返回双双 曲曲 抛抛 物物 面面 的的 画画 法法本讲稿第三十二页，共四十二页 直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动所形直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动所形直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动所形直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为柱状面。成的曲面称为柱状面。成的曲面称为柱状面。成的曲面称为柱状面。柱柱 状状 面面 的的 画画 法法返回返回返回返回4 4、柱、柱 状状 面面本讲稿第三十三页，共四十二页 直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为锥状面。导平面运动所形成的曲面称为锥状面。导平面运动所形成的曲面称为锥状面。导平面运动所形成的曲面称为锥状面。锥锥 状状 面面 的的 画画 法法返回返回返回返回5 5、锥、锥 状状 面面本讲稿第三十四页，共四十二页 一动点沿一动点沿着圆柱面的直着圆柱面的直母线作等速移母线作等速移动，同时又绕动，同时又绕圆柱面的轴线圆柱面的轴线作等速旋转的作等速旋转的合运动轨迹，合运动轨迹，称为圆柱螺旋称为圆柱螺旋线。线。圆圆柱柱螺螺旋旋线线的的画画法法1 1、圆柱螺旋线、圆柱螺旋线返回返回返回返回 圆柱螺旋线和平螺旋面圆柱螺旋线和平螺旋面本讲稿第三十五页，共四十二页平平 螺螺 旋旋 面面 的的 画画 法法 直母线直母线沿着圆柱螺沿着圆柱螺旋线和其轴旋线和其轴线且平行于线且平行于与轴线垂直与轴线垂直的导平面运的导平面运动所形成的动所形成的曲面称为平曲面称为平螺旋面。平螺旋面。平螺旋面属于螺旋面属于锥状面的一锥状面的一种。种。返回返回返回返回2 2 2 2、平螺旋面、平螺旋面、平螺旋面、平螺旋面本讲稿第三十六页，共四十二页返回返回返回返回中中空空的的平平螺螺旋旋面面画画法法本讲稿第三十七页，共四十二页返回返回返回返回螺螺 旋旋 扶扶 手手 的的 画画 法法本讲稿第三十八页，共四十二页返回返回返回返回本讲稿第三十九页，共四十二页返回返回返回返回螺螺 旋旋 楼楼 梯梯本讲稿第四十页，共四十二页返回返回返回返回螺螺 旋旋 楼楼 梯梯 的的 画画 法法本讲稿第四十一页，共四十二页返回返回返回返回本讲稿第四十二页，共四十二页