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第一型曲线积分补充本讲稿第一页，共十三页第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 本讲稿第二页，共十三页二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分本讲稿第三页，共十三页说明说明:因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.本讲稿第四页，共十三页如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则本讲稿第五页，共十三页例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)本讲稿第六页，共十三页例例2.计算半径为 R,中心角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度=1).解解:建立坐标系如图,则 本讲稿第七页，共十三页例例3.计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得本讲稿第八页，共十三页例例5.计算其中 为球面 被平面 所截的圆周.解解:由对称性可知本讲稿第九页，共十三页例例6.计算其中 为球面解解:化为参数方程 则本讲稿第十页，共十三页内容小结内容小结1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧 的长度)本讲稿第十一页，共十三页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧本讲稿第十二页，共十三页补充补充1.已知椭圆周长为a,求提示提示:原式=利用对称性分析分析:本讲稿第十三页，共十三页