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第3讲差分方程建模基础对外经济贸易大学 应用 数学系1本讲稿第一页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系2一一 差分方程概念与举例差分方程概念与举例1 差分差分概念：设函数概念：设函数 ，当自变量，当自变量 依次取依次取遍非负整数时，相应的函数值排成一列遍非负整数时，相应的函数值排成一列将之简记为将之简记为称称 为函数点的差分，记做即为函数点的差分，记做即 一阶差分的差分叫做一阶差分的差分叫做二阶差分二阶差分，即，即类似可以定义高阶差分，类似可以定义高阶差分，阶差分阶差分为为本讲稿第二页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系3.差分方程的解差分方程的解含有未知函数的差分或未知函数几个不同时期值含有未知函数的差分或未知函数几个不同时期值的方程称为差分方程出现在差分方程中未知函数下标，的方程称为差分方程出现在差分方程中未知函数下标，的最大差，称为差分方程的阶如下方程都是二阶方程的最大差，称为差分方程的阶如下方程都是二阶方程.差分方程差分方程如果一个函数代如差分方程，使方程两边恒等，则称此函数为如果一个函数代如差分方程，使方程两边恒等，则称此函数为差分方程的解若在差分方程的解若在差分方程的解中，含有相互独立的差分方程的解中，含有相互独立的任意常数的个数与该方程的阶数相同，则称这个解为任意常数的个数与该方程的阶数相同，则称这个解为差分方程的通解差分方程的通解本讲稿第三页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系4例例1汉诺塔问题汉诺塔问题:n个大小不同的圆盘依其半径大小套在桩个大小不同的圆盘依其半径大小套在桩A上上,大的在下大的在下,小的在上小的在上.现要将其现要将其n个盘移动到空桩个盘移动到空桩B或或C上上,但但要求依次只能移动一个盘且移动过程中要求依次只能移动一个盘且移动过程中,始终保持大盘在下始终保持大盘在下,小盘在上小盘在上.移动过程中桩移动过程中桩A也可以利用也可以利用.设移动设移动n个盘的次数为个盘的次数为 ,试建立关于试建立关于 的差分方程的差分方程.ABC解解 先将先将A上的上的n-1个盘按题设要求移到个盘按题设要求移到C上上,这需要移动这需要移动 次次,再再A盘上最大盘移动到盘上最大盘移动到B上上,这需要移动一次这需要移动一次,最后将最后将C盘上的盘上的n-1个个盘按要求移动到盘按要求移动到B上上,这需要移动这需要移动 次次,于是得差分方程于是得差分方程 差分方程举例差分方程举例本讲稿第四页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系5例例2裴波那契（裴波那契（Fibonacci)数列数列设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两个月后为成兔，同时第三个月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有 对兔子，拭建立关于 的差分方程。解因第月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，由题设知，当月生的的小兔等于前月末的兔数，所以称为裴波那契（称为裴波那契（Fibonacci)数列数列本讲稿第五页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系6(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性差分方程差分方程的平衡点的平衡点本讲稿第六页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系7问问 题题供大于求供大于求现现象象 商品数量与价格的振荡在商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么当不稳定时政府能采取什么干预手段干预手段使之稳定使之稳定?价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求 描述商品数量与价格的描述商品数量与价格的变化规律变化规律.商品商品数量数量与与价格价格在振荡在振荡二二:市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型本讲稿第七页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系8gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 供应函数供应函数蛛蛛 网网 模模 型型本讲稿第八页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系9设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 xy0fgy0 x0P0本讲稿第九页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系10在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致本讲稿第十页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系11 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.经济稳定经济稳定结果解释结果解释本讲稿第十一页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系12经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直本讲稿第十二页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系13 生产者根据当前时段和前一时段生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量的价格决定下一时段的产量.生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件模型的推广模型的推广本讲稿第十三页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系14方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 平衡点稳定，即平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件:平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了!模型的推广模型的推广生产者管理水平和素质的提高对市场的稳定有利影响的必然结果生产者管理水平和素质的提高对市场的稳定有利影响的必然结果本讲稿第十四页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系15背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起.饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加.代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.三减肥计划三减肥计划节食与运动节食与运动本讲稿第十五页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系161）体重增加正比于吸收的热量体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡千卡 增加体重增加体重1公斤；公斤；2）代谢引起的体重减少正比于体重代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤每周每公斤 体重消耗体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70 公斤的人每天消耗公斤的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式 有关；有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5公斤公斤,每周吸收热量不要小于每周吸收热量不要小于10000千卡千卡.模型假设模型假设本讲稿第十六页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系17某甲身高某甲身高1.7米米,体重体重100公斤，公斤，BMI=34.6,目前每周吸收目前每周吸收20000千卡热千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至量，体重维持不变。现欲减肥至75公斤公斤.第一阶段：第一阶段：每周减肥每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少公斤，每周吸收热量逐渐减少,直至直至达到下限（达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标每周吸收热量保持下限，减肥达到目标.2）若要）若要加快进程加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个）在不运动的情况下安排一个两阶段计划两阶段计划.3）给出达到目标后）给出达到目标后维持体重维持体重的方案的方案.减肥计划减肥计划本讲稿第十七页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系18 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每公斤体重消耗即每周每公斤体重消耗 20000/100=200千卡千卡w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100公斤不变公斤不变=1/8000(公斤公斤/千卡千卡)基本模型基本模型每周每公斤体重每周每公斤体重200千卡千卡 320千卡千卡,因此消耗弱因此消耗弱,吃的多吃的多本讲稿第十八页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系19 第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1公斤公斤,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1公斤，第公斤，第10周末体重周末体重90公斤公斤吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划本讲稿第十九页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系20 第二阶段：第二阶段：每周每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75公斤公斤 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型本讲稿第二十页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系21 第二阶段：第二阶段：每周每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75公斤公斤 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75公斤公斤.本讲稿第二十一页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系22运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可周即可根据资料每小时每公斤体重消耗的热量根据资料每小时每公斤体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间每周运动时间(小时小时)模型模型)()1()()1(kwkckwkw -+=+t +=取取 t=0.003,即即 t=24=1/8000(公斤公斤/千卡千卡),=0.02514=n2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划本讲稿第二十二页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系23增加运动相当于提高代谢消耗系数增加运动相当于提高代谢消耗系数 2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划提高提高12%减肥所需时间从减肥所需时间从19周降至周降至14周周减少减少25%这个模型的结果这个模型的结果对代谢消耗系数对代谢消耗系数 很敏感很敏感.应用该模型时要应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人对不同的人;对同一人在不同的环境对同一人在不同的环境).本讲稿第二十三页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系24每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)3）达到目标体重）达到目标体重75公斤后维持不变的方案公斤后维持不变的方案本讲稿第二十四页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系25连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点四四 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型本讲稿第二十五页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系26离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点本讲稿第二十六页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系2701的的平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不稳定不稳定另一平衡点另一平衡点为为 x=0不稳定不稳定本讲稿第二十七页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系2801/2101的的平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性本讲稿第二十八页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系29迭代程序迭代程序clear,clfn=101;k=1:n;r=3.83;r=1.7 2.6 3.3 3.45 3.55lenr=length(r);x(1)=0.2;%you can change the initial solution for j=1:lenr for i=2:n x(i)=r(j)*x(i-1)*(1-x(i-1);end r=num2str(r(j);x plot(k,x),title(迭代公式:rx_k(1-x_k)%,axis(1 10)str=r=num2str(r(j);gtext(str);pause;end本讲稿第二十九页，共三十四页对外经济贸易大学 应用 数学系30初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3.569,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛本讲稿第三十四页，共三十四页